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椭圆及其标准方程


若取一条长度一定且没有弹性的细绳,把它的两端 都固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动 笔尖,这时笔尖画出的轨迹是什么图形?

引例:

平面内到定点的 距离等于定长的 点的轨迹是圆.

思考: 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹 又是什么呢?

探究:若将细绳的两端拉开一段距离,

分别固定在图板上 不同的两点F1、F2处,并用笔尖拉紧绳子,再移动笔尖一 周,这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢?

如果把细绳的两端的距离拉大,那是否还能画出椭圆?

结论:绳长记为2a,两定点间的距离记为2c(c≠0).
(1)当2a>2c时,轨迹是 椭圆 (3)当2a<2c时, 无轨迹 ; ;

(2)当2a=2c时,轨迹是以F1、 F2为端点的线段



二、基础知识讲解
1.椭圆定义:

? 平面上到两个定点的距离
的和等于定长2a,(大于

如图:

|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。
? 定点F1、F2叫做椭圆的焦

MF1 ? MF2 ? 2a ? 2c
M

点。
? 两焦点之间的距离叫做焦 距(2c)。

F1

2c

F2

y

M (x,y)

如图所示:F1、F2为两定点,且
|F1F2|=2c,求平面内到两定点

F1(-c,0) O

F2(c,0) x F1、F2距离之和为定值2a(2a>2c)

的动点M的轨迹方程。

解:以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴
问题: 求曲线方程的基本步骤? 设 M x,y)为所求轨迹上的任意一点, ( 1( )建系设点 ; (2)写出条件; (3)列出方程; (4 即 ()化简方程; x ? c )2 ? y 2 ? ( x ? c )2 ? y 2 ? 2a (5)下结论。

建立直角坐标系,则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。

则椭圆就是集合P={M||MF1|+ |MF2|=2a}

如何化简?

? ( x ? c )2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c )2 ? y 2

? ( x ? c )2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c )2 ? y 2

你能在图中找出 怎样判断a, b, c大小关系? 整理得a ? cx ? a ( x ? c )2 ? y 2 2 2, 表示a4,c, a ?c 两边平方得: a ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x 2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2 的线段吗? y 整理,得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
2

则( x ? c )2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c )2 ? y 2 ? ( x ? c )2 ? y 2

∵2a>2c>0,即a>c>0,∴a2-c2>0, 两边同除以a2(a2-c2)得:

P

M (x,y)

x y ? 2 2 ?1 ① 2 a a ?c
如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点

2

2

F1 (-c,0) O

F2(c,0) x

2 2 可得 | PF1 |?| PF2 |? a, | OF1 |?| OF2 |? c, | PO |? a ? c

令b ?| PO |? a 2 ? c 2

x2 y2 那么①式 ? 2 ? 1 (a>b>0) 2 a b

2.椭圆的标准方程 y
M

焦点F1 (?c,0), F2 (c,0)

F1

O

F2

x

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

这里c 2 ? a 2 ? b2
y
F2 M O F1

焦点F1 (0,?c ), F2 (0, c )

x

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

这里c ? a ? b
2 2

2

思考:方程Ax2+By2=C何时表示椭圆?
答:A、B、C同号且A、B不相等时。

2 2 x y 例1.已知椭圆方程为 ? ?1 , 25 16 则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3 ;

三、例题分析

(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为

(-3,0)、(3,0)

,

焦距为 6 。
2 2 x y (3)若椭圆方程为 ? ?1 , 16 25

其焦点坐标为 (0,3)、(0,-3)

.

2 2 x y 例1.已知椭圆方程为 ? ?1 , 25 16

(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6,

则点P到右焦点的距离是 4
(5)若CD为过左焦点F1的弦, 则?CF1F2的周长为 16 ,


C

F1 D

F2

?F2CD的周长为 20



例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 ( 5 ,? 3 ), 求它的标准方程.

解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b 由椭圆的定义知

2

2

5 3 2 5 3 2 2 2 2a ? ( ? 2) ? ( ? ) ? ( ? 2) ? ( ? ) ? 2 10 2 2 2 2 所以 a ? 10 .
又因为

c?

2 , 所以 b 2

? a ? c ? 10 ? 4 ? 6.
2 2

x2 y2 因此, 所求椭圆的标准方程为 ? ? 1. 10 6

例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),

5 3 并且经过点 ( ,? ) , 求它的标准方程. 2 2 解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b
2

又 ?焦点的坐标分别是 (?2,0), (2,0) ? c ? 2
2 3 2 (5 ) ( ? 2 2 ) (1)确定焦点的位置; ② 又由已知 2 ? 2 ? 1 a b (2)设出椭圆的标准方程; 联立①②, 解得a 2 ? 10,b 2 ? 6

?a ? b ? 4
2



求椭圆标准方程的解题步骤:

(3)用待定系数法确定a、b的值,

写出椭圆的标准方程 ? ? 1. . 因此, 所求椭圆的标准方程为

x 10

2

y 6

2

四、针对性训练
(一)补充练习 1.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是10,则 动点P的轨迹为( A ) A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹

变式:
(1)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是8,则

动点P的轨迹为( B )
(2)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是7,则

动点P的轨迹为( D )

2 2 x y 2.方程 ? ? 1表示的曲线是椭圆,求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4 变式:

x2 y2 (1)方程 ? ? 1表示焦点在y轴上的椭圆,求k的 5 4k

取值范围.
(2)方程
2

k>5/4
2

x y ? ? 1表示焦点坐标为(±2,0)的椭圆, 5 4k
k=1/4

求k的值.

四、针对性训练
(二)创新设计P24~25 课后优化训练 2. 3. 7. 8.

x2 2.已知?ABC的顶点B、C在椭圆 ? y 2 ? 1上,顶点A 3 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边BC 上,则?ABC的周长为( B A.2 3 B.4 3 ) D.16 C.6

3.当直线y ? kx ? 2的倾斜角大于45?小于90?时,它和 曲线2 x 2 ? 3 y 2 ? 6的公共点的个数为( C ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定

7.? 神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以 地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点距地 面n千米,远地点距地面m千米,地球半径为 m-n R,那么这个椭圆的焦距为___________ 千米.

x y 8. P是椭圆 ? ? 1上的点,F1和F2是焦点,则 4 3 4 ,最小值是_____. 3 k ? PF1 ? PF2 的最大值是____

2

2

四、小结巩固
1.椭圆的定义:
?

平面上到两个定点的距离的和等于定长2a (大于2c)的点的轨迹叫椭圆。

? ?

定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。

2.椭圆的两种标准方程:
定 义 y
M

|MF1|+|MF2|=2a

y
F2
M

图 形

F1

o

F2 x

o
F1

x

焦点及位置 判定

焦点F1 (?c,0), F2 (c,0)

焦点F1 (0,?c ), F2 (0, c )
y 2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

标准方程
a,b,c之间
的关系

x y ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

2

2

a 2 ? b2 ? c 2

五、布置作业
作业:课本P49 习题2.2 A组 1. 2. 练习:创新设计P24~25 课后优化训练

答案: 1. 2.

2

a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? ? sin?180 ? ( ? ? ? ? ? )? sin( ? ? ? ? ? )
3.用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根 细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断) , 能够得到的三角形的最大面积为( ) A. 8 5cm
2
2

B. 6 10cm D. 20cm 2

2

C. 3 55cm


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