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3.2.1《立体几何中的向量方法》(1).ppt


前面,我们把

平面向量

推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.

为了用向量来研究空

间的线面位置关系,首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢?

一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l

e

直线l上的向量 e 以及与 e 共线 的向量叫做直线l的方向向量。

e
A

B

二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以,可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 n ⊥? , 如果 n⊥ ? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量.

l

给定一点A和一个向量 n ,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 n 是平面的法向量,向量 m 是 与平面平行或在平面内,则有

n

?

A

n? m ? 0

例 1:在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求 证: DB1 是平面 ACD1 的法向量
证:设正方体棱长为 1, A1 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底,建立如 图所示空间坐标系 D ? xyz ,则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 ? (1,1,1) , AC ? (?1,1,0) ,

D1 B1

C

D
B

C

AD1 ? (?1,0,1) DB1 ? AC ? 0 ,
所以 DB1 ? AC ,同理 DB1 ? AD1 又因为 AD1 AC ? A

A

所以 DB1 ? 平面 ACD , 从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.

问题:如何求平面的法向量?
(1)设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z)
(2)找出(求出)平面内的 两个不共线的 向量的坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 ? n ? a ? 0 ? a1 x ? b1 y ? c1 z ? 0 方程组 ? ?? ? n ? b ? 0 ? a2 x ? b2 y ? c2 z ? 0
量不惟一, 合理取值即 可。

(4)解方程组,取其中的一 个解,即得法向量。

例2:已知 AB ? ?2,2,1?, AC ? ?4,5,3? ,求平面ABC的法 向量。 由两个三元一次方程
组成的方程组的解是 解:设平面的法向量为n ? (x,y,z),

则n ? AB??, ??n ? AC ??? (x,y,z) (2, 2,1) ? 0, 即? , (x,y,z) (4,5,3) ? 0, ?4 x ? 5 y ? 3 z ? 0 ?-?*2整理得: z ? 1 ? x ? ? x? ? 2 取z ? 1,得 ? ? 2 ? ? ? y ? ?z ? y ? ?1

不惟一的,为方便起 见,取z=1较合理。 其实平面的法向量不 y?z ?0 ? ?2 x ? 2 是惟一的。
?

?1 ? ? 求平面ABC法向量为 ? 1,1?. ? , ?2 ?

1 ? n ? ( , ?1,1), 2

因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置,所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 间的夹角呢?如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢?

三、平行关系:
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面

?1 ,?2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则
线线平行 l1 // l2 ? e1 // e2 ? e1 ? ? e2 ;
线面平行 l1 // ?1 ? e1 ? n1 ? e1 ? n1 ? 0 ;

面面平行 ?1 // ? 2 ? n1 // n2 ? n1 ? ? n2 .
注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 法向量为n ? (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内,面面平行包括面面重合 .

设直线l的方向向量为e ? (a1 , b1 , c1 ), 平面?的

l // ? ? e ? n ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0;

例 3.长方体ABCD ? A1 B1C1 D1,高为1,底面
为正方形边长为2.E为BC 的中点, 求证:BD1 平面C1 DE .
A1 D1

C1

D

B1

C

A

B

E

巩固性训练1
1.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

平行

四、垂直关系:
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面

?1 ,?2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则
线线垂直 l1 ? l2 ? e1 ? e2 ? e1 ? e2 ? 0 ;
线面垂直 l1 ? ?1 ? e1 // n1 ? e1 ? ? n1 ;
面面垂直 ?1 ? ?2 ? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0.

若e ? (a1, b1, c1 ), n ? (a2 , b2 , c2 ),则 l ? ? ? e // n ? e ? ? n ? a1 ? ?a2 , b1 ? ?b2 , c1 ? ?c2 .
a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 ? 0时,e // n ? ? ? a2 b2 c2

例4.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别是BB1,,

CD中点,求证:D1F ? 平面ADE 以DA??, ??DC??,??DD1为单位正交 证明:设正方体棱长为1, 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,则可得:
1 DA ? (1, 0, 0), DE ? (1,1, , ) 2 设平面ADE的一个法向量
D1

z

C1 B1 E

A1 D A
x

为n=(x,y,z) 则由n ? DA ? 0??, ??n ? DE ? 0得

F B

C y

1 又因为D1 F ? (0, , ?1) 2 所以 D1 F ? 平面ADE

?x ? 0? 0 ? 0 则x=0,不妨取y ? 1,得z ? ?2 ? ? 1 x ? y ? z ? 0 所以n=(0, 1, - 2) ? ? 2

所以D1 F //n

巩固性训练1
1.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

平行

巩固性训练2
1.设

u , v 分别是平面α,β的法向量,根据
垂直 平行

下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u ? (?2, 2,5), v ? (6, ?4, 4) (2)u ? (1, 2, ?2), v ? (?2, ?4, 4) (3)u ? (2, ?3,5), v ? (?3,1, ?4)

相交

巩固性训练3
1、设平面ɑ的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(2,-4,k),若 ? // ,则 k= ;若 ? ? ? ? 则 k= 。 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 ? 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ? ? ,则m= .

l1

l2

e1

e2

l1 // l2 ? e1 // e2 ? e1 ? ? e2

e1
n1

l1

?
l1 // ?1 ? e1 ? n1 ? e1 ? n1 ? 0

n1
?1
n2

?2

?1 // ? 2 ? n1 // n2 ? n1 ? ? n2

l1

e1

e2

l2

l1 ? l2 ? e1 ? e2 ? e1 ? e2 ? 0

?2
n2

n1
?1

?1 ? ?2 ? n1 ? n2 ? n1 ? n1 ? 0

l

e1

n1

?
l1 ? ?1 ? e1 // n1 ? e1 ? ? n1


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