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2012空间两条直线的位置关系(二)


楚州中学 2011~2012 学年度第一学期高二年级数学学科学案

编者:王波

No:012

空间两条直线的位置关系(2)
班级 姓名 得分 教学目标:判断空间两直线为异面直线;异面直线所成角的定义、范围 及应用. 教学重点:异面直线的判定,异面直线所成角的计算. 教学难点:异面直线的判定,异面直线所成角的

计算. 课前预习 1.两架飞机同时在天空飞过,其中一架从东向西飞行,另一架从南向北飞行, 它们各留下了一条白色的痕迹,这两条白色的痕迹一定相交吗? 2.在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,直线 AB 与 A1C 具有怎样的位置关系? 3.已知 a ? ?,A ? ?,B ? ?,B ? a ,求证:直线 AB 与 a 是异面直线. A

a 定理: 的直线,和这个平面内 α

B

的直线是异面直线. 符号语言:

4.异面直线所成的角: (尝试在右侧画出图形表示) 已知异面直线 a、 b ,经过空间中任一点 O 作直线 a ? // a、b? // b ,我们把 a ? 与 b? 所成的锐角(或直角) 叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) . 异面直线所成的角的范围_____________________. ?课堂互动 例 1 已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是棱长为 a 的正方体. (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线 BC1 是异面直线; (2)求异面直线 AA1 与 BC 所成的角; (3)求异面直线 BC1 和 AC 所成的角.
A1 B1 D A B D1 C1

C

1

楚州中学 2011~2012 学年度第一学期高二年级数学学科学案

编者:王波

No:012

例 2 已知 P 为 ?ABC 所在平面外一点, PC ⊥ AB , PC ? AB ? 2 , E,F 分 别是 PA 和 BC 的中点. (1)求证: EF 与 PC 是异面直线; (2)求 EF 与 PC 所成的

P E C A B F

巩固练习 1.在三棱锥所有的棱中互为异面直线的有_____________对. 2.下列说法正确的有________________.(填上正确的序号) ①.过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线. ②.过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直. ③.若 a // b,c ? a ,则 c ? b . ④.若 a ? c,b ? c ,则 a // b . 3.已知长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 2 3,AA ? 2 . 1 (1)直线 BC 与 A1C1 所成的角; (2)直线 AA1 与 BC1 所成的角.
A1 B1 D D1 C1

C B

课后训练

A

1.两条异面直线所成角的取值范围是____________________________. 2.在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,面 ABB A1 的对角线 AB1 所在直线 1 与直线 DD1 所成角的大小是________________________________.
2

楚州中学 2011~2012 学年度第一学期高二年级数学学科学案

编者:王波

No:012

3.已知 ABCD? A1 B1C1 D1 是棱长为 a 的正方体, E,F 分别是 AA,AB 的中 1 点. D1 C1 (1)哪些棱所在直线与直线 DC 是异面直线? (2)哪些棱所在直线与直线 EF 垂直? A1 B1 (3)直线 C1 D1 与 EF 的夹角是多少?
E D C

二 提高题 4.长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA ? 1

A

F

B

2,AB ? 2 ,则异面直线 AB1

与 BC1 所成角的余弦值是_______________. 三 能力题 5.在空间四边形 ABCD 中, E、F 分别是 AB、CD 中点,且 EF ? 5 , 又 AD ? 6,BC ? 8 .求 AD 与 BC 所成角的大小.

6 . 如 图 , 已 知

a、 b、 c 不 共 面 , a ? b ? c ? P , 点 A ? a,D ? a,B ? b,C ? c , 求证: BD 和 AC 是异面直线.
a A D C P B b c

3

楚州中学 2011~2012 学年度第一学期高二年级数学学科学案

编者:王波

No:012

7.空间四边形 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC ? AB ? BC ? CA . (1)写出图中几组异面直线; (2)画出与 AB,PC 都垂直且相交的直线.

P

C A B

4


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