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26.1.6二次函数的顶点坐标公式


二次函数的顶点坐标公式

海丰办事处第二中学

张文涛

复习巩固
写出二次函数的一般式和顶点式

一般式:y=ax2+bx+c (a≠0)
2+k y=a(x – h) 顶点式:

顶点坐标: (h,k) 对称 轴::

直线x=h

r />
让我们把y=3x2-6x+5配方成顶点式


驶向胜利 的彼岸

y ? 3x ? 6 x ? 5
2

=3(x2-2x)+5
=3 (x-1)2-1+5

提取二次项系数把二次项系数化为“1”

=3(x2-2x+1-1)+5 配方:加上一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形 =3(x-1)2-3+5 式,后两项合并同类项

完全平方式

? 3?x ?1? ? 2
2

化简:去掉中括号

学了就用,别客气
把下列一般式配方成顶点式 2 (1) y=-2x -4x+3
=-2(x2+2x)+3 =-2(x2+2x+1-1)+3 说出顶点坐标 (1) 顶点(-1,5)

?2?y ? 3x

=-2(x+1)2+5
2

? 6x ? 2

2 =3(x-1) -1

(2)顶点(1,-1)

把函数y=ax?+bx+c(a≠0)化为顶点式

顶点坐标公式:
? 2 b ? b ? ? b ? ? ? a x ? x? ? ? ? ? ? ? a ? 2a ? ? 2a ? ? 2 ?? b ? b2 ? ? a ?? x ? ? ? 2??c 2a ? 4a ? ? ?? ?
2 2

? b 4ac ? b ? , ?? ?. 4a ? ? 2a
? ??c ? ?

? 2 b ? ? a? x ? x ? ? c a ? 提取二次项系数 ? 2 2 2

驶向胜利 的彼岸

配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方

整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项

b ? 4ac ? b ? ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

化简:去掉中括号

y=a(x – h )2+ k

顶点坐标公式:

顶 点 坐标 公 式 :
2

b ? 4ac ? b2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

? b 4ac ? b ? , ?? ?. 2 a 4 a ? ? 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:
2

b 它的对称轴是直线 : x ? ? . 2 a 2 ? b 4ac ? b ? 它的顶点是 ? ? , ?. 4a ? ? 2a

?1?. y ? 2 x

2

? 12 x ? 13;

?

b ? 12 ? ?? ?3 2a2 2? 2 2 4ac ? b 4 ? 2 ? 13 ? ( ? 12 ) 顶点坐标为 (3,-5) ? ? 31 -5
4a 4? 2

a=2 b=-12 c=13

练习、求下列抛物线的开口方向,顶点坐标, 对称轴,最值
2 2 y ? 2 x ? 12 x ? 13 (1) (2)y ? ?2 x ? 4 x ? 8

开口方向 顶点坐标 对称轴

上 (3,-5)

下 (-1,10)

直线x=3
最小值-5

直线x=-1 最大值10

最值

请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质

抛物线
开口方向

y=ax2

y=ax2+k y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

y=ax2+bx+c

a>0 开口向

上,a<0开口向 下 。
(h,k)
直线x=h
当x 时 有最 值 是 。

顶点坐标

(0,0)(0,k) (h,0)
直线x=0 直线x=0 直线x=h

对称轴

最值

当x 时 有最 值 是 。

当x 时 有最 值 是 。

当x 时 有最 值 是 。

当x 时 有最 值 是 。

做一做

x=1 1) 抛物线y=x2-2x-5的对称轴是直线 ____ ___,顶点坐标是(1,-6) 。

4 2) 二次函数y=x2-2x+m的最小值为3,则m=___. -3 3) 抛物线y=x2+(m-1)x-7的顶点的横坐标为2,则m=___.
4)
(-3,0),(2,0) 2 二次函数y=x +x-6的图象与x轴交点的坐标是 。

5) 开口向下的抛物线 y=(m2-2) x2+2mx+1的对称轴经过点

-1 (-1,2)则m=___.
6)二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点为(-1,-3)则 -2 6 b=___,c=___.

谈谈你的收获
1、会把一般式配方化成顶点式 2、一般式y=ax2+bx+c (a≠0)的

顶点坐标公式: ? b 4ac ? b ? ?? , ?. 4a ? ? 2a
2

对称轴是

b 直线 x ? ? 2a

结束寄语
?
?

下课了!

探索是数学的生命线.

要珍惜时间,思考一下一天之中做 了些什么?是“正号”还是“负号 ”,倘若是“+”,则进步;倘若是 “-”,就得吸取教训,采取措施。

试一试
1 y=x2-2x+9的抛物线上有两点(2,y1)(4,y2)则 的y1 ,y2大小关系( )。 A) y1= y2 B) y1> y2 C) y1< y2 D) 不确定 2 若A(-4.5,y1),B(-1 ,y2),C(1.3,y3)为y=-x2-4x+5的图 象上的三点,则y1, y 2, y3的大小关系 A) y1> y2 >y3 C) y1< y2 <y3
Y

B) y2> y1 >y3 D) y3> y1 >y2

3、 x的增大而减小,当x>-2时, y 随 A′x的增大而增大, A 25 则x=1时 y= 。 X
O

B 2 二次函数y=4x -mx+5当x<-2时,函数y随

?

?

?

?

C

4)二次函数y=3x2-6x-8的图象上A(x1,y1)B(x2,y2)两点当x1<x2时, 试分析y1与y2大小关系____。 A) y1= y2 B) y1> y2 C) y1< y2 D) 不确定
Y

A

?
B

?
?
A B
X

?

?

?
B

A


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