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华师一附中2015年自主招生考试数学试卷(有解析)

时间:2016-04-12


华师一附中 2015 年高中招生考试

数学测试题详解
考试时间:80 分钟 卷面满分:150 分 一.选择题(6 分× 6=36 分) 1,如果实数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式 a ? a ? b ? c ? 2ac ? a 可以化简
2 2 2



A. ? a ? b

? c C. ? a ? b ? c
【解析】由图知

B.a ? b ? c D.a ? b ? c

b ? c ? a ? 0,
故 a ? a ? ?a, a ? b ? ? ? a ? b ? , c ? 2ac ? a ? c ? a ? a ? c
2 2 2

a 2 ? a ? b ? c 2 ? 2ac ? a 2 ? ?a ? ? a ? b? ? ? a ? c ? ? a ? b ? c ,选 D.
2. 反比例函数 y ? ?

4 的图象与直线 y ? ?kx ? b 交于 A? ?1, m? , B? n,1 ? x 15 2 13 2

两点,则△OAB 的面积为

A.

11 2

B.4

C.

D.

【解析】 (补形)? xy ? ?4.A? ?1, m? 代入:-m ? ?4,?m ? 4;

B ? n,1? 代入:n ? ?4 .故有 A(-1,4),B(-4,1).
作 AE⊥y 轴于 E,BD⊥x 轴于 D.可知: △AOE≌△BOD.且 S ?AOE ? S ?BOD ?

1 ? 1? 4 ? 2 . 2

延长 EA,DB 交于 C,则四边形 CDOE 是边长为 4 的正方形 , 且 S? CDOE ? 42 ? 16, △ABC 是腰长为 3 的等腰直角三角形 , 且

1 9 S?ABC ? ? 32 ? . 2 2
于是△OAB 的面积为 S ?ABC ? 16 ? 2 ? 2 ?

9 15 ? 2 2

2 3 2 3.设 x1 , x2 是一元二次方程 x ? x ? 3 ? 0 的两根,则 x1 ? 4x2 ?15 等于

A.-4

B.8

C.6

D.0

2 2 【解析】 (降次)由韦达定理: x1 ? x2 ? ?1 ? x1 ? ?1 ? x2 .? x1 ? x1 ? 3, x2 ? x2 ? 3
2 ? x13 ? 4 x2 ? 15 ? x1 ? 3 ? x1 ? ? 4 ? ?1 ? x1 ? ? 15 ? 3x1 ? x12 ? 4 ?1 ? 2 x1 ? x12 ? ? 15 2

? ?5 ? x12 ? x1 ? 3? ? 4 ? ?4 ,故选 A.
4.已知 a, b, c分别是?ABC 的三边长,且满足 2a 4 ? 2b4 ? c 4 ? 2a 2c 2 ? 2b2c 2 ,则△ABC 是 A.等腰三角形 C.直角三角形 B.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

注:原题条件不完整(是代数式而不是条件等式),故无法解出.为试卷完整起见,将原题条件调整 为:
4 4 4 2 2 2 2 已知 a, b, c分别是?ABC 的三边长,且满足 2a ? 2b ? c ? 2a c ? 2b c ? 0 ,则△ABC 是?.

【解析】由条件得: 4a4 ? 4b4 ? 2c4 ? 4a2c2 ? 4b2c2 ? 0,

即? 2a 2 ? c 2 ? ? ? 2b2 ? c 2 ? ? 0,? c 2 ? 2a 2 ? 2b 2 , 或a ? b且a 2 ? b 2 ? c 2 .
2 2

故△ABC 是等腰直角三角形,选 B. 5.在一节 3 数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为 40mm 的正方形硬纸板,他向同学们提出了 这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬 纸板的 最小直径为(单位:mm)

A.80 2

B.40 10

C.25 17

D.100

【解析】当 3 个正方形按如图排列时,其外接圆直径 最小.显然,这个圆是等腰梯形 ABCD 的外接圆 O,这里 AB∥CD 且 CD=40,AB=80. 设此等腰梯形的对称轴交 AB 于 M,交 CD 于 N,则 MN=80. ∵AB>CD,∴OM<ON.设 OM=40-x,ON=40+x,圆半径为 r.
2 2 △AOM 中, r ? 40 ? ? 40 ? x ? 2 2 △DON 中, r ? 20 ? ? 40 ? x ? 2

?1? ? 2?

2

(1)-(2) : 1200 ? 160 x ? 0,? x ?

15 ,代入(2) 2 9025 10625 625 ?17 25 r 2 ? 400 ? ? ? ,? r ? 17. 4 4 4 2

故所求最小圆的直径为 2r ? 25 7 ,故选 C.

? 上一动点,BE⊥直线 OD 于 E,当点 D 由 B 6.如图,△ABC 内接于圆 O,BC=36,∠A=60° ,点 D 为 BC ? 运动到点 C 时,点 E 经过的路线长为 点沿 BC
A.12 3? B.8 3? C.27 3 D.54

【解析】 (轨迹法)如解图,连结 OB,分别在

? 上取 B, D , D , D , C, 其中 OD ? BC ,则相应的动点 BC 2 1 2 3
依次为 B, E1 , E2 , E3 , N .

??BE1O ? ?BE2O ? ?BE3O ? ?BNO ? 90? .故点 E 的轨迹是 OB

? N. 为直径的优弧 BE 2
已知 BC=36,∴ BE2 ? 18.?BOE2 是含 30° 角的直角三角形,∴

OB ? 12 3 .
设 M 为 OB 的中点(优弧圆心),连 MN.则圆 M 的半径 MB= 6 3 .

? N 之长为圆 M 周长的 注意到∠BOC=120° ,∴∠BON=60° ,∠BMN=120° , 优弧 BE 2
2 2 ,? lBE ? 2? ? 6 3 ? 8 3? . ,故选 B. ? N ? 2 3 3
二.填空题(7× 7=49 分) 7.方程 x ?16 ? 4x ? x ? 1? 的所有根的和为
3
3 2 【解析 1】 x ? 4 x ? 4 x ? 16 ? 0 .根据广义韦达定理,此方程 3 根之和为 4.

即 ? x1 ? x2 ? x3 ? ?

? ?

b ? , 这里a ? 1, b ? ?4 ? a ?

【解析 2】由原方程得: ? x ? 4?? x ? 2?? x ? 2? ? 0,? x1 ? 4, x2 ? ?2,

x3 ? 2.x1 ? x2 ? x3 ? 4 .
8.在 5 瓶饮料中,有 2 瓶已过了保质期,随机地从这 5 瓶饮料中取 2 瓶,取到至少有 1 瓶过保质期饮 料的概率为 【解析】 (正繁则反)由于从这 5 瓶饮料中任取 2 瓶,没有过期饮料的概率为

3 3 2 , 故取 2 瓶,取到至少有 1 瓶过保质期饮料的概率为 1 ? ? 5 5 5 2a ? a ? 1 无解,则 a 的值是 9.关于 x 的方程 x ?1
【解析】由原方程得: 2a ? ? a ?1?? x ?1?

?1?

关于 x 的方程(1)只有唯一解 x ? 1 ,代入(1)得 a ? 0 ,此时原方程无解; 又在方程(1)中令 a ? 1, 得 a ? 0 .矛盾.此时方程(1)无解,从而原方程无解. 故若原方程无解,则必 a ? 0或1 . 10.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,分别以各自的速度在甲乙 两地间匀速行驶,1 小时后,快车司机发现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回拿上文件 (取文件时间 不计)后再从甲地开往乙地,结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶速度为 x(h), 两车之间的距离为 y(km),y 与 x 的函数图象如图所示,则 a ? 【解析】慢车 12.5 小时走完全程,

12.5x ? 1000 ? x ? 80 ? km?
设快车速度为 t(h) ∵1 小时后两车相距 800km,即 1 小时两车共行 200km, ∴t=120km(h) ∵a 小时后两车相遇,此时慢车走 80akm,快车走 120(a -1)km,故有:

80a ?120 ? a ?1? ? 1000 ? 200a ? 1120,?a ? 5.6 ? h?
11.已知 a ? 4, 当 1 ? x ? 3时,函数y ? 2 x ? 3ax ? 4 的最小值为-23,则 a =
2

3 3 ? ? 9 ? ? 【解析】原式配方得 : y ? 2 ? x ? a ? ? ? 4 ? a ? , 抛物线开口向上且对称轴为 x ? a . 当 4 4 ? ? 8 ? ? 3 a ? 4时, a ? 3 ,故当 1 ? x ? 3 时,y 随 x 增大而减小.故当 4
x=3 时有:

2

2 ? 32 ? 3a ? 3 ? 4 ? ?23 ? 9a ? 45,? a ? 5.
12. 如 图 , 在 单 位 为 1 的 正 方 形 的 网 格 纸 上 ,

?A1A2A3 ,?A3A4A5 ,?A5A6A7 ,?, 都是斜边在 x 轴上,且斜边长分别为 2,4,6,?的等腰直角三角形.
若 ?A1A2 A3 的顶点分别为 A1 ? 2,0? ,A2 ?1,-1? ,A3 ? 0,0? , 则依图中的规律, A 2015 的坐标为 【解析】注意到点 A 1, A 3, A 5 ,?, A 2 n?1 全在 x 轴上,设其横坐标依次为 x1 , x3 , x5 ,?, x2015 .. 继续分析.点 A 4 n ?1 都在原点右边,其横坐标取正值,点 A 4 n ?1 都在原点左边(其中 A3 为原点),其横 坐标取 0 或负值(其中仅 A3 横坐标为 0). ∵2015=4× 504-1,故 A2015 必在原点左边,其横坐标必为负值. 易求 x3 ? x4?1?1 ? 0, x7 ? x4?2?1 ? 0 ? ? ?2? ?1, x11 ? x4?3?1 ? 0 ? ? ?2? ? 2 ? ?4,?

x2015 ? x4?504?1 ? 0 ? ? ?2? ? 503 ? ?1006 ,故所求点 A 的坐标为: A2015 ? ?1006,0? .
13.有一张矩形风景画,长为 90cm,宽为 60cm,现对该风景画进行装裱,得到一个新的矩形,要求其长, 宽之比与原风景画的长,宽之比相同,且面积比原风景画的面积大 44%.若装裱后的上,下边衬的宽都为

a cm,左,右边衬都为 b cm,那么 ab ?

【解析】依题意有:

90 ? 2a 90 3 2a 3 ? ? ? ? (据等比定理) 60 ? 2b 60 2 2b 2
故 2a ? 3b

?1?
144 100

又: ? 90 ? 2a ?? 60 ? 2b ? ? 90 ? 60 ?

? 120a ?180b ? 4ab ? 54 ? 44

? 2?

2 2 (1)代入(2) : 60 ? 3b ? 180b ? 6b ? 54 ? 44 ? b ? 60b ? 396 ? 0.

解得: b ? 6或b ? ?66 舍 ,从而 a ? 9,? ab ? 54 . 三.解答题
2 14.(14 分)已知 m,n 是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根,

? ?

(1)求 ? m ? 5 ?

? ?

16 ? 2m ?10 2 ? 的值; ?? 5? m ? 3? m m

(2)求

m3 n3 的值 ? n m

【解析】 (1)∵ m2 ? 3m ? 1 ? 0, 故

16 ? 2m ?10 2 ? m ? 5?? m ? 5? ? 16 2 ? m ? 5? 2 ? ? ? ? ? ?m?5? ?? 5? m ? 3? m m m?5 ? ? m ? 3? m ?

??

2 ? m2 ? 9 ? m?3

?

2 2 m2 ? 3m ? 1 ? ?2 ? m ? 3? ? ? ?2 ? ?0. m m m ?m ? n ? ?3 ? mn ? 1

(2)m,n 是方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根,? ?

m3 n3 m3 n3 m4 ? n4 m3 n3 2 设x? ,则 x ? ? ?2 ? ? ? 2 m2 n 2 ? n m n m mn n m
2 2 ? mn ? 1,? x2 ? ? m2 ? n2 ? ? 2m2n2 ? 2 ? ?? m ? n ? ? 2mn? ? ?9 ? 2? ? 49 ? ? 2 2

? x ? 7,即

m3 n3 =7. ? n m

15.(15 分)如图,△ABC 中,AC=BC,I 为△ABC 的内心,O 为 BC 上一点,过 B,I 两点的圆 O 交 BC 于 D 点, tan ?CBI ?

1 , AB ? 6, 3

(1)求线段 BD 的长; (2)求线段 BC 的长 【解析】 (1)如解图,I 为△ABC 内心,故 BI 平分 ∠ABC.设∠ABI=∠CBI=α. 连 CI,并延长交 AB 于 E,∵CA=CB,∴CE⊥AB,且 AE=BE=3.于是 IE=BE ? tan ? ? 3 ?

1 ? 1, BI ? 32 ? 12 ? 10 . 3

连 DI,∵BD 为圆 O 的直径,∴∠BID=90° .于是

DI ? BI ? tan ? ?

10 10 10 , BD ? 10 ? ? . 3 9 3

5 ,∴∠DOI=2α,故 OI∥AB, 3 5 OI CO CO 5 3CO △COI∽△CBE, ? ?3? ? ? , BE CB 3 CO ? 5 9 3CO ? 5 3 25 25 5 15 ? CO ? , BC ? ? ? . 12 12 3 4
(2)连 OI,∵OI=OB=

16.(18 分)如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠BCD=90° ,AD=6,BC=3,DE⊥AB 于 E,AC 交 DE 于 F, (1)求 AE· AB 的值; (2)若 CD=4,求

AF 的值; FC ME 的值. EC

(3)若 CD=6,过 A 点作 AM∥CD,交 CE 的延长线于 M, 求

【解析】 (1)如解图 1,作 AG∥BC,交 CB 延长线于 G,则四边形 AGCD 为矩形. ∴GC=AD=6,但 BC=3,∴GB=3. 已知 DE⊥AB 于 E,∴△AGB∽△DEA. 于是

AB BG ? ? AB ? AE ? AD ? BG ? 18. AD AE
(2)延长 AB,DC 交于 H.∵AD∥BC,且

AD=2BC,∴BC 为△AHD 的中位线,故 CH=DC=4.由勾股定理知 AH=10,AB=BH=5. 沿 DE,CB 交于 T,有△AED∽△BTE. Rt△ADH 中,DE⊥AH,? AE ?

AD 2 36 18 ? ? , AH 10 5

BE ? AB ? AE ? 5 ?

18 7 ? .于是 5 5 7 7 7 16 BT BE BT 7 ? ? ? 5 ? , ? BT ? , CT ? 3 ? ? 3 3 3 AD AE 6 18 18 5
由△AFD∽△CFT,知

AF AD 6 9 ? ? ? . FC CT 16 3 8

(3)如解图 3 有 AB ? BH ? 3 5,

AE ?

36 6 6 24 ? ,? EH ? 6 5 ? ? 6 5 5 5 5

∵△AEM∽△HEC,?

ME AE 6 5 1 ? ? ? . EC EH 24 4 5

17.(18 分)二次函数 y ? 4 x2 ? 2mx ? n 的图象与 x 轴交于 A? x1 ,0? , B ? x2 , o ? 两点? x1 ? x2 ? , 与 y 轴交于 c 点. (1)若 AB=2,且抛物线的顶点在直线 y=-x-2 上,试确定 m,n 的值; (2)在(1)中,若点 P 为直线 BC 下方抛物线上一点,当△PBC 的面积最大时,求 P 点坐标; (3)是否存在整数 m,n,使得 1 ? x1 ? 2,1 ? x2 ? 2, 同时成立?请证明你的结论. 【解析】 (1) AB=2 ? x2 ? x1 ? 2 ? ? x2 ? x1 ? ? 4 x2 x1 ? 4 .
2

m ? x1 ? x2 ? ? m2 ? 2 ?n ? 4 由韦达定理: ? ,故有: 4 ? xx ?n 1 2 ? ? 4
? m 4n ? m 2 ? 抛物线的顶点为 ? , ? ,代入 y=-x-2: 4 ? ?4

?1?

4n ? m 2 m m2 m ? ? ?2? n ? ? ?2 4 4 4 4
2? m ? 0,? m ? 8, 从而 n ? 12 . 4
2

: ? 2 ? 代入(1)

(2)在(1)的条件下,有: y ? 4x ?16x ?12 此抛物线的顶点为(2,-4),交 x 轴于 A(1,0),B(3,0),交 y 轴于 C(0,12) 易求直线 BC 的解析式为 y ? ?4 x ? 12 . 为使△PBC 面积最大,只需点 P 与直线 BC 距离最远. 设过 P 且平行于 BC 的直线解析式为 y ? ?4 x ? b ,代入抛物线解析式;

4 x2 ? 16 x ? 12 ? ?4 x ? b ? 4 x 2 ? 12 x ? 12 ? b ? 0.

令? ? 144 ?16 ?12 ? b? ? 0 ? 9 ? 12 ? b,?b ? 3 .此时有 x ? , y ? ?4 ? ? 3 ? ?3.
即所求点的坐标为 P ?

3 2

3 2

?3 ? , ?3 ? . ?2 ?

2 (3) (反证法)假如存在这样的整数 m,n,使得方程 4 x ? 2mx ? n ? 0 之 2 根满足 1 ? x1 , x2 ? 2 .

那么: 2<x1 ? x2 ?

m <4, ? 4<m ? 8, m为整数, ? m ? 5,6,7; 2

?1? ? 2?

1<x1 x2 ?

n <4, ? 4 ? n ? 16, n为整数, ? n ? 5,6,7,? ,15; 4

? ? 4m2 ? 16n ? 0,? n ?

m2 4

? 3?

方程之 2 根为: x ?

2m ? 4m2 ? 16n m ? m2 ? 4n ? 8 4

由 由

m ? m2 ? 4n ? 1 ? m ? 4 ? m2 ? 4n ? m2 ? 8m ? 16 ? m2 ? 4n ? n ? 2m ? 4 4

? 4?

m ? m2 ? 4n ? 2 ? m2 ? 4n ? 8 ? m ? m2 ? 4n ? 64 ? 16m ? m2 ? n ? 4m ? 16 4
m2 当 m=5 时,2m-4=6>4m-16=4,根据(3),(4),取 2m-4< n ? ,即 4
6?n?6 1 ,无整数解,舍去; 4

? 5?

当 m=6 时, 2m-4=8=4m-16, 根据(3),(4),取 2m-4< n ?

m2 ,即 4

8 ? n ? 9, 无整数解,舍去;

m2 1 , 即 12 ? n ? 12 无整 当 m=7 时, 2m-4=10<4m-16=12. 根据(5),(4),取 4m ? 16 ? n ? 4 4
数解,舍去. 据上分析,不存在整数 m,n,使得 1 ? x1 ? 2,1 ? x2 ? 2, 同时成立.


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