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理科数学答案

时间:2015-06-02


高二数学理科答案
一.选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 D 5 B 6 D 7 B 8 C 9 C 10 A 11 A 12 B

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13. 4 14. 274 15.

1 2

16.



1

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.解:把 x ? 1 带入切线方程 y ? ?3x ? 3 ,解得 y ? 0 , 所以切点坐标为 (1,0) , 把切点坐标 (1,0) 代入函数解析式得 1 ? a ? b ? 0 ,①…………5 分 因为 f ?( x) ? 3x ? 2ax ,
2

? f ?(1) ? 3 ? 2a ? ?3,? a ? ?3 ,
代入①得 b ? 2 , 所以 a ? ?3, b ? 2. …………10 分 18.解 (1)要使所给复数为实数,必使复数的虚部为 0. 故 m ? 3 ? 0 ,则 m ? 3 , 所以当 m ? 3 时,z 为实数.…………4 分 (2)要使所给复数为虚数,必使复数的虚部不为 0. 所以 m ? 3 ? 0, 即 m ? 3 ,此时 z 为虚数.…………8 分 (3)要使所给复数为纯虚数,必使复数的实部为 0,虚部不为 0. 则?

?m 2 ? 2m ? 3 ? 0, ?m ? 3 ? 0,

解得 m ? ?1 .

所以当 m ? ?1 时,z 为纯虚数.…………12 分 19.证明:因为 b ? c ? 2bc, a ? 0,
2 2

所以 a(b ? c ) ? 2abc, …………5 分
2 2

又因为 a ? c ? 2ac, b ? 0,
2 2

所以 b(a ? c ) ? 2abc, …………10 分
2 2

两式相加得 a(b ? c ) ? b(c ? a ) ? 4abc ,
2 2 2 2

因此 a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? 4abc .…………12 分 20.解: (1)因为 a1 ? 1 ,所以 a2 ?

a1 1 ? , 1 ? 2a1 3

a3 ?

a3 a2 1 1 ? , a4 ? ? ;…………4 分 1 ? 2a2 5 1 ? 2a 3 7

1 , 2n ? 1 1 ? 1,显然结论成立, 证明①当 n ? 1 时, a1 ? 2 ?1 ? 1 1 ②假设当 n ? k 时, a k ? 成立; 2k ? 1 1 ak 1 1 当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? ? 2k ? 1 ? ? , 1 1 ? 2ak 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 1? 2 2k ? 1 所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立, 1 由①②可知,对任意正整数 n ,都有 a n ? 成立. …………12 分 2n ? 1
(2)由(1)可猜想 a n ? 21.解: (1) f ?( x ) =-3x2+6x+9. 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x<-1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) , (3,+∞) .…………4 分 (2) f ?( x ) =-3x2+6x+9. 令 f ?( x) ? 0,? x ? ?1. ( x ? 3 舍去) , 根据 x, f ?( x), f ( x) 的变化情况列表,

x
f ?( x)
f ( x)

-2

(-2,-1) -1 — 0 极小值-7

(-1,2) + 递增

2

0

递减

20

由上表可知函数 f ( x) 在区间[-2,2]上的最大值为 20,最小值为-7.………12 分 22.解: (1)由题意得 f ?( x) ? 由 f ?(3) ? 0 ? a ?

?ax 2 ? (a ? 1) x , x ? (?1, ??) x ?1

1 ,经检验符合题意…………4 分 4 1 (2)令 f ?( x) ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? ? 1 a

当 a ? 1 时, f ?( x) ?

? x2 ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? (?1,??) 时单调递减,无极值; x ?1

当 a ? 1 时, ?1 ? x2 ? 0

f ( x) 与 f ?( x ) 的变化情况如下表

x
f ?( x ) f ( x)
由上表可知:

1 (?1, ? 1) a

1 ?1 a
0

1 ( ? 1, 0) a

0 0

(0, ??)

?


?


?


1 f ( ? 1) a

f (0)

当 a ? 1 , f ( x) 在 x ?

1 1 a ? 1 时取得极小值 ? ? ln a , a 2a 2

f ( x) 在 x ? 0 时取得极大值 0. …………12 分


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