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必修4:三角函数的图像和性质专题练习


三角函数图像及性质练习题 1.已知 k ? ?4 ,则函数 y ? cos 2 x ? k (cos x ? 1) 的最小值是( ) )

A. 1 B. ?1 C. 2k ? 1 D. ?2 k ? 1 2.已知 f(x)的图象关于 y 轴对称,且它在 [0,+∞)上是减函数,若 f(lgx)>f(1),则 x 的取值范围是( A.(

1 ,1) 10

B.(0,

1 )∪(1,+∞) 10

C.(

1 ,10) 10

D.(0,1)∪(10,+∞)

π 3.定义在 R 上的函数 f(x) 既是偶函数又是周期函数.若 f(x) 的最小正周期是π ,且当 x∈[0, ] 2
时,f(x)=sinx,则 f( A.-

5π )的值为( 3

)

3 3 1 1 B. C.- D. 2 2 2 2 4.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则(

)

A.f(sin C.f(cos

π π )<f(cos ) 6 6 2π 2π )<f(sin ) 3 3

B.f(sin1)>f(cos1) D.f(cos2)>f(sin2) ) .

5.关于函数 f(x)=sin2x-( ① f ( x) 是奇函数 ③ f ( x) 的最大值是 A.1

2 |x| 1 ) + ,有下面四个结论,其中正确结论的个数为 ( 3 2
② x>2003 时, f ( x) ? 当

1 恒成立 2

3 2
B.2

④ f(x)的最小值是 ?

1 2 C.3

D.4

6.使 lg(cos? ? tan? ) 有意义的角 ? 是( A.第一象限的角 C.第一、二象限的角

)

B.第二象限的角 D.第一、二象限或 y 轴的非负半轴上的角 ) . B. (2k? ? ? , 2k? ?

7 函数 y ? lg(2cos x ? 3) 的单调递增区间为 ( A. (2k? ? ? , 2k? ? 2? ) (k ? Z ) C. (2k? ?

11 ? ) (k ? Z ) 6

?
6

, 2k? ) (k ? Z )

D. (2k? , 2k? ? ) (k ? Z ) 6

?

8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0, x ? R ) ,对定义域内任意的 x,都满足条件 f ( x ? 6) ? f ( x) ,若
A ? sin(? x ? ? ? 3?), B ? sin(? x ? ? ? 3?) ,则有 (

) . D. A ? B

A.

A>B

B. A=B

C.A<B

x x 3 9. 设 函 数 f ( x) ? sin x, g ( x) ? ?9( )2 ? 9( ) ? , x ? ?0,2? ? , 则 使 g ( x)? f ( x) x 值 的 范 围 是 的 ? ? ? 4 ( ) . ? ? 3? ? ? ? 2? ? ? ? 5? ? A. ?0, ? ? B. ? , ? C. ? , ? D. ? , ? ? ?2 2 ? ?3 3 ? ?6 6 ?

10.把函数 y ? 2 cos x(0 ? x ? 2? ) 的图象和直线 y ? 2 围成一个封闭的图形,则这个封闭图形的 面积为 A.4 B.8 C.2 ? ( ) D.4 ?

11.函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 (

? 3?
2 , 2
y

) 内的图象是( )
y
?
2

y

y

?

3? 2

? 2

?

3? 2

2 -

?
? 2

2 -

?
? 2

o ?2 -

x

o

?
A

?

o ?2 -

x

?

3? 2

x o

?
B

3? 2

x
C
B.(π ,2π ) D.(2π ,3π )

D

12 函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数 A.( C.(

π 3π , ) 2 2

3π 5π , ) 2 2 二、填空题
13. 设 f (sin x ? cos x ) ? sin x cos x ,则 f (cos ) ? 6

?

.

x 14. 若函数 y ? 2 cos(2 ? ? )是奇函数,且在 ? 0,
值 15.函数 y ? lg sin( .

? ?

??

? 上是增函数,请写出满足条件的两个 ? 4?

?
4

?

1 x) 的单调减区间是 2
( x ? 0) (0 ? x ? ? )

? 1 x ?( ) 16.已知函数 f ( x) ? ? 2 ?2cos x ?

,若 f ? f ( x0 )? ? 2 ,则 x0 =



三、解答题 17.求当函数 f ? x ? ? sin x ? a cos x ?
2

1 3 a ? ? x ? R ? 的最大值为1 时 a 的值. 2 2

1.下列说法只不正确的是 (A) 正弦函数、余弦函数的定义域是 R,值域是[-1,1]; (B) 余弦函数当且仅当 x=2kπ( k∈ 时,取得最大值 1; Z) (C) 余弦函数在[2kπ+

(

)

? 3? ,2kπ+ ]( k∈ Z)上都是减函数; 2 2

(D) 余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k∈ Z)上都是减函数 2.函数 f(x)=sinx-|sinx|的值域为 (A) {0} (B) [-1,1] (C) [0,1] 3.若 a=sin460,b=cos460,c=cos360,则 a、b、c 的大小关系是 (A) c> a > b (B) a > b> c (C) a >c> b 4. 对于函数 y=sin(
13 π-x) ,下面说法中正确的是 2

( (D) [-2,0]

) ( )

(D) b> c> a ( )

(A) 函数是周期为 π 的奇函数 (C) 函数是周期为 2π 的奇函数

(B) 函数是周期为 π 的偶函数 (D) 函数是周期为 2π 的偶函数

5.函数 y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是 ( (A) 4
*

) (B)8 (C)2π (D)4π ( )

6.为了使函数 y= sinωx(ω>0)在区间[0,1]是至少出现 50 次最大值,则的最小值是 (A)98π (B)
197 π 2

(C)

199 π 2

(D) 100π

二. 填空题 7.函数值 sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是 8.函数 y=cos(sinx)的奇偶性是 9. 函数 f(x)=lg(2sinx+1)+
*

. . ; .

2cos x ? 1 的定义域是

10.关于 x 的方程 cos2x+sinx-a=0 有实数解,则实数 a 的最小值是

三. 解答题
1 11.用“五点法”画出函数 y= sinx+2, x∈ [0,2π]的简图. 2 1 ],求函数 y=f(sin2x) 的定义域. 4

12.已知函数 y= f(x)的定义域是[0,

13. 已知函数 f(x) =sin(2x+φ)为奇函数,求 φ 的值.

*

3 1 14.已知 y=a-bcos3x 的最大值为 ,最小值为 ? ,求实数 a 与 b 的值. 2 2

练习三
一、选择题 1.若 sinx=

三角函数的图像与性质
) D.[0,1] )

1? m ,则实数 m 的取值范围是( 1? m

A.[0,+∞)

B.[-1,1] C.(-∞,-1]∪[1,+∞)

2.在下列函数中,同时满足①在(0, A.y=tanx B.y=cosx

? )上递增;②以 2π 为周期;③是奇函数的( 2 1 C.y=tan x D.y=-tanx 2
) C.y 轴对称 D.直线 x ?

3.函数 y ? 4sin(2 x ? π) 的图象关于( A.x 轴对称 B.原点对称

π 对称 2


π? ? 4.为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点( 4? ?

A.向左平移 C.向左平移

π 个单位 4 π 个单位 8

B.向右平移 D.向右平移

π 个单位 4 π 个单位 8


5. y ? sin ? 3x ?

? ?

π? ? 的单调递减区间是( 6?

A. ?

? 2kπ 4π 2kπ 5π ? ? , ? ? ( k ? Z) 9 3 9? ? 3 ? 2kπ 2π 2kπ 5π ? ? , ? ? ( k ? Z) 3 3 3? ? 3

B. ?

? 2kπ 2π 2kπ 5π ? ? , ? ? ( k ? Z) 9 3 3? ? 3 ? 2kπ 2π 2kπ 5π ? ? , ? ? ( k ? Z) 9 3 9? ? 3
D. y ? ? | sin x |
Y O ? X

C. ?

D. ? )

6.下图中的曲线对应的函数解析式是( A.

y ?| sin x |

B. y ? sin | x |

C. y ? ? sin | x |

二、填空题 7.函数值 sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是 8.函数 y= ? cos x 的定义域是
1 2

-2?

-?

2?

.

. .

9.函数 y ? a sin x ? 1 的最大值是 3,则它的最小值为

? π? 10.若一个三角函数 y ? f ( x) 在 ? 0, ? 内是增函数,又是以 π 为最小正周期的偶函数,则这样的一 ? 2? 个三角函数的解析式为 (填上你认为正确的一个即可) . 三、解答题 π? ?1 11.函数 y ? tan ? x ? ? 的图象可以由函数 y ? tan x 的图象经过怎样的变换得到,请写出变换过程 6? ?2

π 12.下图是正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0,? ? ? ) 的图象. 0 2

(1)确定它的解析式; (2)写出它的对称轴方程.

13.已知 y ? a ? b cos3x(b ? 0) 的最大值为

3 1 ,最小值 ? . 2 2

(1)求函数 y ? ?4a sin(3bx) 的周期、最值,并求取得最值时的 x 值; (2)判断(1)中函数的奇偶性. 能力题 14.如图,某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数

y ? Asin ??x ? ? ? ? b .
(1) 求这一天的最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式.

y

T /℃

30

20 10

O

6

8

10

12

14

x t/ h

1 15.已知 sin x ? sin y ? ,求 ? ? sin x ? cos2 y 的最值 . 3

正弦、余弦函数的图象 一、复习引入:1. 弧度定义:2.正、余弦函数定义: 3.正弦线、余弦线: 二、讲解新课: (1)函数 y=sinx 的图象

(2)余弦函数 y=cosx 的图象
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点?: 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ], (2)y=-COSx ●探究 2. 如何利用 y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换来得到 (1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕的图象; (2)y=sin(x- π /3)的图象? 探究3.如何利用 y=cos x,的图象,通过图形变换来得到 y=-cosx ,x∈〔0,2π 〕的图象? ●探究4.如何利用 y=cos x 的图象,通过图形变换来得到 y=2-cosx ,x∈〔0,2π 〕的图象? ●探究5. 不用作图,你能判断函数 y=sin( x - 3π /2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗? 例 2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

1 (1) sin x ? ; 2

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

正弦、余弦函数的性质(一) 一、复习引入: 1.问题: (1)今天是星期一,则过了七天是星期几?过了十四天呢??? (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正(余)弦函数的图象总结规律: 自变量

x
函数值

?2?

?

3? 2

??

?

? 2

0

? 2
1

?
0

3? 2
?1

2?

sin x

0

1

0

?1

0

0

y – 1
?2?

?5?

??

?

?
2

O ?1 –

?
2

?

2?

5?

x

结论:象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得; 符号语言:当 x 增加 2k? ( k ? Z )时,总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) . 也即: (1)当自变量 x 增加 2k? 时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意 x , sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课: 1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 3、例题讲解 例 1 求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x ② y ? sin 2 x (3)

1 ? y ? 2 sin( x ? ) 2 6 ,x ? R .

正弦、余弦函数的性质(二) 复习引入:偶函数、奇函数的定义,反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢? 二、讲解新课: 1 奇偶性 。2.单调性 3.对称性 练习 1。 (1)写出函数 y ? 3 sin 2 x 的对称轴;1 (2) 4.例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性

y ? sin( x ?

?

) 4 的一条对称轴是( )

f ( x) ?
(1)

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x

(2) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin x );
2

例 2 函数 f(x)=sinx 图象的对称轴是 ;对称中心是 例 3 不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0;

.

sin( ?


?
18

) ? sin( ?

?
10

)


cos( ?

23 17 ? ) ? cos( ? ? ) 5 4

1 ? y ? 2 sin( x ? ) 2 3 的单调递增区间; 例 4 求函数
正切函数的性质与图象 一、复习引入:问题:1、正弦曲线是怎样画的? 2、练习:画出下列各角的正切线:



下面我们来作正切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ?? ?? , ? y ? tan x , x? ? 2 2 ? 的 3.作
图象

y ? tan x x ? R
x?





?
2

? k? ?k ? z ?

的图象,称“正切曲线” 。

y
y

3 ? ? 2

?? ?

?
2

O
0

? 2

?

3 ? x 2

x

x ? k? ?
(3)正切曲线是由被相互平行的直线 4.正切函数的性质 (1)定义域: (2)值域:R 5.讲解范例:

?
2

?k ? Z ?

所隔开的无穷多支曲线组成的。

(3)周期性: (4)奇偶性: (5)单调性:

? 13? tan? ? ? 4 例 1 比较

? ? 17? ? tan? ? ?与 ? 5

? ? ? 的大小

王新敞
奎屯

新疆

例 2:求下列函数的周期:

?? ? y ? 3tan ? x ? ? 5? ? (1)

?? ? y ? tan ? 3x ? ? 6? ? (2)

?? ? y ? tan? 3x ? ? 3 ? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性, ? 例 3:求函数

?? ?? y ? tan? x ? ? 3 ? 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。 ?2 练习 1:求函数
思考 2:你能用图象求函数

y ? tan x ? 3 的定义域吗?

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(二) 一、复习

? 1. 如何由 y=sinx 的图象得到函数 y ? A sin( x ? ? )的图象.
2. A、 、 对函数 y ? A sin(?x ? ? )图象的影响. ? ? 二、函数 ? A sin( x ? ? ),x ? [0,??)(其中A ? 0, ? ? 0)的物理意义: y ?
三、应用

y

例2.由右图所示函数图象, 求 y ? A sin(?x ? ? )(| ? |? ? )的表达式 .

2 1
?

? o
8

3? 8

7? 8

x

例3.右图所示的曲线是 ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)的图象的一部分, y 求这个函数的解析式 .
解:由函数图象可知

?2

y

2

o ?
12

5? 6

x

?2
思考: 下图为y ? A sin(?x ? ? )的图象的一段,求其解 . 析式

y

3
N

o

M

?

?
3

3

5? x 6


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