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圆锥曲线的切线方程和切点弦方程


安庆市 2010 年高三数学研讨会公开课教案

课题:圆锥曲线的切线方程和切点弦方程 主讲人: 安庆一中 李治国

教学目标: (1).掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。 (2).会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。 (3)通过复习渗透数形结合、类比的思想,逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。 (4) 掌握曲线与方程的关系。

教学重点: 切线方程及切点弦方程的应用 教学难点: 如何恰当使用切线方程及切点弦方程 教学过程: 1. 引入: 通过 09 年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。 2. 知识点回顾: 1. 过圆 x2 ? y2 ? r 2上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程:

xx0 ? yy0 ? r 2
2.
设P( x0 , y0 )为椭圆 x2 y 2 ? ? 1上的点,则过该点的切线方程为: a 2 b2

xx0 yy0 ? 2 ?1 a2 b
3.
设P( x0 , y0 )为双曲线 x2 y2 ? 2 ? 1上的点,则过该点的切线方程为: 2 a b

xx0 yy0 ? 2 ?1 a2 b

4.

设P( x0 , y0 )为抛物线y2 ? 2 px上的点,则过该点的切线方程为:

圆锥曲线切线的几个性质: 性质 1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线,则切点弦长等于 该椭圆的通径.同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 性质 2 过椭圆的焦点 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,过 A,B 两点作椭圆的切线交 于点 P,则 P 点的轨迹是焦点 F 的对应的准线,并且 PF 1 ? AB 1 同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 3. 例题精讲: 4 练习 1: 2 抛物线 y ? ax(a ? 0) 与直线 x ? 1围成的封闭的图形的面积为 3 , 若直线 l 与抛物线相 切,且平行于直线 2 x ? y ? 6 ? 0 ,则直线 l 的方程为

yy0 ? p( x ? x0 )

安庆市 2010 年高三数学研讨会公开课教案
例 1: 设抛物线 C : y ? x2 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动, 过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、 PB, 且与抛物线 C 分别相切于 A、 B 两点.求△APB 的重心 G 的轨迹方程. 4. 圆锥曲线的切点弦方程: 2 2 2 1. 设P( x0 , y0 )为圆x ? y ? r 外一点,则切点弦的方程为:

xx0 ? yy0 ? r 2
2.
设P( x0 , y0 )为椭圆 x2 y 2 ? ? 1外一点,过该点作椭圆的两条切线, a 2 b2 yy0 切点为A,B则弦AB的方程为: xx0

a2
3.
过P( x0 , y0 )为双曲线

?

b2

?1

x2 y 2 ? ? 1的两支作两条切线,则切点弦方程为: a 2 b2

xx0 yy0 ? 2 ?1 a2 b

4.

设P( x0 , y0 )为抛物线y2 ? 2 px开口外一点,则切点弦的方程为:

yy0 ? p( x ? x0 )
练习 2: 对于圆锥曲线
x2 y2 ? 2 ?1 ,过点P ( m, 0),(m ? 0)作两条切线, 2 a b

切点为A,B. 则直线AB恒过定点

例题 3: 已知椭圆x 2 ? 2 y 2 ? 1, P是在直线4 x ? 3 y ? 12位于第一象限上一点,
由P向已知椭圆作两切线,切点分别为A,B,问当直线AB与两坐标 轴围成的三角形OMN面积最小,最小值为多少?

5.小结: 1.判断直线与圆锥曲线的位置关系时,注意数形结合; 2. 掌握求曲线方程的方法: 3. 两种方程两种思想 作业: 已知P是直线l:y ? x+3上一点,过点P作抛物线
y2 ? 2 x的两条切线,切点分别为A,B.求?PAB面积 的最小值。

6. 反思


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