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2016届山西晋城市高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题

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2016 届山西晋城市高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ? x | x ? 2? ,则 A ? B ? ( A. ?2,3, 4? 2. 若复数 z

? B. ?3, 4? ) D. ?2, 4?

C. ?1, 2,3? )

i 2 ? (i 为虚数单位), 则 z ? ( 1? i i
B. 2 ) C.

A.

10 2

3 2

D.

2 2

3. 下列说法中正确的是(

A. “ f ? 0 ? ? 0 ”是“函数 f ? x ? 是奇函数” 的必要不充分条件
2 B.若 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0

2

C.命题“若 x 2 ? 1 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 ” 的否命题是“若 x 2 ? 1 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 ” D.命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题的充要条件是 ? ?p ? q ? ? ? ?q ? p ? 为真命题 4. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点 F 与虚轴的两个端点构成的三角形 a 2 b2
) B. x ? 3 y ? 0 D. 3 x ? y ? 0

为等边三角形,则双曲线 C 的渐近线方程为( A. 2 x ? y ? 0 C. x ? 2 y ? 0

5. 已知定义在 R 上的偶函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? 4 ? ? f ? x ? ,当 x ? ? 4,5? 时, f ? x ? ? x ? 1 , 则 f ?103? ? ( A. 2 B. 3 ) C. 4 ) D. 6

6. 执行如图所示的程序框图, 输出的结果为(

第 1 页(共 11 页)

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6 )

7. 已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 若 a5 a9 ? 3, a6 a10 ? 9 ,则 a7 a8 ? ( A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 3 3

8. 已知函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 函数 y ? f ? x ? 的图象向左平移 A. ?

? ?

??

? 相邻两对称中心之间的距离为 ,将 2 2?

?

?
3

个单位所得图象关于直线 x ? C.

?
2

对称, 则 ? ? ( D. ) D. 16?



?
4

B. ?

?
6

?
6

?
4

9. 底面半径为 3 ,母线长为 2 的圆锥的外接球 O 的表面积为( A. 6? B. 12? C. 8?

?0 ? x ? 3 x? y?2 ? 10. 已知实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? 3 y ? 6 ,则 z ? 的取值范围是( x ?1 ?3 x ? 4 y ? 12 ?
A. ? ?4,



? ?

7? 16 ? ?

B. ? ?4,1?

C. ? ,

?1 7 ? ? 4 16 ? ?


D. ? ,1?

?1 ? ?4 ?

11. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为(

A.

5 3

B. 2

C.

5 2

D. 3

第 2 页(共 11 页)

?e x , x ? 0 ? 12. 已知 f ? x ? ? ?1 ? x, 0 ? x ? 1 ,若 a ? b ? c, f ? a ? ? f ? b ? ? f ? c ? ,则实数 a ? 3b ? c 的 ? ? x ? 1, x ? 1
取值范围是( A. ? ??, ) B. ? ??,

? ?

11 ? ? ln 2 ? 4 ?

? ?

5 ? ? ln 2 ? 4 ?

C. ? ??,

? ?

? 5 1 ? e2 ? 2 ?

D. ? ??,

? ?

? 15 1 ? e2 ? 4 ?

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 某中学为调查在校学生的视力情况, 拟采用分层抽样的方法, 从该校三个年级中抽取 一个容量为 30 的样本进行调查, 已知该校高一、 高二、 高三年级的学生人数之比为 4 : 5 : 6 , 则应从高一年级学生抽取 名学生. 14. 已知平面向量 a, b, c 满足 c ? a ? mb(m 为实数), a ? c, b? c ? ?2, c ? 2 ,则

? ? ?

?

?

?

?

? ??

?

m?

. .

15. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, an ? a2 n ? n, a2 n ?1 ? an ? 1 ,则 S 49 ?
2

16. 已知抛物线 y ? 2 px 的焦点为 F ?1, 0 ? , A, B, C 是抛物线上不同的三点(其中 B 在 x 轴 的下方), 且 2 FB ? FA ? FC , FA ? FB ? FC ? 0 ,则点 B 到直线 AC 的距离 为 .

??? ? ??? ? ??? ?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且

2c ? 2a cos B ? b .
(1)求角 A 的大小; (2)若 ?ABC 的面积为

3 ,且 c 2 ? ab cos C ? a 2 ? 4 ,求 a . 4

18. (本小题满分 12 分)为了解初三某班级第一次中考模拟考试的数学成绩情况, 从该班
第 3 页(共 11 页)

级随机调查了 n 名学生,数学成绩的频率分布直方图以及成绩在 100 分以上的茎叶图如图所 示:

(1) 通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩(同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表) ; (2)从数学成绩在 100 分以上的学生中任选 2 人进行学习经验交流, 求有且只有一人成绩 是 105 分的概率. 19. (本小题满分 12 分)如图所示, 已知在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面四边形 ABCD 是 直角梯形, BC ? AD, BC ? CD, AD ? CD ? 2 BC ? 4, ?PAD 是等边三角形, 平面 PAD ? 平面 ABCD , E , F 分别是 PD, PC 的中点, M 为 CD 上一点. (1)求证:平面 BEF ? 平面 PAD ; (2)求三棱锥 M ? EFB 的体积.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ,过焦点且垂 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 2 a b 2

直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 l1 经过椭圆 C 上的顶点 P 且与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A, B 两点,过点 P 作 l1 的垂线

l2 交椭圆 C 于另一点 D ,当 ?ABD 的面积最大值时, 求直线 l1 的方程.

第 4 页(共 11 页)

1 ex ex 21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ? ? 3, F ? x ? ? ln x ? ? 3x ? 2 . x e e
(1)判断 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的单调性; (2)判断函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上零点的个数.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ? O 是 ?ABC 的外接圆, ?BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D ,交 ? O 于 E ,连接 CO 并延长, 交 AE 于 G ,交 AB 于 F . (1)证明:

AF FG CD ; ? ? AB GC BD

(2)若 AB ? 3, AC ? 2, BD ? 1, 求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的方程是 y ? 6 ,圆 C 的参数方程是 ? 以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)分别求直线 l 和圆 C 的极坐标方程; (2)射线 OM : ? ? ? ( 0 ? ? ?

? x ? cos ? (? 为参数), ? y ? 1 ? sin ?

?
2

) 与圆 C 交于 O, P 两点, 与直线 l 交于点 M ,射线

ON : ? ? ? ?

?
2

与圆 C 交于 O, Q 两点, 与直线 l 交于点 N ,求

OP

OM ON

?

OQ

的最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
第 5 页(共 11 页)

设函数 f ? x ? ? 2 x ? a ? x ?

1 . a

(1)当 a ? 1 时, 解不等式 f ? x ? ? x ? 3 ; (2)当 a ? 0 时, 证明: f ? x ? ?

2.

山西晋城市 2016 届高三下学期第三次模拟考试数学(文) 试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5.BADCD 6-10.CDBDB 11-12.BA

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 8 三、解答题
17. 解: (1)由 2c ? 2a cos B ? b 及正弦定理可得

14. ?2

15. 325

16.

3 5 5

2sin C ? 2sin A cos B ? sin B ,
? sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B,? cos A sin B ? sin B , 2

由余弦定理

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2b cos A ? b 2 ? c 2 ? bc ,

1 3 7 . ? S ?ABC ? bc sin A ? ,? bc ? 1,? a 2 ? 8 ? 3a 2 ? 1 ,得 a ? 2 4 2
18. 解: (1)数学成绩的平均数估计为:

55 ?

1 2 3 7 6 5 1 ? 65 ? ? 75 ? ? 85 ? ? 95 ? ? 105 ? ? 115 ? ? 88.6 . 25 25 25 25 25 25 25
第 6 页(共 11 页)

(2)记成绩为 103,103,107,112 分的学生分别为 A, B, C , D 两位 105 分的学生分别为 a, b , 从中任取两人有:

? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D ? , ? A, a ? , ? A, b ? , ? B, C ? , ? B, D ? , ? B, a ? , ? B, b ? , ? C , D ? , ? C , a ? , ? C , b ? , ? D, a ? , ? D, b ? , ? a, b ? 共 15 种结果,
结果有 8 个, 所以其概率为 有且只有一人成绩是 105 分的

8 . 15

19. 解: (1)因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD, CD ? 平面

ABCD , CD ? AD,? CD ? 平面 PAD ,又因为 ?PCD 中, E , F 分别是 PD, PC 的中点,
所以 EF ? CD ,可得 EF ? 平面 PAD ,因为 EF ? 平面 EFB ,所以平面 BEF ? 平面

PAD .
(2)因为 EF ? CD , EF ? 平面 EFB, CD ? 平面 EFB ,所以 CD ? 平面 EFB ,因此 CD 上 的点 M 到平面 EFB 的距离等于点 D 到平面 EFB 的距离, 所以 VM ? EFB ? VD ? EFB ,取 AD 的中点 H ,连接 BH 、 EH ,则 EF ? BH ,因为 EF ? 平面 PAD, EH ? 平面 PAD ,所以

EF ? EH ,又因为 AD ? CD ? 2 BC ? 4 ,于是

1 S ?EFH ? S ?EFB ? ? EF ? EH ? 2 ,因为平面 BEF ? 平面 PAD, 平面 BEF ? 平面 2
PAD ? EH , ?EHD 是正三角形, 所以点 D 到平面 EFB 的距离等于正 ?EHD 的边 EH 上
的高, 即为 3 . 所以三棱锥 M ? EFB 的体积 VM ? EFB ? VD ? EFB ?

1 2 3 . S ?EFB ? 3 ? 3 3

20. 解: (1)由题意知

c 2 2b 2 ? , ? 2 ,得 b ? c ? 1, a ? 2 ,,所以椭圆 C 的方程 a 2 a

x2 ? y 2 ? 1. 2
第 7 页(共 11 页)

(2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , D ? x0 , y0 ? ,由题意知直线 l1 的斜率存在, 当 k ? 0 时, 直线 l1 的方程为 y ? 1, AB ? 2 3 ,直线 l2 的方程为 x ? 0 ,所以 D ? 0, ?1? ,所以

1 S ?ABD ? ? 2 3 ? 2 ? 2 3 ,当 k ? 0 时, 2
设直线 l1 的方程为 y ? kx ? 1 又圆 x 2 ? y 2 ? 4 故原点 O 到直线 l1 的距离 d ?

1 k 2 ?1

,所以

4k 2 ? 3 ,又 l1 ? l2 ,故直线 l2 的方程为 x ? ky ? k ? 0 ,由 AB ? 2 4 ? d ? 2 k 2 ?1
2

? x ? ky ? k ? 0 消去 y , 整理得 ? 2 ? k 2 ? x 2 ? 4kx ? 0, ? ? 16k 2 ? 0 ,故 ? 2 2 x ? 2 y ? 2 ?
x0 ? 4k 1 4k 4 1? k 2 , , ? PD ? 1 ? ? 2 ? k2 k2 2 ? k2 2 ? k2

设 ?ABD 的面积为 S ,则 S ?

1 1 4 1? k 2 4k 2 ? 3 4 4k 2 ? 3 PD ? AB ? ? ? 2 ? ,设 2 2 2 ? k2 k 2 ?1 2 ? k2

t ? 4k 2 ? 3 ,则 k 2 ?

4t 16 16 8 t2 ? 3 ? ? ? 5 ,当且仅当 ,所以 S ? 2 5 5 t 5 4 2 5 ?t ? 4 4 t

t ? 5, k ? ?

8 5 2 时取等号. 又因为 ? 2 3 ,所以所求直线 l1 的方程为 5 2

y??

2 x ?1. 2

21. 解: (1)因为 f ' ? x ? ? ?

1 ex 1 ex , 令 ? h x ? f ' x , h ' x ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ,当 x ? 0 x2 e x e

时, h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, 即 f ' ? x ? 是 ? 0, ?? ? 上的增函数, 且有

f ' ?1? ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, 则 f ' ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 ,则 f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 内
单调递减, 在 ?1, ?? ? 内单调递增. (2) F ' ? x ? ?

1 ex ? ? 3 ,由(1) 知 f ? x ? ? F ' ? x ? ,所以 F ' ? x ? 在 ? 0,1? 内单调递 x e

第 8 页(共 11 页)

1

减, F ' ? x ?

2 ? ? 1 ? e3 在 ?1, ?? ? 内单调递增. 因为 F ' ?1? ? ?1 ? 0 且 F ' ? ? ? ? e 3 ? 0 ,所以根 ?3? e

据零点的存在性定理, 存在唯一 t1 ? ? ,1? ,使得 F ' ? t1 ? ? 0 ,又 F ' ? 2 ? ? e ? 2.5 ? 0 ,同理, 存在唯一 t2 ? ?1, 2 ? ,使得 F ' ? t2 ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ? 0, t1 ? , ? t2 , ?? ? 内单调递增, 在 ? t1 , t2 ? 内单调递减, 则 F ? t1 ? ? F ?1? ? 0 ? F ? t2 ? , 故 x ? 1 是 F ? x ? 在 ? t1 , t2 ? 内的唯一零点, 由

?1 ? ?3 ?

3 ?1? F ? x ? 在 ? 0, t1 ? 内单调递增, F ? 3 ? ? ? 3 ? 0 , 且 F ? t1 ? ? 0 所以根据零点的存在性定理, e ?e ?
存在唯一 x1 ? ?

?1 ? , t ,使得 F ? x1 ? ? 0, x ? x1 是 F ? x ? 在 ? 0, t1 ? 内的唯一零点, 由 F ? x ? 在 3 1? ?e ?
且 F ? t2 ? ? 0 ,所以根据零点的存

? t2 , ?? ? 内单调递增, F ? 3? ? ln 3 ? e2 ? 7 ? e2 ? 6 ? 0 ,

在性定理, 存在唯一 x2 ? ? t2 ,3? ,使得 F ? x2 ? ? 0, x ? x2 是 F ? x ? 在 ? t2 , ?? ? 内的唯一零点, 综上所述, F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 内共有三个零点, 分别为 x1 ,1, x2 . 22. 解: (1)如图, 过 D 作 DM ? AB 交 AC 于 M , 连接 BE , 所以

BD AM ? , ?BAD ? ?ADM ,又因为 DC MC

?BAD ? ?CAD,??CAD ? ?ADM ,? AM ? MD ,

?

MD CM AB MD AM AB BD , ? , ? ? ,? ? AB AC AC CM CM AC DC AF FG AF FG CD 同理可得 . ? ,? ? ? AC GC AB GC BD

CD 又 (2)因为 AD?DE ? BD?
?ADC ? ?ABE ,?

AB BD 2 ? ,? DC ? ,因为 AC DC 3

AD AC ,即 ? AB AE

AD?AE ? AB?AC ,? AD?? AD ? DE ? ? AB?AC ,

第 9 页(共 11 页)

? AD 2 ? AB?AC ? AD?DE ? AB ?AC ? BD?DC ? 3 ? 2 ? 1?

2 16 4 ? ,? AD ? 3. 3 3 3
2

23. 解: (1)直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? ,圆 C 的普通方程为 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 ,所以 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (2)依题意得, 点 P, M 的极坐标分别为 ? 2sin ? , ? ? 和 ?

? 6 ? , ? ? ,所以 ? sin ? ?

OP ? 2sin ? , OM ?

6 ,从而 sin ?

OP 2sin ? sin 2 ? ,同理 ? ? 6 OM 3 sin ?

?? ?? ? ? sin 2 ? ? ? ? sin 2 ? ? ? ? 2 2 OQ OP OQ sin ? 2? 2 ? sin 2? ? ? , ? ,? ? ? ? ? ON 3 OM ON 3 3 36
故当 ? ?

?
4

时,

OP OQ 1 的值最大, 该最大值是 . ? OM ON 36

1 ? ??3 x, x ? ? 2 ? 1 ? 24. 解: (1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ? x ? 2, ? ? x ? 1 , 由 f ? x ? ? x ? 3 ,得 2 ? ?3 x, x ? 1 ? ?

1 ? ?x ? ? 或 2 ? ? ??3 x ? x ? 3 ? 1 ?x ? 1 3 1 1 3 ?? ? x ? 1 或? ,解得 ? ? x ? ? 或 ? ? x ? 1 或 1 ? x ? , ? 2 4 2 2 2 ?3 x ? x ? 3 ? ?x ? 2 ? x ? 3
所以 f ? x ? ? x ? 3 的解集为 ? ?

? 3 3? , ?. ? 4 2?

第 10 页(共 11 页)

1 1 ? ?3 x ? a ? a , x ? a ? 1 ? 1 a 1 1 2 (2) f ? x ? ? 2 x ? a ? x ? ? ? x ? a ? , ? ? x ? ,当 x ? 时, f ? x ? ? ? a ,当 a ? a 2 a a a 1 a ? ??3 x ? a ? a , x ? ? 2 ?
a a 1 a 1 x ? ? 时, f ? x ? ? ? , 当 ? ? x ? 2 2 a 2 a a 1 2 a 1 时, ? ? f ? x ? ? ? a , f ? x ?min ? ? ? 2 . 2 a a 2 a

第 11 页(共 11 页)


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