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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1精要课件 两个向量的数量积

时间:2013-11-11


3.1.3

3.1.3
【学习要求】

两个向量的数量积

1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量
本 专 题 栏 目 开 关

积的概念、性质和计算方法及运算规律. 2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中 一些简单的问题. 【学法指导】 数量积是向量最重要的运算,利用数量积可以求向量的模、 两个向量的夹角;通过类比平面向量的数量积,学习空间两 向量的数量积,通过向量积的运用,培养数学应用意识.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.1.3

1.空间向量的夹角 已知两个非零向量 a,b,在空间任 定 → → 取一点 O,作OA=a,OB=b,则 义 ∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角 记 法

本 专 题 栏 目 开 关

〈a,b〉

π [0,π ] 范 〈a,b〉∈________.当〈a,b〉= 2 围 ⊥ 时,a______b 想一想:〈a,b〉与〈b,a〉相等吗?〈a,b〉与〈a,-b〉呢?

填一填·知识要点、记下疑难点
2.空间向量的数量积

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|a||b|cos〈a,b〉 (1)定义:已知两个非零向量 a,b,则____________________
叫做 a,b 的数量积,记作 a· b.
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(2)数量积的运算律 数乘向量与向量数 量积的结合律 交换律 分配律

b) (λa)· λ(a· b=________ b· a a· b=________
(a+b)· c=a· c+b· c

填一填·知识要点、记下疑难点
(3)数量积的性质 ①若 a,b 是非零向量,则 a⊥b?

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a· b=0 __________
两个
本 专 题 栏 目 开 关

向量 数量

|a|· |b| ②若 a 与 b 同向,则 a· b=________;

|b| 若反向,则 a· -|a|· b=________. 积的 |a|2 特别地,a· a=______或|a|= a· a· a b 性质 |a||b| ③若 θ 为 a, 的夹角, cos θ=________ b 则
④|a· b|≤|a||b|

填一填·知识要点、记下疑难点

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3. 异面直线 (1)异面直线的定义
本 专 题 栏 目 开 关

不同在任何一个平面内 ________________________的两条直线叫做异面直线.
(2)两条异面直线所成的角

平移到一个平面内 把异面直线________________________, 这时两条直线的夹角 锐角或直角 (________________)叫做两条异面直线所成的角.如果所成的 直角 角是________,则称两条异面直线互相垂直.

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3.1.3

探究点一 空间向量的数量积运算
本 专 题 栏 目 规定:0≤〈a,b〉≤π. 开 关 问题 2 类比平面向量的数量积,说出空间向量的数量积 a· b

问题 1 空间两个向量的夹角是怎样定义的,范围怎样规定? → 答案 已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA= → a,OB=b,则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作〈a,b〉 .

的定义?
答案 已知两个非零向量 a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做 a,b 的数量积,记作 a· b. 零向量与任何向量的数量积为 0.

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问题 3

请你类比平面向量说出 a· 的几何意义. b

答案
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a· 的几何意义是 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 b

|b|cos θ 的乘积.

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例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD =4,E 为侧面 AB1 的中心,F 为 A1D1 的中点.试计算: → → → → → → (1)BC· 1;(2)BF· 1;(3)EF· 1. ED AB FC → → → 解 如图, 设AB=a, =b, 1=c, AD AA
则|a|=|c|=2,|b|=4, a· b=b· c=c· a=0.
1 → → (1)BC· 1=b·2(c-a)+b] ED [ =|b|2=42=16.

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1 ? → → ? (2)BF· 1=?c-a+ b ?· AB (a+c) 2 ? ? =|c|2-|a|2=22-22=0.
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? 1 ? ?1 → → ?1 ? (3)EF· 1=?2?c-a?+2b?· b+a? FC 2 ?1 ? 1 ? = (-a+b+c)· b+a? 2 ?2 ? 1 2 1 2 =-2|a| +4|b| =2. ? ?? ?

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小结

计算两个向量的数量积,可先将各向量用同一顶点

上的三条棱对应向量表示,再代入数量积公式进行运算.

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跟踪训练 1 已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求: → → (1)OA· ; OB → → → → (2)(OA+OB)· +CB). (CA → → → → 解 (1)OA· =|OA|· |· OB |OB cos∠AOB 1 =1×1×cos 60° 2. = → → → → (2)(OA+OB)· +CB) (CA → → → → → → =(OA+OB)· -OC+OB-OC) (OA → → → → → =(OA+OB)· +OB-2OC) (OA

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=12+1×1×cos 60° -2×1×1×cos 60° +1×1×cos 60° 2 +1 -2×1×1×cos 60° =1.

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探究点二 问题 1 利用数量积求夹角 怎样利用数量积求直线夹角或余弦值?

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问题 2
答案
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利用数量积怎样证明两个向量垂直?
π 要证明两个非零向量垂直,即〈a,b〉= ,只需证 2

明 a· b=0 即可.

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3.1.3

例2 在右图正方体中,M、N 分别为棱 BC 和
棱 CC1 的中点, 求异面直线 AC 和 MN 所成的 角.
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→ 1→ 解 方法一 ∵MN= BC1, 2 → → 又BC1=AD1. ∴∠CAD1 的大小就是所求异面直线所成的角, ∵△ACD1 为正三角形,∴∠CAD1=60° ,即异面直线 AC 和 MN 所成的角为 60° .

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方法二 设正方体的棱长为 2. 1→ → 1→ → → → 1 → → → → ∴MN· = (BC+CC1)· +BC)= BC· + BC· + AC (AB AB BC 2 2 2 1→ → 1→ → CC · + CC1· AB BC 2 1 2 1→2 =0+ |BC| +0+0=2, 2 → → → → 又|AC|=2 2,|MN|2=|NC|2+|CM|2=2. → → MN· AC 2 1 → → ∴cos〈MN,AC〉= = = . → → 2×2 2 2 |MN|· | |AC → → ∴〈MN,AC〉=60° , 即异面直线 AC 和 MN 所成的角为 60° .

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小结

3.1.3

利用向量法求两异面直线的夹角, 在两条异面直线

上各取一非零向量: (1)把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合的位
本 专 题 栏 目 开 关

置,化为求平面角的大小,通过解三角形得夹角的大小. (2)利用向量的数量积求出两向量的夹角, 则这个夹角就是 两异面直线所成的角或者是其补角(注意异面直线所成角 的范围).

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跟踪训练 2 如图所示,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形, 且 ∠C1CB = ∠C1CD = ∠BCD = 60° 求 .
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证:CC1⊥BD. → → → 证明 设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|. → → → ∵BD=CD-CB=b-a, → → ∴BD· 1=(b-a)· CC c=b· c-a· c

=|b||c|cos 60° -|a||c|cos 60° =0, → → ∴CC1⊥BD,即 CC1⊥BD.

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探究点三 问题 利用数量积求向量的模

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类比平面向量,说出利用数量积求长度或距离的方法.

答案 利用数量积 a· b=|a||b|cos θ
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知 a· a=|a||a|cos〈a,a〉=|a|2.

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π 例 3 已知 a,b,c 中每两个的夹角都是 ,且|a|=4,|b|=6, 3 |c|=2,试计算|a+b+c|.

解 ∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,
本 专 题 栏 目 开 关

π 且〈a,b〉=〈a,c〉=〈b,c〉=3, ∴|a+b+c|2=(a+b+c)· (a+b+c) =|a|2+|b|2+|c|2+2a· b+2a· c+2b· c =|a|2+|b|2+|c|2+2|a|· cos〈a,b〉+2|a|· |b|· |c|cos〈a,c〉+2|b|· |c|cos〈b,c〉 =42+62+22+4×6+4×2+6×2=100, ∴|a+b+c|=10.

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小结
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求向量的模,可以转化为求向量的数量积,求两

点间的距离或某条线段的长度,可以转化为求对应向量 的模,其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来.

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跟踪训练 3 如图所示,已知线段 AB 在平面 α 内, 线段 AC⊥α, 线段 BD⊥AB, 线段 DD′⊥α 于 D′,如果∠DBD′=30° ,AB=a,AC= BD=b,求 CD 的长.
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3.1.3

解 由 AC⊥α,可知 AC⊥AB. → → 由∠DBD′=30° ,可知〈CA,BD〉=60° , → → → → → → ∵|CD|2=CD· =(CA+AB+BD)2 CD →2 →2 →2 → → → → → → =|CA | +|AB| +|BD| +2(CA · +CA · +AB· )=b2 AB BD BD +a2+b2+2(0+b2cos 60° +0)=a2+3b2, → ∴|CD|= a2+3b2,即 CD= a2+3b2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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1. 设 a、 c 是任意的非零平面向量, b、 且它们相互不共线, 下列命题:
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①(a· c-(c· b=0; b)· a)· ②|a|-|b|<|a-b|; ③(b· c-(c· b 与 c 垂直; a)· a)· ④(3a+2b)· (3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正确的有 A.①② B.②③ C.③④ D.②④ ( D )

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2.已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60° ,那么|a+3b|等 于 A.
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( C ) 7 B. 10 C. 13 D.4

解析 |a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a· b+9b2 =1+6· 60° cos +9=13.∴|a+3b|= 13.

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3. 如图所示, 已知 PA⊥平面 ABC, ∠ABC =120° ,PA=AB=BC=6,则 PC 等于 ( C )
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A.6 2 C.12

B.6

D.144 → → → → 解析 因为PC=PA+AB+BC, → → → → → → 所以PC2=PA2+AB2+BC2+2AB· BC

=36+36+36+2×36cos 60° =144. → 所以|PC|=12.

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3.1.3

空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角;利用数
本 专 题 栏 目 开 关

量积求两异面直线所成的角,关键在于在异面直线上构 造向量,找出两向量的关系;证明两向量垂直可转化为 证明两个向量的数量积为零,求线段长度转化为求向量 的数量积.


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