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3.4.2换底公式 课件(北师大必修1)


问题 1: 对数 log864 的值与对数 log264 和 log28 的值有什么关系?
log264 提示:log864=2,log264=6,log28=3, log864= . log28

问题 2:对数 log864 的值与对数 log464 和 log48 的值有什么关系?
3 log464 提示:log864=2,log4

64=3, log48= , log864= . 2 log48

问题 3:经过问题 1,2 你能得出什么结论?

loga N ?a, b ? 0, a, b ? 1, N ? 0?. logb N ? loga b

对数换底公式
logaN logbN=_______( a,b>0,a,b≠1,N>0). logab

换底公式的主要作用就是把不同底的对数化为
同底的对数,再运用运算性质进行运算.

想一想1.logab与logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1)

有什么关系?
1 提示: loga b= . lgb a

做一做

1( 1) log713 等于 ( ) log- 513 lg13 13 A. log137 B. C. D. lg7 log- 57 7
lg13 解析:选 B.log7 13 换为常用对数为 . lg7

(2)log47· log74等于( A. 0 B.1 C. 4

) D. 7

log7 7 解析:选 B.log4 7× log7 4= · log7 4= 1. log7 4

想一想 2.

(logab)· (logbc)· (logca)(a,b,c>0

且a,b,c≠1)的值是多少?

logac logaa 提示:(logab)· (logbc)· (logca)=logab· · =1 logab logac

题型一

用换底公式求对数式的值

例1 计算:(1)log1627log8132;

(2)(log32+log92)(log43+log83).

lg27 lg32 lg3 lg2 3lg3 5lg2 15 解(1)log1627log8132= × = 4× 4= × = . lg16 lg81 lg2 lg3 4lg2 4lg3 16
? log32 ??log23 log23? (2)(log32+ log92)(log43+ log83)=?log32+ ?? + ? log39 ??log24 log28? ? 1 ?1 1 ? 3 5 = (log32+ log32)? log23+ log23?= log32× log23 2 3 6 ?2 ? 2
5 lg2 lg3 5 =× × =. 4 lg3 lg2 4

3

5

【小结】

求对数式的值时,若底数不同,

可用换底公式化为同底,再利用对数运算性 质计算.

变式训练 1 . 计 算 (log2125 + log425 + log85)(log52 +

log254+log1258).

log225 log25 log54 log58 解:法一:原式= (log25 + + )(log52+ + ) log24 log28 log525 3log55 1 = (3log25+ log25+ log25)(log52+log52+ log52) 3 1 log22 = (3+ 1+ )log25· (3log52)= 13log25· = = 13. 3 log25
3

lg125 lg25 lg5 lg2 lg4 lg8 法二:原式= ( + + )( + + ) lg2 lg4 lg8 lg5 lg25 lg125 3lg5 2lg5 lg5 lg2 2lg2 3lg2 =( + + )( + + ) lg2 2lg2 3lg2 lg5 2lg5 3lg5 13lg5 3lg2 =( )( )= 13. 3lg2 lg5

题型二

用已知对数表示其它对数

已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log3645.

【解】由 18 = 5,得 log185= b.又 log189= a, log1845 log18? 5× 9? log185+ log189 则 log3645= = = log1836 log18? 18× 2? 1+ log182 log185+ log189 log185+ log189 a+ b = = = . 18 2- log189 2- a 1+ log18 9

b

【小结】

求条件对数式的值,可从条件入

手,从条件中分化出要求的对数式,进行求 值;也可从结论入手,转化成能使用条件的

形式;还可同时化简条件和结论,直到找到 它们之间的联系.

变式训练

2.(1)已知log62=p,log65=q,
则lg5=__________. (用p、q表示)

log65 q q 解析:lg5=log 10= = . log62+log65 p+q 6

变式训练

( 2)已知 log142= a,试用 a 表示 log
2 7.

1 解:法一:∵ log142=a,∴log214= . a 1 1 ∴1+ log27= .∴ log27= -1. a a log 由对数换底公式,得 log27= log log 27 = . 2 2 2
27

2?1-a? 1 ∴ log 2 7=2log27=2( -1)= . a a

法二:由对数换底公式,得 log142= log log = log 214
22

2
27+2

=a.

2?1-a? ∴2=a(log 2 7+ 2),即 log 2 7= . a

题型三

利用对数求值

2 1 例 3、设 3 = 4 = 36,求 + 的值. a b
a b

【解】法一:由3a=4b=36,得log336=a, log436=b,

1 由换底公式可得 a=log336= , log363 1 b= log436= , log364 2 1 所以 + =2log363+log364 a b = log369+ log364= log3636=1.

法二:对已知条件中的三项取以6为底的对数, 得alog63=2blog62=2.…2分 2 1 所以 = log63, = log62.………5分 a b 2 1 所以 + = log63+ log62= log66=1. a b

【小结】

解答带有附加条件的对数式求值

问题,通常需要指数式与对数式互化或对等 式两边取对数等,但要注意对底数的合理选

取及化同底.

变式训练

1 1 3.设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=( ) a b A. 10 B.10 C.20 D.100
a b

解析:选 A.由 2 =5 =m,得 a=log2m,b= log5m . 1 1 1 1 ∴+= + = logm2+ logm5= logm10=2, a b log2m log5m 2 ∴m =10.又 m>0,∴m= 10.

a

b

题型四、对数的实际应用

例4、测量地震级别的里氏级是地震强度(地震释放
的能量)的常用对数值,显然级别越高,地震的强 度也越高,如日本1923年地震是8.9级,旧金山 1906年地震是8.3级,1989年地震是7.1级,试计算

一下日本1923年地震强度是 8.3级的几倍?7.1级的
几倍?(lg2=0.3)

解:由题意可设lgx=8.9,lgy=8.3,lgz=7.1, 则lgx-lgy=8.9-8.3=0.6=2lg2=lg4, 从而lgx=lg4+lgy=lg(4y). ∴ x= 4y. lgx-lgz=8.9-7.1=1.8=6lg2=lg26=lg64, 从而lgx=lgz+lg64=lg(64z).∴x=64z.

故8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍,是7.1级
地震强度的64倍.

[小结] 解决对数应用题的一般步骤:

变式训练

4.光线每通过一块玻璃板,其强度要损失 10%,把几块这样的玻 璃板重叠起来,设光线原来的强度为 a,通过 x 块玻璃板以后的 强度值为 y. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; 1 (2)通过多少块玻璃以后,光线强度减弱到原来强度的 以 2 下?(根据需要取用数据 lg3=0.477 1,lg2=0.301 0)

1 x 9 x [解] (1)依题意得 y=a(1- ) =a( ) ,其中 x≥1,x∈N; 10 10 9 x 1 9 x 1 (2)依题意得 a( ) ≤a× ? ( ) ≤ 10 2 10 2 0.301 0 ? x(2lg3-1)≤-lg2? x≥ ≈6.572, 1-2×0.477 1 ∴xmin=7. 答:通过 7 块以上(包括 7 块)的玻璃板后,光线强度减弱到 1 原来强度的 以下. 2

能力提高 1 .已知 f(3x) = 4xlog23 + 234 ,则 f(2) + f(4) +

f(8)+…+f(28)的值等于________.
解 析 : 令 t = 3x , 则 x = log3t , ∴ f ( t ) =

4log3t· log23+234

log2t 8 =4· · log23+234=4log2t+234.∴f(2)+f(4)+f(8)+…+f(2 ) log23 =4(1+2+3+…+8)+8×234=144+1872=2016.

2.设x,y,z∈(0,+∞),且3x=4y=6z, 比较3x,4y,6z的大小.

3 4 解: 3x- 4y= 3log3 k- 4log4 k= - logk 3 logk 4 3logk 4- 4logk 3 logk 64- logk 81 = = , logk 3· logk 4 logk 3· logk 4 ∵ k> 1,∴ logk 64- logk 81< 0,∴ 3x< 4y.

4y- 6z= 4logk 4- 6log6 k

4logk 6- 6logk 4 2? logk 36- logk 64? 4 6 = - = = , logk 4 logk 6 logk 4· logk 6 logk 4· logk 6 ∵ k> 1,∴ logk 36< logk 64, ∴ 4y< 6z,∴ 3x< 4y< 6z.

小结: 1.换底公式主要用于计算、化简求值,化简时,有两种思路:① 根据题目特点,先换部分对数的底进行运算.②直接把题中对数全 换成统一底的对数进行运算.
2.换底公式常用推论: loganbn= logab(a>0, a≠1, b>0, n≠0); n logambn= logab(a>0, a≠1, b>0, m≠0, n∈ R); m logab· logba= 1(a>0, b>0, a≠1, b≠1);

logab· logbc· logcd= logad(a>0, a≠1, b>0, b≠1, c>0, c≠1, d>0).


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