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2018课标版文数一轮(13)选修4—5-不等式选讲(含答案)1-第一节 绝对值不等式

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第一节

绝对值不等式

A 组 基础题组
1.已知函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值.

2.已知函数 f(x)=|x+m|-|5-x|(m∈R). (1)当

m=3 时,求不等式 f(x)>6 的解集; (2)若不等式 f(x)≤10 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

3.(2015 课标Ⅰ,24,10 分)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

1

4.(2016 安徽皖南八校联考 )已知函数 f(x)=|2x-1|+|x+1|. (1)求不等式 f(x)≥2 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集为? ,求 a 的取值范围.

B组
5.设函数 f(x)=|kx-1|(k∈R).

提升题组

(1)若不等式 f(x)≤2 的解集为 |- ≤ x ≤ 1 ,求 k 的值;
3

1

(2)若 f(1)+f(2)<5,求 k 的取值范围.

6.已知函数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2. (1)解不等式:|g(x)|<5; (2)若对任意的 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a 的取值范围.

2

7.(2016 河南郑州模拟)已知函数 f(x)=|3x+2|. (1)解不等式 f(x)<4-|x-1|; (2)已知 m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤ + (a>0)恒成立,求实数 a 的取值范围.
1 1

8.已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)当 a>-1,且 x∈ - 2 , 2 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围.
1

3

答案全解全析 A 组 基础题组
1. 解析 (1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2.

由此可得 x≥3 或 x≤-1. 故当 a=1 时,不等式 f(x)≥3x+2 的解集为{x|x≥3 或 x≤-1}. (2)由 f(x)≤0 得|x-a|+3x≤0. 此不等式可化为 x < a, x ≥ a, 或 x-a + 3x ≤ 0 a-x + 3x ≤ 0, x ≥ a, x < a, 即 x ≤ a 或 x ≤ -a .
4 2

结合 a>0,解得 x≤-2,即不等式 f(x)≤0 的解集为 x|x ≤ - 2 . ∵不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1}, ∴- =-1,故 a=2.
2 a

a

a

2. 解析

-8,x < -3, (1)当 m=3 时,f(x)= 2x-2,-3 ≤ x ≤ 5, 8,x > 5,

当 x<-3 时,f(x)>6 无解; 当-3≤x≤5 时,由 f(x)>6 得 4<x≤5; 当 x>5 时,由 f(x)>6 得 x>5. 综上,f(x)>6 的解集为{x|x>4}. (2)f(x)=|x+m|-|5-x|≤|(x+m)+(5-x)|=|m+5|, 由题意得|m+5|≤10,则-10≤m+5≤10,解得-15≤m≤5. 故 m 的取值范围为[-15,5]. 3. 解析 (1)当 a=1 时,f(x)>1 可化为|x+1|-2|x-1|-1>0.

当 x≤-1 时,不等式可化为 x-4>0,无解;
4

当-1<x<1 时,不等式可化为 3x-2>0,解得 <x<1;
3

2

当 x≥1 时,不等式可化为-x+2>0,解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1 的解集为 x
2 3

<x<2 .

x-1-2a,x < -1, (2)由题设可得,f(x)= 3x + 1-2a,-1 ≤ x ≤ a, -x + 1 + 2a,x > a. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A 面积为 (a+1) .
3 2
2

2a-1 3

,0 ,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的

由题设得3(a+1) >6,故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2,+∞). 4. 解析
1 2

2

2

(1)当 x> 时,f(x)=3x≥2,解得 x≥ ,
2 3

1

2

当-1≤x≤ 时,f(x)=2-x≥2,解得-1≤x≤0, 当 x<-1 时,f(x)=-3x≥2,解得 x<-1. 综上,不等式的解集为(-∞,0]∪ 3 , + ∞ .
2

(2)由题意知,f(x)≥a 对一切实数 x 恒成立, 当 x>2时,f(x)=3x>2,当-1≤x≤2时,f(x)=2-x≥2, 当 x<-1 时,f(x)=-3x>3,综上,f(x)min=2,故 a≤2.
3 3 1 3 1 3

B 组 提升题组
5. 解析 (1)由|kx-1|≤2,得-2≤kx-1≤2,
1 k

∴-1≤kx≤3,∴-3≤3x≤1. 由已知,得3=1,∴k=3. (2)由已知,得|k-1|+|2k-1|<5.
k

5

当 k≤ 时,-(k-1)-(2k-1)<5,得 k>-1,此时-1<k≤ ;
2 2

1

1

当2<k≤1 时,-(k-1)+(2k-1)<5,得 k<5,此时2<k≤1; 当 k>1 时,(k-1)+(2k-1)<5,得 k<3,此时 1<k<3. 综上,k 的取值范围是 -1, 6. 解析
7 3 7 7

1

1

.

(1)由||x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,所以-7<|x-1|<3,解不等式得-2<x<4,所以原不等式

的解集是{x|-2<x<4}. (2)因为对任意的 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立, 所以{y|y=f(x)}? {y|y=g(x)}, 又 f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|, g(x)=|x-1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得 a≥-1 或 a≤-5, 所以实数 a 的取值范围是{a|a≥-1 或 a≤-5}. 7. 解析
2

(1)不等式 f(x)<4-|x-1|,即|3x+2|+|x-1|<4.

当 x<-3时,不等式可化为-3x-2-x+1<4, ∴- <x<- ;
4 3 5 2

当-3≤x≤1 时,不等式可化为 3x+2-x+1<4,∴-3≤x<2; 当 x>1 时,不等式可化为 3x+2+x-1<4,∴x∈? . 综上所述,原不等式的解集为 - , (2)∵m+n=1(m,n>0),∴m +n =
1 1 1 m 5 1 4 2 1

2

2

1

.
n m n m

+ n (m+n)=1+1+m + n ≥4 当且仅当m = n 时,等号成立 .

令 g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|, 2x + 2 + a,x < - , 则 g(x)= -4x-2 + a,- 2 ≤ x ≤ a,
3 3 2

-2x-2-a,x > a. ∴当 x=- 时,g(x)取最大值,g(x)max= +a,
3 3 2 2

6

要使不等式|x-a|-f(x)≤ + 恒成立,
m n

1 1

只需 g(x)max=3+a≤4,又 a>0,则 0<a≤ 3 . 从而 a 的取值范围是 0, 8. 解析
10 3

2

10

.

(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.

令 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则 -5x,
2

x< ,
2

1

y= -x-2, 1 ≤ x ≤ 1, 3x-6,x > 1.

其图象如图所示 .从图象可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是 {x|0<x<2}.

(2)当 x∈ - ,

a 1 2 2

时,f(x)=1+a.

不等式 f(x)≤g(x)可化为 1+a≤x+3. 所以 x≥a-2 对 x∈ - 2 , 2 都成立. 故-2≥a-2,即 a≤3. 从而 a 的取值范围是 -1, 3 .
4 a 4 a 1

7


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