nbhkdz.com冰点文库

2016

时间:2017-07-09


2.6.1

曲线与方程

1. 了解曲线与方程的对应关系, 理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念. (重点、 难点) 2.理解数形结合思想,会处理一些简单的曲线与方程问题.(难点) 3.曲线与方程的对应关系.(易错点)

[基础·初探] 教材整理 曲线的方程 方程的曲线 阅读教材 P60 例 1 以上的部分,完成下列问题. 1.方程与曲线的定义 在直角坐标系中, 如果曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元 方程 f(x,y)=0 的实数解满足以下关系: 如果曲线 C 上点的坐标(x, y)都是方程 f(x, y)=0 的解, 且以方程 f(x, y)=0 的解(x,

y)为坐标的点都在曲线 C 上,那么,方程 f(x,y)=0 叫做曲线 C 的方程,曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线.
2.方程与曲线的关系

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线上,那么方程 f(x,y)=0 就是曲线的 方程.( ) )
1

(2)如果 f(x,y)=0 是某曲线 C 的方程,则曲线上的点的坐标都适合方程.(

(3)若曲线 C 上的点满足方程 f(x,y)=0,则坐标不满足方程 f(x,y)=0 的点不在曲 线 C 上.( ) ) ) (4)方程 x+y-2=0 是以 A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程.( (5)到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy=1.( 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×

? ? 2 2 2.点 A? ,-m?在方程 x +(y-1) =10 表示的曲线上,则 m=________. ?2 ?
m
1 2 18 2 【解析】 据题意,有 m +(-m-1) =10,解得 m=2 或- . 4 5 18 【答案】 2 或- 5 3.方程|y|=|2x|表示的曲线是________. 【解析】 ∵|y|=|2x|,∴y=±2x,表示两条直线. 【答案】 两条直线 4 .已知曲线 C 的方程为 x - xy + 2y - 7 = 0 ,则下列四点中,在曲线 C 上的点有 ________(填序号). ①(-1,2);②(1,-2);③(2,-3);④(3,6). 【解析】 把各点的坐标代入检验知,只有(-1,2)满足方程. 【答案】 ① [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:
2

[小组合作型] 曲线与方程概念的理解 (1)判断点 A(-4,3), B(-3 2, -4), C( 5, 2 5)是否在方程 x +y =25(x≤0) 所表示的曲线上; (2)方程 x (x -1)=y (y -1)所表示的曲线是 C,若点 M(m, 2)与点 N?
2 2 2 2 2 2

? 3 ? ,n?在曲线 ?2 ?
2

C 上,求 m,n 的值.
【精彩点拨】 由曲线与方程的关系知,只要点 M 的坐标适合曲线的方程,则点 M 就在 方程所表示的曲线上;而若点 M 为曲线上的点,则点 M 的坐标(x0,y0)一定适合曲线的方程. 【自主解答】 (1)把点 A(-4,3)的坐标代入方程 x +y =25 中,满足方程,且点 A 的 横坐标满足 x≤0,则点 A 在方程 x +y =25(x≤0)所表示的曲线上; 把点 B(-3 2,-4)的坐标代入 x +y =25,因为(-3 2) +(-4) =34≠25,所以点
2 2 2 2 2 2 2 2

B 不在方程 x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上.
把点 C( 5,2 5)的坐标代入 x +y =25,得( 5) +(2 5) =25,满足方程,但因为 横坐标 5不满足 x≤0 的条件,所以点 C 不在方程 x +y =25(x≤0)所表示的曲线上. (2)因为点 M(m, 2), N?
2 2 2 2 2 2

? 3 ? 2 2 所以它们的坐标都是方程的解, 所以 m (m ,n?在曲线 C 上, 2 ? ?

3 ? 1? 2 2 1 3 -1)=2×1, ×?- ?=n (n -1),解得 m=± 2,n=± 或± . 4 ? 4? 2 2

1.判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手. (1)要判断点是否在方程表示的曲线上,只需检验点的坐标是否满足方程即可; (2)若所给点在已知曲线上,则点的坐标适合已知曲线的方程,由此可求点或方程中的 参数. 2.判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否都适合方 程,二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.

[再练一题] 1.若命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”是正确的,则下列命题正 确的是________(填序号). ①方程 f(x,y)=0 的曲线是 C; ②方程 f(x,y)=0 的曲线不一定是 C; ③f(x,y)=0 是曲线 C 的方程; ④以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. 【解析】 只有正确地理解曲线与方程的定义,才能准确作答.易知①③④错误. 【答案】 ② 由方程确定曲线 方程 2x +y -4x+2y+3=0 表示什么曲线?
3
2 2

【精彩点拨】 由曲线的方程研究曲线的特点, 类似于用函数的解析式研究函数的图象, 可由方程的特点入手分析. 【自主解答】 方程的左边配方得 2(x-1) +(y+1) =0, 而 2(x-1) ≥0,(y+1) ≥0, ∴2(x-1) =0,(y+1) =0, ∴x-1=0 且 y+1=0,即 x=1,y=-1. ∴方程表示点(1,-1).
2 2 2 2 2 2

曲线的方程是曲线的代数体现,判断方程表示什么曲线,可根据方程的特点利用配方、 因式分解等方法对已知方程变形,转化为我们熟知的曲线方程,在变形时,应保证变形过程 的等价性.

[再练一题] 2.方程(x+y-1) x-1=0 表示什么曲线? 【解】 方程(x+y-1) x-1=0 等价于?
?x-1≥0, ? ? ?x+y-1=0

或 x-1=0,即 x+y-1=

0(x≥1)或 x=1. 故方程表示直线 x=1 和射线 x+y-1=0(x≥1). 点与曲线的关系及应用 (1)点 P(a+1,a+4)在曲线 y=x +5x+3 上,则 a 的值是________. (2)若曲线 y =xy+2x+k 通过点(a,-a),a∈R,则实数 k 的取值范围是________. 【精彩点拨】 (1)利用点在曲线上, 则点的坐标满足方程, 代入解方程可得; (2)点(a, -a)在曲线上, 则点(a, -a)适合方程, 把 k 用 a 表示出来, 利用求值域的方法得 k 的范围. 【自主解答】 (1)因为点 P(a+1,a+4)在曲线 y=x +5x+3 上, 所以 a+4=(a+1) +5(a+1)+3,即 a +6a+5=0,解得 a=-1 或-5. (2)∵曲线 y =xy+2x+k 通过点(a,-a), ∴a =-a +2a+k,
2 2 2 2 2 2 2 2

? 1?2 1 2 ∴k=2a -2a=2?a- ? - , ? 2? 2
1 ∴k≥- , 2

4

? 1 ? ∴k 的取值范围是?- ,+∞?. ? 2 ? ? 1 ? 【答案】 (1)-1 或-5 (2)?- ,+∞? ? 2 ?

判断点与曲线位置关系的方法 如果曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,点 P 的坐标为(x0,y0). (1)点 P(x0,y0)在曲线 C:f(x,y)=0 上?f(x0,y0)=0. (2)点 P(x0,y0)不在曲线 C:f(x,y)=0 上?f(x0,y0)≠0.

[再练一题] 3.若点 M(m,m)在曲线 x-y =0 上,则 m 的值为________. 【导学号:09390055】 【解析】 ∵点 M(m,m)在曲线 x-y =0 上,∴m-m =0, 解得 m=0 或 m=1. 【答案】 0 或 1 [探究共研型] 曲线与方程的关系 探究 1 怎样理解曲线与方程的概念? 【提示】 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性),即曲线上的 所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外; 条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹 性),即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏. 曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念, 曲线的方程反映的是图形所满足的数量关 系,而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形. 探究 2 理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么? 【提示】 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,二者缺一不可. 方程(x-4y-12)[(-3)+log2(x+2y)]=0 的曲线经过点 A(0, -3), B(0,4), 7? ?5 C? ,- ?,D(8,0)中的________个点.
2 2 2

?3

4?

【精彩点拨】 方程表示两条直线 x-4y-12=0 和 x+2y-8=0,但应注意对数的真 数大于 0,即 x+2y>0.

5

【自主解答】 由对数的真数大于 0,得 x+2y>0. 7? ?5 ∴A(0,-3),C? ,- ?不符合要求; 4? ?3 将 B(0,4)代入方程检验,符合要求;将 D(8,0)代入方程检验,符合要求. 【答案】 2

点与实数解建立了如下关系:C 上的点?x0,y0???f?x,y?=0 的解,曲线上的点 的坐标都是这个方程的解,因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.

[再练一题] 4.已知直线 l:x+y+3=0,曲线 C:(x-1) +(y+3) =4,若 P(1,-1),则点 P 与
2 2

l,C 的关系是________.
【解析】 由 1-1+3≠0,∴P 不在 l 上,即 P?l; 又(1-1) +(-1+3) =4, ∴点 P 在曲线 C 上,即 P∈C. 【答案】 P?l,P∈C [构建·体系]
2 2

1.设方程 F(x,y)=0 的解集非空,如果命题“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲 线 C 上”是不正确的,则下面命题中正确的是________(填序号). ①坐标满足 f(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上; ②曲线 C 上的点的坐标不满足 f(x,y)=0; ③坐标满足 f(x,y)=0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上; ④一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0. 【解析】 因为命题“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”是不正确的,所 以其否定:存在不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0,是正确的,即④正确.
6

【答案】 ④ 2.f(x0,y0)=0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的________条件. 【导学号:09390056】 【解析】 ∵f(x0,y0)=0,可知点 P(x0,y0) 在曲线 f(x,y)=0 上,又 P(x0,y0)在 曲线 f(x,y)=0 上时,有 f(x0,y0)=0, ∴f(x0,y0)=0 是 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的充要条件. 【答案】 充要 3.若 P(2,-3)在曲线 x -ay =1 上,则 a 的值为_______________________. 1 2 2 【解析】 ∵P(2,-3)在曲线 x -ay =1 上,∴4-9a=1,解得 a= . 3 【答案】 1 3
2 2

4.如图 2?6?1 中,方程表示图中曲线的是________.

图 2?6?1 【解析】 ∵x +y =1 表示单位圆,故①错;x -y =0 表示两条直线 y=x 和 y=-x, 故②错;lg x+lg y=0 可化为 xy=1(x>0,y>0),故④错;只有③正确. 【答案】 ③ 5.方程(x+y-2)· x +y -9=0 表示什么曲线? 【解】 (x+y-2)· x +y -9=0 变形为
?x+y-2=0, ? x2+y2-9=0 或? 2 2 ?x +y -9≥0, ?
2 2 2 2 2 2 2 2

表示以原点为圆心,3 为半径的圆和直线 x+y-2=0 在圆 x +y -9=0 外面的两条射 线.

2

2

我还有这些不足:

7

(1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 |x| 1.如图 2?6?2 所示,方程 y= 2 表示的曲线是________.

x

图 2?6?2 1 ,x>0, ? ? x |x| y= =? x 1 ?-x,x<0, ?
2

【解析】

所以图②满足题意.

【答案】 ② 2.方程(x+y-1) x-y-3=0 表示的曲线是________. 【解析】 方程(x+y-1) x-y-3=0 等价于?
?x-y-3≥0, ? ? ?x+y-1=0,

或 x-y-3=0.

即 x+y-1=0(x≥2)或 x-y-3=0, 故方程(x+y-1) x-y-3=0 表示射线 x+y-1 =0(x≥2)和直线 x-y-3=0. 【答案】 射线 x+y-1=0(x≥2)和直线 x-y-3=0 3.条件甲“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”,条件乙“曲线 C 是方程

f(x,y)=0 的图形”,则甲是乙的________条件.
【解析】 在曲线的方程和方程的曲线定义中,下面两个条件缺一不可:(1)曲线上点 的坐标都是方程的解,(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上.很显然,条件甲满足(1)而不 一定满足(2).所以甲是乙的必要不充分条件. 【答案】 必要不充分

8

4.在平面直角坐标系中,方程|x -4|+|y -4|=0 表示的图形是________.
?x -4=0, ? 【解析】 易知|x -4|≥0,|y -4|≥0,由|x -4|+|y -4|=0,得? 2 ?y -4=0, ?
2 2 2 2 2

2

2



得?

? ?x=±2, ?y=±2, ?

表示的图形为(2,2),(2,-2),(-2,2),(-2,-2)四个点.

【答案】 (2,2),(2,-2),(-2,2),(-2,-2)四个点 5.下列命题正确的是________(填序号). ①方程

x =1 表示斜率为 1,在 y 轴上的截距是 2 的直线; y-2

②△ABC 的顶点坐标分别为 A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线 AO 的方程是 x=0; ③到 x 轴距离为 5 的点的轨迹方程是 y=5; ④曲线 2x -3y -2x+m=0 通过原点的充要条件是 m=0. 【解析】 对照曲线和方程的概念,①中的方程需满足 y≠2;②中“中线 AO 的方程是
2 2

x=0(0≤y≤3)”;而③中动点的轨迹方程为|y|=5,从而只有④是正确的.
【答案】 ④ 6.下列各组方程中,表示相同曲线的一组方程是________________(填序号). 【导学号:09390057】 ①y= x与 y =x;②y=x 与 =1; ③y -x =0 与|y|=|x|;④y=lg x 与 y=2lg x. 【解析】 ①中 y= x时,y≥0,x≥0,而 y =x 时,x≥0,y∈R,故不表示同一曲线; ②中 =1 时,y≠0,而 y=x 中 y=0 成立,故不表示同一曲线;④中定义域不同,故只有 ③正确. 【答案】 ③ 7.点 A(1,-2)在曲线 x -2xy+ay+5=0 上,则 a=________. 【解析】 由题意可知点(1,-2)是方程 x -2xy+ay+5=0 的一组解,即 1+4-2a +5=0,解得 a=5. 【答案】 5 8.已知定点 P(x0,y0)不在直线 l:f(x,y)=0 上,则方程 f(x,y)-f(x0,y0)=0 表 示的直线是________(填序号). ①过点 P 且垂直于 l 的直线; ②过点 P 且平行于 l 的直线; ③不过点 P 但垂直于 l 的直线; ④不过点 P 但平行于 l 的直线.
9
2 2 2 2 2 2 2

x y

x y

【解析】 点 P 的坐标(x0,y0)满足方程 f(x,y)-f(x0,y0)=0,因此方程表示的直线 过点 P.又∵f(x0,y0)为非零常数,∴方程可化为 f(x,y)=f(x0,y0),方程表示的直线与直 线 l 平行. 【答案】 ② 二、解答题 9.分析下列曲线上的点与方程的关系. (1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系; (2)作出函数 y=x 的图象,指出图象上的点与方程 y=x 的关系; (3)说明过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 与方程|x|=2 之间的关系. 【解】 (1)第一、三象限两轴夹角平分线 l 上点的横坐标 x 与纵坐标 y 相等,即 y=
2 2

x.
①l 上点的坐标都是方程 x-y=0 的解; ②以方程 x-y=0 的解为坐标的点都在 l 上. (2)函数 y=x 的图象如图所示是一条抛物线,这条抛物线上的点的坐标都满足方程 y =x ,即方程 y=x 对应的曲线是如图所示的抛物线,抛物线的方程是 y=x .
2 2 2 2

(3)如图所示, 直线 l 上点的坐标都是方程|x|=2 的解, 然而坐标满足方程|x|=2 的点 不一定在直线 l 上,因此|x|=2 不是直线 l 的方程.

10.证明圆心为坐标原点,半径等于 5 的圆的方程是 x +y =25,并判断点 M1(3,-4),

2

2

M2(-2 5,2)是否在这个圆上.
【解】 ①设 M(x0,y0)是圆上任意一点,因为点 M 到原点的距离等于 5, 所以 x0+y0= 5,也就是 x0+y0=25,即(x0,y0)是方程 x +y =25 的解. ②设(x0, y0)是方程 x +y =25 的解, 那么 x0+y0=25, 两边开方取算术平方根, 得 x0+y0 =5,即点 M(x0,y0)到原点的距离等于 5,点 M(x0,y0)是这个圆上的点. 由①②可知,x +y =25 是圆心为坐标原点,半径等于 5 的圆的方程.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

10

把点 M1(3,-4)代入方程 x +y =25,左右两边相等,(3,-4)是方程的解,所以点 M1 在这个圆上;把点 M2(-2 5,2)代入方程 x +y =25,左右两边不相等,(-2 5,2)不是 方程的解,所以点 M2 不在这个圆上. [能力提升] 1.已知 0≤α <2π ,点 P(cos α ,sin α )在曲线(x-2) +y =3 上,则 α 的值为 ________. 1 π 5π 2 2 【解析】 由(cos α -2) +sin α =3,得 cos α = .又 0≤α <2π ,∴α = 或 . 2 3 3 【答案】
2 2 2 2 2

2

2

π 5π 或 3 3
2

2.方程(x +y -4) x+y+1=0 的曲线形状是____________(填序号).

图 2?6?3 【解析】
? ?x +y -4=0, 由题意可得 x+y+1=0 或? ?x+y+1≥0, ?
2 2 2 2

它表示直线 x+y+1=0 和圆 x +y -4=0 在直线 x+y+1=0 右上方的部分. 【答案】 ③ 3.由方程(|x|+|y|-1)(x +4)=0 表示的曲线所围成的封闭图形的面积是________. 【解析】 表示的曲线为|x|+|y|=1,其图形如图所示,为一正方形,S=( 2) =2.
2 2

【答案】 2 4.已知点 P(x0,y0)是曲线 f(x,y)=0 和曲线 g(x,y)=0 的交点,求证:点 P 在曲线

f(x,y)+λ g(x,y)=0(λ ∈R)上.
11

【证明】 因为 P 是曲线 f(x,y)=0 和曲线 g(x,y)=0 的交点,所以 P 在曲线 f(x,

y)=0 上, 即 f(x0, y0)=0, P 在曲线 g(x, y)=0 上, 即 g(x0, y0)=0, 所以 f(x0, y0)+λ g(x0, y0)=0+λ 0=0,故点 P 在曲线 f(x,y)+λ g(x,y)=0(λ ∈R)上.

12


赞助商链接

2016年中考英语冠词汇编

David plays ___football but he doesn't play___ piano. (2016?桂林) A.\,the B.the,\ C.a,the 17. —When is Father's Day in the United State...

2016年各地高考生物题汇编分模块版 必修一

2016 年各地高考生物题汇编分模块版 必修一 1. (2016·新课标 I 1) 下列与细胞相关的叙述,正确的是 A.核糖体、溶酶体都是具有膜结构的细胞器 B.酵母菌的...

2016年中考语文 名句默写试题汇编

2016 年中考试题汇编之名句默写【2016·北京卷】 6.默写(共 4 分) (1)但愿人长久, ___。(苏轼《水调歌头.明月几时有》)(1 分) (2)人生自古谁无死,_...

2016年中考英语模拟试题汇编:宾语从句

will get to; arrives D gets to; will arrive 【2016 无锡市锡山区一模】10. Can you tell me how much___? A. you pay the book for B. you spend...

2016病句辨析

2016病句辨析_语文_高中教育_教育专区。2016 年中考语文试题分类汇编?病句辨析山东题组 1.(2016·临沂中考)下列句子中没有语病的一项是( ) A.科学家应该用专业...

2016全国中考真题中国近现代_图文

2016全国中考真题中国近现代_中考_初中教育_教育专区。2016全国各地历史中考真题,中国近现代史,按专题分类 第二部分专题一 中国近代史 列强的侵略与中国人民的抗争 ...

2016

2016_英语考试_外语学习_教育专区。智课网 TOEFL 备考资料 2016 年 2 月 28 日托福综合口语真题及答案 2016 年 2 月 28 日托福考试已经落下帷幕,本站第一...

2016

2016_英语考试_外语学习_教育专区。智课网 TOEFL 备考资料 2016 年 3 月 19 日托福考试写作范文 2016 年 3 月 19 日托福考试已经在紧张的气氛中结束了,本站...

2016

2016_英语考试_外语学习_教育专区。智课网 TOEFL 备考资料 2016 年 4 月 23 日托福考试写作真题及答案 2016 年 4 月 23 日托福考试真题还未出来,本站会第...

2016

2016_英语考试_外语学习_教育专区。智课网 TOEFL 备考资料 2016 年 3 月 13 日托福考试口语真题及答案 2016 年 3 月 13 日的托福考试已经划上了圆满的句号,...