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第十六届国际中学生物理奥林匹克竞赛试题(理论部分)

时间:2011-04-05


第十六届国际中学生物理奥林匹克竞赛试题

第十六届国际中学生物理奥林匹克竞赛试题(理论部分)
(1985 南斯拉夫 波尔托罗日)

题 1 一位年青的业余无线电爱好者用无线电与住在两个镇上的两位女孩保持联系。他放置两根 竖直的天线棒,使得当住在 A 镇的女孩接收到最大信号时,住在 B 镇的女孩接收不到信号, 反之也一样。 这个天线阵由两根竖直的天线棒构成, 它们在水平面内均匀地向各个方向发射 同等强度的信号。 (a)求此天线阵的参数,即两棒间距离及它们的方位和馈入两棒电信号之间的位相差,使得 两棒间距离为最小。 (b)求上述数值解。如果男孩的无线电台发射 27MHZ 的电磁波,该天线阵位于波尔托罗日, 利用地图, 他发现正北方与 A 方向(科佩尔)和 B 方向(位于 伊斯特拉半岛上的小镇布热)的夹 角分别为 158°和 72°。 〔解〕a)如图 16-1 所示,设 A 方向和 B 方向的夹角为 φ,两棒间距为 r,棒间连线与 A 方向夹 角为 a。 A 方向最小位相差为: ?A=2π cosα+?φ B 方向的最小位相差为: ?B=2π cos(ψ-α)+?φ ?φ 为两根天线之间的相位差。当 A 方向强度最小,B 方向强度最大时, ?A=(2n+1)π,?B=2κπ。 则 ?B-?A=(2(κ-n)-1)π=2π 。 〔cos(ψ-α)-cosα〕 得到

r=

.

当 ψ 一定时,只有 k=n,αα= 时,r 也为最小。

=-

时,r 为最小,或者 k=n+1,

此时,

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r 最小= 把上述结果代入含有 ?φ 的方程中,可得 ?φ=π/2(k=n 时),或 ?φ=当 ?φ 从 变为时,(k=n+1 时)

时,产生的效应正好相反,即 A 方向强度最大,B 方向强度为 0。

b)如图 16-2 所示,A 方向和 B 方向夹角为 ψ=157°-72°=85° 则棒间距最小为

r 最小= =

= =4.1(米)

两棒连线与 A 方向夹角为 α= +90°=132.5°

题 2 一根边长为 a、b、c(a>>b>>c)的矩形截面长棒,是由半导体锑化铟制成的。棒中有平行于 a 边的电流 I 流过。该棒放在平行于 c 边的外磁场 B 中,电流 I 所产生的磁场可以忽略。该 电流的载流子为电子。在只有电场存在时,电子在半导体中的平均速度是 v=?E,其中 ? 为 迁移率。如果磁场也存在的话,则总电场不再与电流平行,这个现象叫做霍尔效应。 (a)确定在棒中产生上述电流的总电场的大小和方向。 (b)计算夹 b 边两表面上相对两点间的电势差。 (c)如果电流和磁场都是交变的,且分别为 I=I0sinωt,B=B0sin(ωt+φ)。写出 b)情形中电势 差的直流分量解析表达式。 (d)利用 c)的结果,设计一个电子线路,使其能测量连接于交流电网的电子设备所消耗 的功率,并给出解释。 利用下列数据: 锑化铟中的电子迁移率为 7.8m2/V·s 锑化铟中的电子密度为 2.5×1022m I=1.0A 〔解〕a) B=1.0T b=1.0cm c=1.0mm e=1.6×10
-19 -3

C

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如图 16-3 所示,电子沿 a 边的运动,将使其受到洛仑兹力 evB 的作用,这样电子将具有沿 b 方向 运动分量,并在样品两侧有电荷积累,形成与洛仑 兹力相抵的电场力,这样有 E⊥e=evB,即 E⊥=vB 而沿 a 方向的电场分量可由下式求出 v=?E〃, 即 E〃=v/? 电子的速度可由电流求出 I=s . j=cbnev, 故 v=I/nebc=25 米/秒, 则 E〃=3.2 伏/米,E⊥=2.5 伏/米。 因此总电场大小为 E= =4.06(伏/米)

电场方向如图 16-3 所示, tga= =3.2/2.5=1.28。

b)b 边相应两表面间电势差为 VH=E⊥b=25 毫伏 I B I B IBb c)VH= = ( 0 0 ) sinωtsin(ωt+φ),直流分量 V= ( 0 0 ) cosφ。 enbc 2enc 2enc d)电子线路如图 16-4 所示。

题 3

现在讨论和研究的是关于某空间研究规划,把宇宙飞船发射到太阳系外去的两种发射方

案。第一种方案是以足够大的速度发射飞船,使其 直接逃逸出太阳系。第二种方案是使飞
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船接近某一颗外行星并依靠它的帮助, 改变飞船的运动方向以达到逃逸出太阳系所必需的速 度。 假定飞船仅仅在太阳或行星的引力场中运动。 那么究竟是在太阳的引力场中运动还是 在 行星的引力场中运动,这要由该点是哪一个场较强而定。 (a)按照方案 1 确定发射飞船所必需的相对于地球运动的最小速度 va 和它的方向。 (b)假定飞船已按(a)中确定的方向发射, 但具有另一个相对于地球的速度 vb。求飞船穿过火星 轨道时的速度,亦即相对于此轨道的平行分量和垂直分量。当飞船穿过火星轨道时,火星不 在此交点附近。 (c)设飞船进入火星的引力场,试求从地球发射飞船使其逃逸出太阳系所需的最小速度。 提示:从结果(a)可以知道飞船在脱离火星引力场后逃逸出太阳系所需的最佳速度的大小和 方向(不必考虑在穿越火星轨道时火星的精确位置)。求这个最佳速度与飞船进入火星引力场 以前的速度分量, 即你在(b)中确定的速度分量之间的关系。 飞船的能量守恒情况又是怎样? (d)估算第二种方案比第一种方案所可能节省能量的最大百分比。 注:设所有行星在同一平面内以同一方向绕着太阳在圆轨道上运转。 忽略空气阻力,地球的自转以及从地球引力场逸出所消耗的能量。 数据: 地球绕太阳旋转的速度为 30km/s,地球到太阳与火星到太阳的距离之比为 2/3。 〔解〕 如图 16-5,16-6 所示,设 Va 为相对于地球的发射速度,VE 为地球速度,θ 是 VE 与 Va 间的夹角。宇宙飞船在太阳系中的总能量为

E=

mV2-

其中,m 为飞船质量,V 为相对于太阳系的速度,M 是太阳的质量,ME 为地球的质量。宇宙飞 船逃逸出太阳系的必要条件是: E≥0 另一方面,地球的速度由下式给出: ,VE= 故由 E≥0 得
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V 2≥

=2VE2

由图 16-5,16-6 有

va≥vE[ 1 + cos 2 θ -cosθ] 最小速度的大小为 va=vE( 2 -1)=12.3km/s 此时,方向为 θ=0。

b)设 Vb 和 V 分别为以地球为参照系和以太阳为参 照系时的发射速度(见图 16-7),从 a)得到 V=Vb+VE 由角动量守恒给出 mVRE=mV〃RM

由能量守恒给出

由上两个方程可得 v〃=(vb+vE) c) 用 Vs 表示以火星为参照系的飞船的速度(见图 16-8,16-9),VM 表示火星速度。飞船在脱离火星 的引力场时的速度与进入该场时的速度相同。 在让我们考虑一个等效问题—以速度 Vs 沿着由 现 θ 角给出的方向从火星轨道 发射飞船,从 a)的结果,我们知道这个速度应该是 Vs≥VM(-cosθ+ )
2 RE R RF v⊥= (vb + v E ) 2 (1 ? 2 ) ? 2v E (1 ? E ) RE RM RM

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因此最小速度是 Vs=VM(

-1)

太阳参照系和火星参照系的速度之间的关系是 Vs= 利用上述条件 Vs2≥VM2( -1)2=VM2(3-2 ) 和从 b)得到的速度 V〃=V V⊥2+V〃2=V2+2VM2-2VE2 由此得到 Vs2-VM2-2VMV〃+V2〃+V2⊥=VM2-2VMV 即 V2-2VM V+2 VM2-2VE2≥0 V2+2VM2-2VE2≥3VM2-2VM2

解这个不等式得

V≥VE〔

+

最小的发射速度是

vb=vE〔

-1+

=vE×0.185=5.5km/s d)节省的能量的最大百分比为

=80%

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