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第1章1.2.3第二课时知能优化训练

时间:2012-12-21


1.对于直线 m、n 和平面 α、β,能得出 α⊥β 的一个条件是( ) A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n?α C.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β 解析:选 C.
? m∥n? ??m⊥β ? n⊥β ? ?α⊥β.

m?α

? ? ?

2.若两个平面 α 与 β 垂直,在第一个平面 α 内的一条直线 a 垂直于第二个平面 β 内的 一条直线 b,则( ) A.a⊥β B.b⊥α C.a 不一定垂直于 β D.过 a 的平面必垂直于过 b 的平面 答案:C 3.已知 l⊥α,则过 l 与 α 垂直的平面有( ) A.1 个 B.2 个 C.无数个 D.不存在 答案:C 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 ACD1 与平面 BB1D1D 的位置关系是________. 解析:如图所示,

? AC⊥BD ? ??AC⊥平面BB1D1D AC⊥BB1? ? ?平面 AD1C⊥平面 BB1D1D.

AC?平面AD1C 答案:垂直

? ? ?

5.如图,已知 PA 垂直于圆 O 所在平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,则图中 面面垂直的共有________对. 答案:3 1.不同直线 m、n 和不同平面 α、β,给出下列命题,其中假命题有( α∥β ? m∥n? ? ? ??m∥β ??n∥β ① ② ? ? m?α? m∥β?
? ? m?α? α⊥β ? ??m,n 异面 ④ ??m⊥β n?β ? m∥α? ? ? A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

)



解析:选 D.命题①正确,面面平行的性质;命题②不正确,也可能 n?β;命题③不正 确,如果 m、n 有一条是 α、β 的交线,则 m、n 共面;命题④不正确,m 与 β 的关系不确定. 2.在空间四边形 ABCD 中,若 AB=BC,AD=CD,E 为对角线 AC 的中点,下列判断 正确的是( ) A.平面 ABD⊥平面 BDC B.平面 ABC⊥平面 ABD C.平面 ABC⊥平面 ADC D.平面 ABC⊥平面 BED 解析:选 D.如图所示,连接 BE、DE.

? BE⊥AC ? ??AC⊥平面BDE DE⊥AC? ? ?平面 ABC⊥平面 BDE.

AC?平面ABC

? ? ?

3.下列命题正确的是( ) ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②如果一条直线和两个垂直平面 中的一个垂直, 它必和另一个平面平行 ③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知 平面垂直 ④如果两个平面互相垂直, 经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个 平面内 A.①③ B.②③ C.②③④ D.④ 解析:选 D.过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已 知平面垂直,所以①不对;若 α⊥β,a⊥α,则 a?β 或 a∥β,所以②不对;当平面外的直线 是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对. 4.下列关于直线 l,m 与平面 α,β 的命题中,是真命题的为( ) A.若 l?β 且 α⊥β,则 l⊥α B.若 l⊥β 且 α∥β,且 l⊥α C.若 l⊥β 且 α⊥β,则 l∥α D.若 α∩β=m 且 l∥m,则 l∥α 解析:选 B.由题意知 C,D 选项中均有 l?α 的可能;A 选项中 l?β,如果 l 与 α,β 的 交线垂直,则有 l⊥α,故 A 选项不正确. 5.在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,则下面四个结论中 不成立的是( ) A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC 解析:选 C.可画出对应图形(图略), 则 BC∥DF,又 DF?平面 PDF,BC?平面 PDF, ∴BC∥平面 PDF,故 A 成立; 由 AE⊥BC,BC∥DF,知 DF⊥AE,DF⊥PE, ∴DF⊥平面 PAE,故 B 成立; 又 DF?平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 PAE,故 D 成立. 6.设平面 α⊥平面 β,且 α∩β=l,直线 a?α,直线 b?β,且 a 不与 l 垂直,b 不与 l 垂直,那么 a 与 b( ) A.可能垂直,不可能平行 B.可能平行,不可能垂直

C.可能垂直,也可能平行 D.不可能垂直,也不可能平行 解析:选 B.若 a∥l,b∥l,则 a∥b ,但 a 与 b 不可能垂直. 7.将直角三角形 ABC 沿斜边上的高 CD 折成互相垂直的两个平面 ACD 和 BCD,所得 图形中互相垂直的平面共有________对. 解析:平面 ADC⊥平面 BDC. 平面 ADC⊥平面 ADB. 平面 BCD⊥平面 ADB. 答案:3 8.三个平面两两垂直, 它们的交线交于一点 O, 且点 P 到三个平面的距离分别为 3、4、 5,则 OP 的长为________. 答案:5 2 9.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; ③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直. 上面命题中,真命题的序号是是________. 解析:

①由面面平行的判定定理可得,该命题正确. ②由线面平行的判定定理可得,该命题正确. ③如图(举反例),a?α,α∩β=l,a⊥l,但 α 与 β 不垂直. 答案:①,②

10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° , E、F 分别是 AP、AD 的中点,求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 证明:(1)因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点,∴EF∥PD, 又∵P,D∈面 PCD,E,F?面 PCD, ∴直线 EF∥平面 PCD. (2)∵AB=AD,∠BAD=60° 是 AD 的中点, ,F ∴BF⊥AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD, ∴BF⊥面 PAD,∴平面 BEF⊥平面 PAD. 11. 如图,立体图形 P-ABCD 的侧面 PAD 是正三角形,且垂直于底面,底面 ABCD 是 矩形,E 是 PD 的中点,求证:平面 ACE⊥平面 PCD.

证明:∵△PAD 为正三角形,E 为 PD 的中点,∴AE⊥PD.

又∵平面 PAD⊥平面 AC,平面 PAD 与平面 ABCD 交于 AD,DC⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD.∴CD⊥AE. ∴AE⊥平面 PCD. 又∵AE?平面 ACE, ∴平面 ACE⊥平面 PCD. 12.等边三角形 ABC 的边长为 a,沿平行于 BC 的线段 PQ 折起, 使平面 APQ⊥平 面 PBCQ,设点 A 到直线 PQ 的距离为 x,AB 的长为 d.x 为何值时,d2 取得最小值,最小值 是多少? 解:下图(1)为折叠前对照图,下图(2)为折叠后空间图形.

∵平面 APQ⊥平面 PBCQ, 又∵AR⊥PQ, ∴AR⊥平面 PBCQ,∴AR⊥RB. 在 Rt△BRD 中, 1 3 BR2=BD2+RD2=?2a?2+? a-x?2, ? ? ?2 ? AR2=x2. 故 d2=BR2+AR2=2x2- 3ax+a2 3 5 3 =2(x- a)2+ a2?0<x< a?, 4 8 ? 2 ? 3 5 ∴当 x= a 时,d2 取得最小值 a2. 4 8


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