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第一节算法的概念与程序框图


高考总复习?数学(理科)

第九章

第一节

算法的概念与程序框图

高考总复习?数学(理科)

对算法的理解 【例1】 一个算法如下:
第一步:S取值0,i取值1; 第二步:若i不大于12,则执行下一步,否则执行第六步;

第三步:计算S+i并将

结果代替S;
第四步:用i+2的值代替i ; 第五步:转去执行第二步; 第六步:输出S. 则运行以上步骤输出的结果为________.

高考总复习?数学(理科) 解析:本题算法用于计算1+3+5+7+9+11的值.故输 出36. 答案:36 点评: 算法的五个特征:概括性、逻辑性、有穷性、不 唯一性、普遍性,根据这些特征来判定是不是一个算法;程 序框图又称为流程图,要了解构成程序框图的图形符号及作 用.

高考总复习?数学(理科) 变式探究 1.给出如图程序框图,其功能是( )

高考总复习?数学(理科) A.求a-b的值 C.求|a-b|的值 B.求b-a的值 D.以上都不对

解析:a≥b时输出a-b;a<b时,输出b-a. 所以,该程序框图的功能是求|a-b|的值.故选C. 答案:C

高考总复习?数学(理科) 设计简单问题的算法并用程序框图表示 【例2】 设计求解不等式 ax+b>0(a≠0)的一个算法,并用

程序框图表示. 解析:第一步:输入a,b;
b 第三步:若a>0,解不等式得x>- ,若a<0,解不等式 a b 得x<- ; a 第四步:输出不等式的解.

第二步:判断a的符号;

程序框图如下图:

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点评:(1) 它是可以解决此类问题的一般方法,所以要综
合考虑此类问题中可能涉及的各种情况. (2)它的每一步都必须是明确的,且经过有限步骤能得出 结果,所以在设计时可将问题的解答过程划分为若干个步骤, 并借助有关的变量或参数将各个步骤表述出来.

(3)对于数值型计算问题可以通过数学模型借助数学计算
方法,分解成清晰的步骤,使之条理化;对于非数值型计算 问题则需要先建立过程模型来解决.

高考总复习?数学(理科) 变式探究 2 .写出可以输入两个平面向量的坐标,再根据坐标求

出它们夹角余弦值的算法,并画出程序框图.
解析: 第一步,分别输入两个向量 a,b 的横纵坐标 a1,a2, b1,b2. 第二步,计算 z=a1×b1+a2×b2. 2 2 2 第三步,计算 m= a1 +a2 × b2 1+b2. z 第四步,计算 cos θ=m. 第五步,输出两个向量夹角的余弦值 cos θ. 程序框图如下图.

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高考总复习?数学(理科) 对多重条件结构框图的理解 【例3】 (2012· 佛山模拟) 2011年9月1日开始实施的《个

人所得税法》规定:全月总收入不超过3 500元的免征个人工
资、薪金所得税,超过3 500元的部分需征税. 设全月总收入金额为x元,前三级税率如下表所示: 级数 1 2 3 4 全月应纳税金额(x-3 500)元 不超过1 500元的部分 超过1 500至4 500元的部分 超过4 500至9 000元的部分 ? 税率 3% 10% 20% ?

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高考总复习?数学(理科) 当工资薪金所得不超过8 000元,计算个人所得税的一 个算法框图如上图,则输出①,输出②分别为( ) A.0.03x,0.1x-350 B.0.03x-105,0.1x-350

C.0.03x-105,0.1x-500
D.0.03x-105,0.1x-455

高考总复习?数学(理科) 解析:这是以框图形式展现与分段函数有关的实际应用

问题,有三处出现了条件分支结构,因此要分三种情况进行
分 类 讨 论 , (1) 当 0<x≤3 500 , 应 交 的 税 额 为 0 ; (2) 当 3 500<x≤5 000时,应交的税额为(x-3 500)×3%元,即0.03x-

105元;(3)当5 000<x≤8 000时,应交纳的税额为1 500×3%
+(x-5 000)×10%元,即0.1x-455元.故输出①,输出②分 别为0.03x-105,0.1x-455.故选D.

答案:D

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点评:在解答以算法结构框图展现的问题时,要认真读 题、审图,应对所要解决的问题有深入、全面的了解.条件

分支结构的运用与分类讨论的数学思想密切相连.凡涉及出
现条件分支结构的,该处肯定要进行分类讨论.

高考总复习?数学(理科) 变式探究 3.(2013· 温州调研)某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的S的值为 ( )

高考总复习?数学(理科) 解析:依题意得,运行程序后输出的是数列 {an}的

第2 013项,其中数列{an}满足:a1=1,
2an,an<1, ? ? an+1=?1 ? ?8an,an≥1, 1 1 1 1 注意到a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=8,?,

该数列中的项以4为周期重复性地出现,且2 013=4×503
+1,因此a2 013=a1=1,运行程序后输出的S的值为1,选A. 答案:A

高考总复习?数学(理科) 对含有循环结构框图的理解

【例4】

(2013· 潮州二模)如图,是一程序框图,则输

出结果为 K = ________ ,S =__________.( 说明, M = N 是赋 值语句,也可以写成M←N,或M:N)

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解析:根据题意,程序运行如下: 1 第 1 次循环:S=0+ ,K=3; 1 ×3 1 1 第 2 次循环:S= + ,K=5; 1×3 3×5 1 1 1 第 3 次循环:S= + + ,K=7; 1×3 3×5 5×7 1 1 1 第 4 次循环:S= + +?+ ,K=9; 1×3 3×5 7 ×9 1 1 1 1 第 5 次循环:S= + +?+ + ,K=11; 1×3 3×5 7×9 9×11

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此时,K>10,输出 K=11, 1 1 1 1 5 S= + +?+ + = . 1×3 3×5 7×9 9×11 11 5 答案:11 11
点评: 对循环语句的理解关键在于循环次数,在循环次 数较多时,可用通过前几次的循环找出循环规律,从而求出 较多循环次数的运算结果.

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变式探究
4 . (2013· 天津卷 ) 阅读下边的程 序框图,运行相应的程序.若输入 x 的值为1,则输出S的值为( )

A.64
B.73 C.512 D.585

高考总复习?数学(理科) 解析:第1次运行:S=0+13=1<50; 第2次运行:x=2,S=1+23=9<50; 第3次运行:x=4,S=9+43=73>50; 所以输出S=73,故选B. 答案:B

高考总复习?数学(理科) 对两种循环语句的理解与运用 【例 5】 分别利用当型和直到型循环结构来表示 1 + 2

+…+2 011+2 012的算法和程序框图. 解析:算法分析:只需要一个累加变量和一个计数变量,

将累加变量的初始值设为0,计数变量的值可以从1到2 012.程
序框图如下: “WHILE型”(当型)循环 “UNTIL型”(直到型)循环

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点评:两种循环结构的区别: (1) 执行情况不同:当型循 环是先判断条件,当条件成立时才执行循环体,若循环条件 一开始就不成立,则循环体一次也不执行.而直到型循环是 先执行一次循环体,再判断循环条件,循环体至少要执行一 次.(2) 循环条件不同:当型循环是当条件成立时循环,条件 不成立时停止循环,而直到型循环是当条件不成立时循环, 直到条件成立时结束循环.

高考总复习?数学(理科) 变式探究 5.(2013· 汕尾二模)如图所示程序框图,输出结果是( A.5 C.7 B.6 D.8 )

高考总复习?数学(理科) 解析: 根据题意,本程序框图中循环体为 “ 直到型 ” 循 环结构, 第1次循环:S=0+1=1,i=2,a=1×2+1=3;

第2次循环:S=1+3=4,i=3,a=3×3+4=13;
第3次循环:S=4+13=17,i=4,a=13×4+17=69; 第4次循环:S=17+69=86,i=5,a=69×5+86=431;

第 5 次 循 环 : S = 86 + 431 = 517 , i = 6 , a = 431×6 + 517≥500;
跳出循环,输出i=6.故选B. 答案:B


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