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高二数学教案:圆锥曲线方程:02


椭圆及其标准方程

一、教学目标 (一)知识教学点 使学生理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程. (二)能力训练点 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导,培养学生分析探索能力,增强运用坐标法解 决几何问题的能力. (三)学科渗透点 通过对椭圆标准方程的推导的教学,可以提高对各种知识的综合运用能力. 二、教材分析 1.重点:椭圆的定义和椭圆的标准方

程. (解决办法:用模型演示椭圆,再给出椭圆的定义,最后加以强调;对椭圆的

标准方程单独列出加以比较.)
2.难点:椭圆的标准方程的推导. (解决办法:推导分 4 步完成,每步重点讲解,关键步骤加以补充说明.) 3.疑点:椭圆的定义中常数加以限制的原因. (解决办法:分三种情况说明动点的轨迹.) 三、活动设计 提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答. 四、教学过程 (一)椭圆概念的引入 前面,大家学习了曲线的方程等概念,哪一位同学回答: 问题 1:什么叫做曲线的方程?求曲线方程的一般步骤是什么?其中哪几个步

骤必不可少?

对上述问题学生的回答基本正确,否则,教师给予纠正.这样便于学生温故而知新,在 已有知识基础上去探求新知识.

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形. 问题 3:圆的几何特征是什么?你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探

索?
一般学生能回答:“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”.对同学提出的轨 迹命题如: “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.” 教师要加以肯定,以鼓励同学们的探索精神. 比如说,若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”,那么动点轨迹是 什么呢?这时教师示范引导学生绘图: 取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的 F1 和 F2 两点(如图 2-13),当

绳长大于 F1 和 F2 的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就 可以画出一个椭圆.
教师进一步追问: “椭圆, 在哪些地方见过?”有的同学说: “立体几何中圆的直观图. ” 有的同学说:“人造卫星运行轨道”等??

在此基础上,引导学生概括椭圆的定义: 平面内到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭

圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.

学生开始只强调主要几何特征——到两定点 F1、 2 的距离之和等于常数、 F 教师在演

示中要从两个方面加以强调:
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是椭球形,使学

生认识到需加限制条件:“在平面内”.
(2)这里的常数有什么限制吗?教师边演示边提示学生注意:若常数=|F1F2|,

则是线段 F1F2;若常数<|F1F2|,则轨迹不存在;若要轨迹是椭圆,还必须加上限 制条件:“此常数大于|F1F2|”.
(二)椭圆标准方程的推导 1.标准方程的推导 由椭圆的定义,可以知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所 知,所以需要用坐标法先建立椭圆的方程. 如何建立椭圆的方程?根据求曲线方程的一般步骤,可分:(1)建系设点;(2)点的集

合;(3)代数方程;(4)化简方程等步骤.
(1)建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜

率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法 是恰当的.
以两定点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐

标系(如图 2-14).设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有 F1(-1, 0),F2(c,0).

(2)点的集合 由定义不难得出椭圆集合为: P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

(3)代数方程

(4)化简方程 化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演,其余同学在下面完成,教师 巡视,适当给予提示: ①原方程要移项平方,否则化简相当复杂;注意两次平方的理由详见问题 3 说明.整

理后,再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
②为使方程对称和谐而引入 b,同时 b 还有几何意义,下节课还要

(a>b>0). 关于证明所得的方程是椭圆方程,因教材中对此要求不高,可从略.

示的椭圆的焦点在 x 轴上,焦点是 F1(-c,0)、F2(c,0).这里 c2=a2-b2. 2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c,0),这里 c2=a2-b2;

-c)、F2(0,c),这里 c2=a2+b2,只须将(1)方程的 x、y 互换即可得到.

教师指出:在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在

哪一个坐标轴上.
(三)例题与练习 例题

平面内两定点的距离是 8,写出到这两定点的距离的和是 10 的点的轨

迹的方程.
分析:先根据题意判断轨迹,再建立直角坐标系,采用待定系数法得出轨迹方程. 解:这个轨迹是一个椭圆,两个定点是焦点,用 F1、F2 表示.取过点 F1 和 F2 的直

线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系.
∵2a=10,2c=8. ∴a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9.∴b=3 因此,这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想,焦点 F1、F2 放在 y 轴上,线段 F1F2 的垂直平分

练习 1

写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

练习 2

下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是

[

]

由学生口答,答案为 D. (四)小结 1.定义:椭圆是平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的

点的轨迹.

3.图形如图 2-15、2-16.

4.焦点:F1(-c,0),F2(c,0).F1(0,-c),F2(0,c). 五、布置作业 1.如图 2-17,在椭圆上的点中,A1 与焦点 F1 的距离最小,|A1F1|=2,A2 F1 的距离最大,|A2F1|=14,求椭圆的标准方程.

3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

是过 F1 的直线被椭圆截得的线段长,求△ABF2 的周长. 作业答案:

4.由椭圆定义易得,△ABF2 的周长为 4a. 六、板书设计


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