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高中数学竞赛辅导之——托勒密定理和西姆松定理(学生用)

时间:2015-03-09


托勒密定理和西姆松定理
一、托勒密定理 圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面 积与另一组对边所包矩形的面积之和).即:设四边形 ABCD 内接于圆,则有 ;

4. 若 a、b、x、y 是实数,且

.求证:



5. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边,且

,求证:∠A=2∠B.

说明 本定理的证明给证明 ab=cd+ef 的问题提供了一个典范. 定理:在四边形 ABCD 中,有 1. 如图所示,P 是正△ABC 外接圆的劣弧 ,并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等式成立。 上任一点(不与 B、C 重合), 求证: .
A3 A4 A1 A2

6.

1 1 1 设 A1A2A3?A7 是圆内接正七边形,求证: = + . A1A2 A1A3 A1A4

A5 A7 A6

2. 如图,在△ABC 中,∠A 的平分线交外接圆于 D,连结 BD,求证:AD·BC=BD(AB+AC).

说明 Ptolemy 定理揭示了圆内接四边形中线段关系,在数学中应用非常广泛. 7. 在△ABC 中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,求证: 3. 证明“勾股定理” :在 Rt△ABC 中,∠B=90°,求证: 。

8. 如图,△ABC 与△A'B'C'的三边分别为 a、b、c 与 a'、 b'、c',且∠B=∠B',∠A+∠A'=180°.试证:aa'=bb'+cc'.
c
[

A b a (1) C B' c' a' (2)

10.
A' b' C'

四边形 ABCD 是圆内接四边形,且

是直角,若从 B 作直线 AC、AD 的垂线,垂足分别为 E、F,则直线

EF 平分线段 BD。

B

二、 西姆松定理 西姆松定理:若从 外接圆上一点 P 作 BC、AB、AC 的垂线,垂足分别为 D、E、

F,则 D、E、F 三点共线。

11. 求证:四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点,且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一 条直线上。

西姆松逆定理:从一点 P 向 的外接圆上。 9. 设

的三边(或它们的延长线)作垂线,若垂足 L、M、N 在同一直线上,则 P 在

的三条垂线 AD、BE、CF 的垂足分别为 D、E、F;从点 D 作 AB、BE、

CF、AC 的垂线,其垂足分别为 P、Q、R、S,求证 P、Q、R、S 在同一直线上。


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