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高三数学寒假作业(4)


高三数学寒假作业(4)
命题:王道顺
一、选择题: 1.设 i 是虚数单位,复数 A. 3 ? 2 i

7 ? 4i ?( ) 1 ? 2i
C. 2 ? 3i D. 2 ? 3i

B. 3 ? 2 i

2 2.集合 A ? x x ? a ? 0 , B ? x x ? 2 ,若 C

R A ? B ,则实数 a 的取值范围是( )

?

?

?

?

A.

? ??,4?

B.

?0, 4?

C.

? ??,4?

D.

? 0, 4 ?

3.若随机变量 X ~ N ?1,4? , P ? x ? 0? ? 0.1 ,则 P ? 0 ? x ? 2? =( ) A.0.4 4.下列四个结论: ①若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立; ②命题“若 x ? sin x ? 0, 则x ? 0 ”的逆命题为“若 x ? 0,则x ? sin x ? 0 ” ; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; ④命题“ ?x ? R, x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? ln x0 ? 0 ” . 其中正确结论的个数是( ) A.1 个 个 5.设 0 ? a ? 1 ,则函数 y ? B.2 个 C.3 个 D.4 B.0.45 C.0.8 D.0.9

1 的图象大致为( ) a ?1
x

6.已知某几何体的三视图,则该几何体的体积是( )
1

A.12

B.24

C.36

D.48

? x ? y ? 3 ? 0, ? 7. 直线 x ? my ? 1 ? 0 与不等式组 ? 2 x ? y ? 0, 表示的平面区域有公共点, 则实数 m 的 ?x ? 2 ? 0 ?
取值范围是( ) A. ? , ? ?3 3?

?1 4 ?

B. ? ? , ? ? ? 3 3?

? 4

1?

C. ? ,3? ?4 ?

?3

?

D. ? ?3, ? ? 4

? ?

3? ?

8.已知向量 a ? ? 0,sin x ? , b ? ?1,2cos x ? ,函数 f ? x ? ?

3 7 a ? b, g ? x ? ? a 2 ? b 2 ? , 则 2 2

f ? x ? 的图象可由 g ? x ? 的图象经过怎样的变换得到( )

? 个单位长度 4 ? C. 向左平移 个单位长度 2
A.向左平移 9.已知抛物线 y ? 8x 的准线与双曲线
2

? 个单位长度 4 ? D. 向右平移 个单位长度 2
B.向右平移

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 相交于 A、B 两点,双 a 2 b2

曲线的一条渐近线方程是 y ? 则该双曲线的标准方程是( A.

4 3 x ,点 F 是抛物线的焦点,且△FAB 是等边三角形, 3


x2 y 2 ? ?1 36 6
x

B.

x2 y 2 ? ?1 16 3

C.

x2 y 2 ? ?1 6 32

D.

x2 y 2 ? ?1 3 16

10. 对于函数 f ? x ? ? ae ? x , 若存在实数 m, n , 使得 f ? x ? ? 0 的解集为 ? m, n? ? m ? n ? , 则实数 a 的取值范围是( )
2

A.

? ??, 0 ? ? ? ? 0,
?

1? ? e?

B.

? ??, 0 ? ? ? ? 0,
?

1? ? 1? C. ? 0, ? ? e? ? e?

D. ? 0, ? e

? 1? ? ?

二、填空题: 11. 为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况, 采用简单随机抽样的方法, 从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数,结果用 茎叶图表示(如图) ,据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数为_________.

12.执行如图所示的程序,则输出的结果为________. 13. 若函数 f ? x ? ? x ? 2x ? 2a与g ? x ? ? x ?1 ? x ? a 有相同的最小值, 则
2

? f ? x ?dx ? ___________.
1

a

14.已知 a , b 为正实数,直线 x ? y ? a ? 0 与圆 ? x ? b ? ? ? y ? 1? ? 2 相切,则
2 2

a2 的 b ?1

取值范围是___________. 15.对于函数 f ? x ? ?

x ,给出下列结论: 1? x

①等式 f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0在x ? R 时恒成立;②函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1,1? ; ③函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 在 R 上有三个零点;④若 x1 ? x2,则

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0; x1 ? x2

⑤若 x1 ? x2,则

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?x ?x ? ? f ? 1 2 ? 其中所有正确结论的序号为_____. 2 ? 2 ?
3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为

a, b, c, f ? x ? ? 2sin ? x ? A? cos x ? sin ? B ? C ? ? x ? R? , 函 数 f ? x ? 的 图 象 关 于 点
?? ? ? , 0 ? 对称. ?6 ?
(I)当 x ? ? 0,

? ?

??

? 时,求 f ? x ? 的值域; 2? 13 3 ,求△ABC 的面积. 14
b ?n

(II)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?

17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 和?bn ? 满足 a1a2 ??? an ? 2 n 列,且 a1 ? 1, b2 ? b1 ? 2 . (I)求 an与bn ; (II)设 cn ?

,若 ?an ? 为等比数

1 1 ? ? n ? N ? ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . an bn

18. (本小题满分 12 分)在“出彩中国人”的一期比赛中,有 6 位歌手(1~6)登台演出, 由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星, 各家媒体独立地在投票器上选出 3 位出彩候选人,其中媒体甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,另在 2 号至 6 号中随机的 选 2 名;媒体乙不欣赏 2 号歌手,他必不选 2 号;媒体丙对 6 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 6 号歌手中随机的选出 3 名. (I)求媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率; (II)X 表示 3 号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列及数学期望. 19. (本小题满分 12 分)如图,在多面体 ABC ? A1B1C1 中,四边形 ABB1 A 1 是正方形,

?A1CB 是等边三角形, AC ? AB ? 1, B1C1 / / BC, BC ? 2B1C1 .

4

(I)求证: AB1 / /平面AC 1 1C ; (II)若点 M 是边 AB 上的一个动点(包括 A,B 两端点) ,试确定点 M 的位置,使得平 面 CAC 1 1 所成的角(锐角)的余弦值是 1 1 和平面 MAC

3 . 3

20 . ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 f

? x? ? ?

? x 2 ? 2 x ? a, x? 0, 其中 a 是 实 数 , 设 ?ln x ,x ? 0,

A? x ? x ?? 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 . ?x 1, f ? x 1? ? , B 2, f 2
x (I)当 x ? 0 时,讨论函数 g ? x ? ? f ? x ? ? f e 的单调性;

? ?

(II)若函数 f ? x ? 的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 21.已知圆 C : x ? y ? x ? y ? 0 经过椭圆 E :
2 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点 F 和上顶 a 2 b2

点 D. (I)求椭圆 E 的方程; (II)过点 P ? ?2,0? 作斜率不为零的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,直线 AF,BF 分别交椭圆 E 于点 G,H,设 AF ? ?1 FG, BF ? ?2 FH. ? ?1,?2 ?R ? (i)求 ?1 ? ?2 的取值范围; (ii)是否存在直线 l,使得 AF ? GF ? BF ? HF 成立?若存在,求 l 的方程;若不存 在,请说明理由.
5

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

高三数学寒假作业(4)答案

6

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