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1.5正态分布


1.5 正态分布
在上一小节中,我们作出了 100 个产品尺寸的频率分布直方图,并指出了 当样本容量无限增大时,这个频率分布直方图无限接近于如图 1-3 所示的一条 总体密度曲线. 产品尺寸是一类典型的总体,对于成批生产的产品,如果生产条件正常并 稳定,即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等条件都相对稳定,而且不存在 产生系统误差的明显因素,那么,产品尺寸的总体密度曲线

就是或近似地是以下
? 1 2 e 2? ,x∈(-∞, +∞) 函数的图象:f(x)= ① 2? ? 式中的实数 μ、σ(σ>0)是参数,分别表示总体的平均数与标准差,这个总体是有 无限容量的抽象总体, 其分布叫做正态分布. 正态分布由参数 ? , 因 ? 唯一确定. 2 此,正态分布常记作 N(μ,σ ).①的图象被称为正态曲线.图 1-4 中画出了三 条正态曲线:(1)μ=-1,σ=0.5;(2)μ=0,σ =1;(3)μ=1,σ =2.正态曲 线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征. ( x ? ? )2

在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.例如: 生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标(如电子管的使用寿命、电 容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度、……)一般都服从正 态分布. 在测量中,测量结果一般可以表示为 ξ=a+η. 其中 a 表示被测量的量的真值 (未知常数),η 表示测量的随机误差,ξ 和 η 一般都服从正态分布. 在生物学中,同一群体的某种特征(如某一地区同年龄组儿童的发育特征, 如身高、体重、肺活量),在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产 量等,一般也服从正态分布. 在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等,水文中的 水位,也都服从或近似服从正态分布. 总之,正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的许多领域之中.正 态分布在概率和统计中占有重要地位. 在函数①中,当 μ=0,σ =1 时,正态总体称为标准正态总体,这时相应的函
1 ? x2 e ,x∈(-∞, +∞) 数表示式是 f(x)= 2? 相应的曲线称为标准正态曲线,如图 1-4(2)所示. 从图 1-4 看到,正态曲线具有以下性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交;
2



(2)曲线关于直线 x=μ 对称; (3)曲线在 x=μ 时位于最高点. (4)当 x<μ 时,曲线上升;当 x>μ 时,曲线下降.并且当曲线向左、右两 边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近. (5)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体 的分布越分散;σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中(图 1-5).

由于标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中有非常重要的地位,已专门 制作了“标准正态分布表”(见附表 2).在这个表中,相应于 x0 的值中 Ф(x0)是 指总体取值小于 x0 的概率,即 Ф(x0)=P (x<x0). 如图 1-6(1)中左边阴影部分所示.

由于标准正态曲线关于 y 轴对称,表中仅给出了对应于非负值 x0 的值 Ф(x0). 如果 x0<0, 那么由图 1-6 (2) 中两个阴影部分面积相等知 Ф(x0)=1-Ф(- x0) 利用这个表,可求出标准正态总体在任一区间 (x1,x2)内取值的概率.例如 它在(-1,2)内取值的概率是 P=Ф(2)-Ф(-1)= Ф(2)-{1-Ф[-(-1)]} =Ф(2)+ Ф(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.818 5. 一般的正态总体 N(μ,σ 2)均可以化成标准正态总体 N(0,1)来进行研究.事实 x?? 上, 可以证明, 对任一正态总体 N(μ,σ 2)来说, 取值小于 x 的概率 F(x)= Ф( ).

?

例如,对于正态总体 N(1,4)来说,取值小于 3 的概率 3 ?1 F(3)= Ф( )=Ф(1)=0.8413. 2 例 1. 分别求正态总体 N(μ,σ 2)在区间(μ-σ, μ+σ), (μ-2σ, μ+2σ), (μ-3σ, μ+3σ) 内取值的概率. (? ? ? ) ? ? (? ? ? ) ? ? 解:F(μ+σ)=Ф( )=Ф(1), F(μ-σ)=Ф( )=Ф(-1),

?

?

所以正态总体 N(μ, σ2)在(μ-σ,μ +σ)内取值的概率是 F(μ+σ)-F(μ-σ)=Ф(1)-Ф(-1)= Ф(1)-[1-Ф(1)]=2Ф(1)-1 =2× 0. 8413-1≈0.683; 2 同理,正态总体 N(μ,σ )在的(μ-2σ,μ +2σ)内取值的概率是 F(μ+2σ)-F(μ-2σ)=Ф(2)-Ф(-2)≈0.954; 正态总体 N(μ,σ 2)在的(μ-3σ,μ +3σ)内取值的概率是 F(μ+3σ)-F(μ-3σ)=Ф(3)-Ф(-3)≈0.997; 上述计算结果可用下表和图 1-7 来表示. 区间 取值概率 (μ-σ, μ+σ) 68.3% (μ-2σ, μ+2σ) 95.4% (μ-3σ, μ+3σ) 99.7%

下面以正态总体为例,说明统计中常用的假设检验方法的基本思想. 我们从上表看到, 正态总体在(μ-2σ, μ+2σ)以外取值的概率只有 4.6%, 在(μ -3σ, μ+3σ)以外取值的概率只有 0.3%,由于这些概率值很小,通常称这些情况 发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发 生的. 我们来看一个例子.假设工人制造的零件尺寸在正常情况下服从某种分 布.为便于说明,不妨假设它服从正态分布 N(μ,σ 2),那么从上面知道,零件尺 寸在(μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率为 99.7%,即零件尺寸落在(μ-3σ, μ+3σ)以外的 概率只有 0.3%.这是一个小概率事件.它表明在大量重复试验中,平均每抽取 1000 个零件,属于这个范围以外的零件尺寸只有 3 个.因此在一次试验中,零 件尺寸在(μ-3σ, μ+3σ)以外是几乎不可能发生的,而如果这种事件一旦发生,即 产品尺寸 a 满足|a-μ|≥3σ。,我们就有理由认为这时制造的产品尺寸服从正态分 布 N(μ,σ 2)的假设是不成立的,它说明生产中可能出现了异常情况,比如可能原 料、刀具、机器出了问题,或可能工艺规程不完善,或可能工人操作时精力不集 中、未遵守操作规程等,需要停机检查,找出原因,以将生产过程重新控制在一 种正常状态,从而及时避免继续生产废、次品,保证产品的质量.上面控制生产 过程的方法,运用了统计中假设检验的基本思想:根据小概率事件在一次试验中 几乎不可能发生的原理和从总体中抽测的个体的数值, 对事先所作的统计假设作 出判断:是拒绝假设,还是接受假设.

目前在生产中广泛运用的控制图,就是根据上述假设检验的基本思想制作 的. 我们把图 1-8 (1) 按顺时针方向旋转 90° 就得到一张控制图 (图 1-8 (2) . 图 1-8(1)中的直线 x=μ,x=μ-3σ,x=μ+3σ 分别成为图 1-8(2)中的中心线、 控制下界和控制上界.在生产过程中,从某一时刻起(例如从上午 9 时起),每 隔一定时间(例如 1 小时)任取 1 个零件进行检查,并把其尺寸用圆点在图上表 示出来,为了便于看出圆点变动的趋势,常用折线将它们连接起来.从图 1-8 (2)中看到,前 3 个圆点都在控制界限之内,可认为生产情况正常;但第 4 个 点超出了控制上界,可认为有异常情况发生,应该立即停机检查.

练 习 1.利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间内取值的概率. (1)(-0.5,1.5);(2)(-1.96,1.96). 2.利用标准正态分布表,求正态总体 N(2,4)在下面区间内的概率. (1)(-3,0);(2)(-1,1).



题 1. 5
( x ? ? )2

? 1 2 e 2? ,x∈(-∞, +∞) 1.标准正态总体的函数表示式是 f(x)= 2? ? (1)证明 f(x)是偶函数; (2)求 f(x)的最大值; (3)利用指数函数的性质说明 f(x)的增减性. 2.求正态总体 N(0, σ2)在区间(-1.5σ,1.5σ)内取值的概率. 3.某批袋装大米质量服从正态分布 N(10,0.01)(单位 kg).任选一袋大米,它 的质量在 9.8 kg~10.2 kg 内的概率是多少?


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