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江西省南昌二中2012届高三第三次摸拟考试数学(文)试题

时间:2012-07-07


2012 届南昌二中第三次摸拟考试数学(文)试卷
第I卷
一.选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,中有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? ?1, 3, 5, 7, 9 ? , B ? ? 0, 3, 6, 9,12 ? ,则 A ? B ? A. ? 3, 5? 2.复数
3 ? 2i 2 ? 3i

?

B. ? 3, 6 ?

C. ? 3, 7 ?

D. ? 3, 9 ?

A. 1 B. ? 1 3.有四个关于三角函数的命题:
p1 : ? x ? R, sin
2

C. i

D. ? i
p 2 : ? x , y ? R , sin( x ? y ) ? sin x ? sin y p 4 : sin x ? co s y ? x ? y ?

x 2

+ co s

2

x 2

=

1 2

p 3 : ? x ? ? 0, ? ? ,

1 ? co s 2 x 2

? sin x

?
2

其中假命题的是 A. p1 , p 4 方程为

B. p 2 , p 4
2 2

C. p1 , p 3

D. p 2 , p 3

4.已知圆 C 1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C 2 与圆 C 1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C 2 的 A. ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) =1
2 2

B. ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) =1
2 2

C. ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) =1
2 2

D. ( x ? 2 ) + ( y ? 2 ) =1
2 2

? 2 x ? y ? 4, ? 5.设 x , y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?

A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值
1 7
1 7

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值
1 6
1 6
2

6.已知 a ? ? ? 3, 2 ? , b ? ? ? 1, 0 ? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2 b 垂直,则实数 ? 的值为 A. ? B. C. ? D.

7.等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a m ? 1 ? a m ? 1 ? a m ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 ,则 m ? A.38 B.20 C.10 D.9 8.如图,正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的棱线长为 1,线段 B1 D 1 上有 两个动点 E,F,且 E F ?
1 2

,则下列结论中错误的是

A. A C ? B E B. E F // 平 面 A B C D A ? B E F 的体积为定值 C.三棱锥 D. ? A E F 的 面 积 与 ? B E F 的 面 积 相 等 9.下列框图中,若输出的结果为 开始 i=1 S=0
9 19 S ? S ? 1 4i ? 1
2

,则①中应填入 i=i+1 ① 是 否 输出 S 结束

A.i≥9 C.i≤9

B.i≥10 D.i≤10

10.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: cm )为 A. 4 8 ? 1 2 2 C. 3 6 ? 1 2 2 B. 4 8 ? 2 4 2 D. 3 6 ? 2 4 2

2

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13 题)~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答。第(22 题)~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 11.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为 。 12.已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C
x

交于 A,B 两点,若 P ? 2, 2 ? 为 A B 的中点,则抛物线 C 的方程为 13.等比数列{ a n }的公比 q ? 0 , 已知 a 2 =1, a n ? 2 ? a n ? 1 ? 6 a n ,则{ a n }的前 4 项和 S 4 = 。 14.已知函数 f ( x ) ? 2 sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,
? 7? ? 。 ?? ? 12 ? 15.设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2) sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2 ? ) ,对于



则f ?

下列四个命题:
A . M 中所有直线均经过一个定点 B .存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 C .对于任意整数 n ( n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上

D . M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号). 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) △ A B C 中, A , B , C 所对的边分别为 a , b , c tan C ? (1)求 A , C ; (2)若 S ? A B C ? 3 ?
3 ,求 a , c . w.w.w..c.o.m
sin A ? sin B co s A ? co s B

, sin( B ? A ) ? cos C .

17.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? A B C 中,⊿ P A B 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ? (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 P C ? 4 ,且平面 P A C ⊥平面 P B C , 求三棱锥 P ? A B C 体积。

18.(本小题满分 12 分) 某工厂有工人 1000 名,其中 250 名工人参加过短期培 训 (称为 A 类工人),另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二层) 从该工厂的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数). (Ⅰ)A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人? (Ⅱ)从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2 表 1: 生 产 能 力 分 ?1 0 0,1 1 0 ? ?1 1 0,1 2 0 ? ?1 2 0,1 3 0 ? ?1 3 0,1 4 0 ? ?1 4 0,1 5 0 ?

组 人数 表 2: 生产能力分组 4 8
x

5

3

?1 1 0,1 2 0 ?

?1 2 0,1 3 0 ?

?1 3 0,1 4 0 ?

?1 4 0,1 5 0 ?

6 y 36 18 人数 (i)先确定 x , y ,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人中个体间的差异程度 与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)

(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人和生产能力的平均数(同一组中 的数据用该区间的中点值作代表)。

19.(本小题满分 12 分) 已知{an}为递增的等比数列,且{a1,a3,a5} ? {-10,-6,-2,0,1,3,4,16}. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在等差数列{bn}, 使得 a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n+1-n-2 对一切 n∈N*都成立?若存在, 求出 bn;若不存在,说明理由.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xO y 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程, (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,
OP OM ?e

(e 为椭圆 C 的离心率),求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 ax ? 9 a x ? a .
3 2 2 3

(1)设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2)若 a ?
1 4

,且当 x ? ?1, 4 a ? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围.
'

文科数学试题参考答案

因为 P C ? 平面 A E B ,

......8 分 从直方图可以判断: B 类工人中个体间的差异程度更小。 (ii) x A ?
4 ? 105 ? 8 ? 115 ? 5 ? 125 ? 5 ? 135 ? 3

......9 分
? 145 ? 123 , 1 ,3 3 . 8

25 25 25 25 25 6 15 36 18 xB ? ?1 1 5 ? ? 1 2 5? ? 135 ? ? 145 ? 75 75 75 75 25 75 x ? ?1 2 3 ? ?1 3 3 . 8 1 3 1 . 1 ? 100 100

{

a ? c ? 1, a ? c ? 7.

解得 a=4,c=3,所以椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

16

7

(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y 1 ),其中 x ? ? ? 4, 4 ? . 由已知得

列表讨论 f ( x ), f ( x ) 的变化情况:
x
'

'

( ? ? , ? 1)

?1

(-1,3) —

3 0 极小值-26

(3, ? ? )

f (x)

+

0 极大值 6

+

f (x)

?

?

?

所以, f ( x ) 的极大值是 f ( ? 1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ? 26. (Ⅱ) f ( x ) ? 3 x ? 6 a x ? 9 a 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称.
' 2 2


'

1 4

? a ? 1, 则 f ( x ) 在 [ 1 , 4 a ] 上是增函数,从而
'

f ( x ) 在 [ 1 , 4 a ] 上的最小值是 f (1) ? 3 ? 6 a ? 9 a , 最大值是 f ( 4 a ) ? 1 5 a .
' 2 ' 2

由 | f ( x ) |? 1 2 a , 得 ? 1 2 a ? 3 x ? 6 a x ? 9 a ? 1 2 a , 于是有
' 2 2

f (1) ? 3 ? 6 a ? 9 a ? ? 12 a , 且 f (4 a ) ? 15 a ? 12 a .
' 2 ' 2

由 f (1) ? ? 1 2 a 得 ?
'

1 3

? a ? 1,由 f ( 4 a ) ? 1 2 a 得 0 ? a ?
'

4 5

.

所以 a ? ( ,1] ? [ ?
4
'

1

1 3

,1] ? [0,
2

4 5

], 即 a ? (

1 4 , ]. 4 5
'

若 a>1,则 | f ( a ) |? 12 a ? 12 a .故 当 x ? [1, 4 a ]时 | f ( x ) |? 12 a 不恒成立.

' 所以使 | f ( x ) |? 1 2 a ( x ? [1, 4 a ]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ].

1 4 4 5


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