nbhkdz.com冰点文库

高中数学竞赛辅导之——托勒密定理和西姆松定理(学生用)

时间:2015-03-09


托勒密定理和西姆松定理
一、托勒密定理 圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面 积与另一组对边所包矩形的面积之和).即:设四边形 ABCD 内接于圆,则有 ;

4. 若 a、b、x、y 是实数,且

.求证:



5. 已知

a、b、c 是△ABC 的三边,且

,求证:∠A=2∠B.

说明 本定理的证明给证明 ab=cd+ef 的问题提供了一个典范. 定理:在四边形 ABCD 中,有 1. 如图所示,P 是正△ABC 外接圆的劣弧 ,并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等式成立。 上任一点(不与 B、C 重合), 求证: .
A3 A4 A1 A2

6.

1 1 1 设 A1A2A3?A7 是圆内接正七边形,求证: = + . A1A2 A1A3 A1A4

A5 A7 A6

2. 如图,在△ABC 中,∠A 的平分线交外接圆于 D,连结 BD,求证:AD·BC=BD(AB+AC).

说明 Ptolemy 定理揭示了圆内接四边形中线段关系,在数学中应用非常广泛. 7. 在△ABC 中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,求证: 3. 证明“勾股定理” :在 Rt△ABC 中,∠B=90°,求证: 。

8. 如图,△ABC 与△A'B'C'的三边分别为 a、b、c 与 a'、 b'、c',且∠B=∠B',∠A+∠A'=180°.试证:aa'=bb'+cc'.
c
[

A b a (1) C B' c' a' (2)

10.
A' b' C'

四边形 ABCD 是圆内接四边形,且

是直角,若从 B 作直线 AC、AD 的垂线,垂足分别为 E、F,则直线

EF 平分线段 BD。

B

二、 西姆松定理 西姆松定理:若从 外接圆上一点 P 作 BC、AB、AC 的垂线,垂足分别为 D、E、

F,则 D、E、F 三点共线。

11. 求证:四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点,且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一 条直线上。

西姆松逆定理:从一点 P 向 的外接圆上。 9. 设

的三边(或它们的延长线)作垂线,若垂足 L、M、N 在同一直线上,则 P 在

的三条垂线 AD、BE、CF 的垂足分别为 D、E、F;从点 D 作 AB、BE、

CF、AC 的垂线,其垂足分别为 P、Q、R、S,求证 P、Q、R、S 在同一直线上。


个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲

个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲...:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理西姆松定理。 ...

全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容

2、 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理西姆松定理。 3、 几个全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何 1、 数学竞赛大纲所确定的所有...

高中数学竞赛大纲

方针指引下,全国数学竞赛活动方兴未艾,每年一次的竞 赛活动吸引了广大青少年学生...是: 1.平面几何 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理西姆松定理...

高中数学竞赛大纲doc

高中数学竞赛大纲doc_专业资料。全国高中数学联合竞赛...因此,本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的...:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理西姆松定理。 ...

高中数学竞赛大纲

的方针指导下,全国数学竞赛活动方兴未艾,每年一次的 数学竞赛吸引了上百万学生...平面几何 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理西姆松定理; 三角形...

高中数学竞赛讲义(免费)

高中数学竞赛讲义(免费)_高三数学_数学_高中教育_教育...定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理西姆松定理...t ,参考例 8 可得 2 ? 2 =4。设 3 r2 r1 ...

全国高中数学联赛实施细则

全国高中数学联赛实施细则_学科竞赛_高中教育_教育专区...:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理西姆松定理。 ...其意义至少表现在四个方面:一是激发学生对数学学习...

全国高中数学联赛竞赛大纲

针指引下,全国数学竞赛活动方兴未艾,每年一次的竞赛活动吸引了广大青少年学生参加...是: 1.平面几何 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理西姆松定理...

数学竞赛辅导2

托勒密定理。西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。赛瓦定理及其逆定理。 五、战略布局 1:《近三年真题》 2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题:本大...

高中数学竞赛(全国高中数学联赛)大纲(2006年修订版)

方针指引下,全国数学竞赛活动方兴未艾,每年一次的竞 赛活动吸引了广大青少年学生...是: 1.平面几何 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理西姆松定理...