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7. 2013年全国高中数学联赛福建预赛


预赛试题集锦(2014)
2013 年全国高中数学联赛福建省预赛
一.填空题(每小题 6 分,共 60 分) 1. 2. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 32 , an ? 1 ? an ? 2n ( n ? N* ) ,则

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an 的最小值为_______. n
f ( x1 ) f ( x

2 ) ? M ,则称

对于函数 y ? f ( x) , x ? D ,若对任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使得

函数 f ( x) 在 D 上的几何平均数为 M 。已知 f ( x) ? x3 ? x2 ? 1 , x ? ?1,2? ,则函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 1 在 ?1 ,2? 上的几何平均数 M ? _______. 3.
b、 若三个非零且互不相等的实数 a 、 c 满足

1 1 2 b、 则称 a 、 若满足 a ? c ? 2b , c 是调和的; ? ? , a b c

则称 a 、 b 、 c 是等差的。已知集合 M ? ?x x ≤ 2013 , x ? Z? ,集合 P 是集合 M 的三元子集,即

P ? ?a ,, b c? ? M 。若集合 P 中元素 a 、 b 、 c 既是调和的,又是等差的,则称集合 P 为“好集” 。
则不同的“好集”的个数为_______. 4. 5. 已知实数 x , y 满足 xy ? 1 ? 4 x ? y ,且 x > 1 ,则 ( x ? 1)( y ? 2) 的最小值为_______. 如图,在四面体 ABCD 中, AB ? 平面 BCD , △ BCD 是边长为 3 的等边三角形。若 AB ? 2 ,则四 面体 ABCD 外接球的面积为_______.

6. 7.

在正十边形的 10 个顶点中,任取 4 个点,则以这 4 个点为顶点的四边形为梯形的概率为_______.
? x ? x? 1? 方程 sin πx ? ? ? ? ? ? ? 在区间 ? 0 ,2π ? 内的所有实根之和为_______. (符号 [ x] 表示不超过 x 的 ? 2 ? 2? 2?

最大整数) 。 8. 9.
x 已知 f ( x) 为 R 上增函数,且对任意 x ? R ,都有 f ? ? f ( x) ? 3 ? ? ? 4 ,则 f (2) ? _______.

已知集合 A 的元素都是整数,其中最小的为 1,最大的为 200。且除 1 以外, A 中每一个数都等于 (可以相同) 的和。 则 A 的最小值为_______. (符号 A 表示集合 A 中元素的个数) A 中某两个数

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1

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? x ,若 x 为无理数 ? ?7 8? 10. 已知函数 f ( x) ? ? q ? 1 ,则函数 f ( x) 在区间 ? , ? q * 若x? , 其中 p , q?N , 且 p 、互质, q p>q ?8 9? ? p , p ?

上的最大值为_______. 二.解答题(每小题 20 分,共 100 分) 11. 将各项均为正数的数列 ?an ? 排成如下所示的三角形数阵(第 n 行有 n 个数,同一行中,下标小的数 排在左边) 。 bn 表示数阵中,第 n 行、第 1 列的数。已知数列 ?bn ? 为等比数列,且从第 3 行开始, 各行均构成公差为 d 的等差数列 (第 3 行的 3 个数构成公差为 d 的等差数列; 第 4 行的 4 个数构成 公差为 d 的等差数列,??) , a1 ? 1 , a12 ? 17 , a18 ? 34 。 (1)求数阵中第 m 行、第 n 列的数 A(m ,n) (用 m 、 n 表示) 。 (2)求 a2013 的值; (3)2013 是否在该数阵中?并说明理由。

a1 a2 a4 a7
? ? ?

a3 a5 a6 a9
?

a8

a10
?

12. 已知 A 、 B 为抛物线 C : y 2 ? 4 x 上的两个动点,点 A 在第一象限,点 B 在第四象限。 l1 、 l2 分别 过点 A 、 B 且与抛物线 C 相切, P 为 l1 、 l2 的交点。 (1)若直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F ,求证:动点 P 在一条定直线上,并求此直线方程; (2)设 C 、 D 为直线 l1 、 l2 与直线 x ? 4 的交点,求 △ PCD 面积的最小值。 13. 如图,在 △ABC 中, ?B ? 90 ? ,它的内切圆分别与边 BC 、 CA 、 AB 相切于点 D 、 E 、 F ,连接

AD ,与内切圆相交于另一点 P ,连接 PC 、 PE 、 PF 、 FD 、 ED 。
(1)求证:

FP EP ; ? FD ED

(2)若 PE∥BC ,求证: PC ? PF 。

2

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14. 已知 f ( x) ? 2 ln( x ? 1) ?

1 ?1。 x ( x ? 1)

? ? ? 上的最小值; (1)求 f ( x) 在区间 ?1,
(2)利用函数 f ( x) 的性质,求证: ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n > (3)求证: ln 2 1 ? ln 2 2 ? ln 2 3 ? ? ? ln 2 n >

(n ? 1)2 ( n ? N* ,且 n ≥ 2 ) ; 2n

(n ? 1)4 ( n ? N* ,且 n ≥ 2 ) 。 3 4n

15. 已知集合 P ? ? x x ? 73 ? a ? 72 ? b ? 7 ? c , ?,x n 其中 a ,,为不超过 b c 6 的正整数 ? 。x1 ,x 2 ,x3 , 为集合 P 中构成等差数列的 n 个元素。求 n 的最大值。

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参考答案

一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 32 , an ? 1 ? an ? 2n ( n ? N * ) ,则 【答案】

an 的最小值为。 n

31 3

【解答】由 a1 ? 32 , an ? 1 ? an ? 2n 知,

an ? an ? 1 ? 2(n ? 1) , an ?1 ? an ? 2 ? 2(n ? 2) ,??, a2 ? a1 ? 2 ? 1 , a1 ? 32 。
上述 n 个等式左右两边分别相加,得 an ? n(n ? 1) ? 32 。 ∴

an a a 32 52 31 ? n ? 1 ? ,又 n ? 5 时, n ? ; n ? 6 时, n ? 。 n n n 5 n 3 an 31 取最小值 。 n 3
f ( x1 ) f ( x2 ) ? M ,

∴ n ? 6 时,

2.对于函数 y ? f ( x) , x ? D ,若对任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使得

2? , 则称函数 f ( x) 在 D 上的几何平均数为 M 。 已知 f ( x) ? x3 ? x2 ? 1 ,x ? ?1, 则函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 1 在 2? 上的几何平均数 M ? 。 ?1,
【答案】 5 【解答】∵当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ? x(3x ? 2) ? 0 ,

2? 上为增函数,其值域为 ?1, 5? 。 ∴ f ( x) ? x3 ? x2 ? 1 在区间 ?1,
∴根据函数 f ( x) 几何平均数的定义知, M ? 5 。
b、 3. 若三个非零且互不相等的实数 a 、 c 满足

1 1 2 b、 则称 a 、 若满足 a ? c ? 2b , c 是调和的; ? ? , a b c

则称 a 、 b 、 c 是等差的。已知集合 M ? ? x

x ? 2013 , x?Z

? ,集合 P 是集合 M 的三元子集,即

P ?? a, b, c ? ? M 。若集合 P 中元素 a 、 b 、 c 既是调和的,又是等差的,则称集合 P 为“好集” 。则
不同的“好集”的个数为。 【答案】 1006

?1 1 2 ? ? ? 【解答】若 a 、 b 、 c 既是调和的,又是等差的,则 ? a b c , a ? ?2b , c ? 4b 。 ? ? a ? c ? 2b

b 4b ? ( b ? 0 )的集合。 即“好集”为形如 ? ? 2b ,,

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由“好集”是集合 M 的三元子集知, ?2013 ? 4b ? 2013 , b ? Z ,且 b ? 0 。 ∴ ?503 ? b ? 503 , b ? Z ,且 b ? 0 。符合条件的 b 可取 1006 个值。 ∴“好集”的个数为 1006。 4.已知实数 x , y 满足 xy ? 1 ? 4 x ? y ,且 x ? 1 ,则 ( x ? 1)( y ? 2) 的最小值为。 【答案】 27 【解答】由 xy ? 1 ? 4 x ? y 知, y ? ∴ ( x ? 1)( y ? 2) ? ( x ? 1)( 设 x ? 1 ? t ,则 t ? 0 ,

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4x ? 1 。 x ?1

4x ? 1 3( x ? 1)(2 x ? 1) 。 ? 2) ? x ?1 x ?1

( x ? 1)( y ? 2) ?

3( x ? 1)(2x ? 1) 3(t ? 2)(2t ? 1) 1 ? ? 6(t ? ) ? 15 ? 27 。 x ?1 t t

1 当且仅当 t ? ,即 t ? 1 , x ? 2 , y ? 7 时等号成立。 t
∴ ( x ? 1)( y ? 2) 的最小值为 27。 5.如图,在四面体 ABCD 中, AB ? 平面 BCD , △ BCD 是边长为 3 的等 边三角形。若 AB ? 2 ,则四面体 ABCD 外接球的面积为。 【答案】 16? 【解答】 如图, 设正 △ BCD 的中心为 O1 , 四面体 ABCD 外接球的球心为 O 。 则 OO1 ? 平面 BCD , OO1∥AB , BO1 ? 取 AB 中点 E 。 由 OA ? OB 知, OE ? AB , OE∥O1 B , OO1 ? EB ? 1 。 于是, OA ? OB ? 2 。 ∴四面体 ABCD 外接球半径为 2,其面积为 16? 。
2 3 ? ?3 ? 3 。 3 2

6.在正十边形的 10 个顶点中,任取 4 个点,则以这 4 个点为顶点的四 边形为梯形的概率为。 【答案】

2 7

【解答】设正十边形为 A1 A2 ? A10 。则 以 A1 A2 为底边的梯形有 A1 A2 A3 A10 、A1 A2 A4 A9 、A1 A2 A5 A8 共 3 个。 同理分别以 A2 A3 、A3 A4 、A4 A5 、 ?、

A9 A10 、 A10 A1 为底边的梯形各有 3 个。这样,合计有 30 个梯形。
以 A1 A3 为底边的梯形有 A1 A3 A4 A10 、 A1 A3 A5 A9 共 2 个。同理分别以 A2 A4 、 A3 A5 、 A4 A6 、?、 A9 A1 、

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A10 A2 为底边的梯形各有 2 个。这样,合计有 20 个梯形。
以 A1 A4 为底边的梯形只有 A1 A4 A5 A10 1 个。同理分别以 A2 A5 、 A3 A6 、 A4 A7 、?、 A9 A2 、 A10 A3 为底 边的梯形各有 1 个。这样,合计有 10 个梯形。 所以,所求的概率 P ?
30 ? 20 ? 10 2 ? 。 4 C10 7

? x ? x ? 1 ? 2? ? 内的所有实根之和为。 7. 方程 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 在区间 ? 0 , (符号 ? x ? 表示不超过 x 的最 ? 2 ? 2 ? 2?

大整数) 。 【答案】12
? x ? x ? x ? ? x ? 【解答】设 ? ? ? ? ? ? ,则对任意实数 x , 0 ? ? ? ? 1 。 2 2 2 ? ? ? ? ?2 ?

?? x ? 1 原方程化为 sin ? x ? ? ? ? ? ??2 ? 2

? ?。 ?

?? x ? 1 ? ? x ? 1 ①若 0 ? ? ? ? ,则 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 0 , ? x ? k? ( k ? Z ) 。 ? 2 ? 2 ??2 ? 2?

2? ? 知, x ? 0 ,1,2,3,4,5,6。 ∴ x ? k (k ?Z ) 。结合 x ? ?0 ,
经检验, x ? 0 ,2,4,6 符合要求。 ②若
1 ? x ? ?? x ? 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ,则 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 1 , ? x ? 2k? ? ? ( k ? Z ) 。 2 ? 2 ? 2 2 2 ?? ? ?

∴ x ? 2k ?

1 1 5 9 2? ? 知, x ? , , 。 (k ?Z ) 。结合 x ? ?0 , 2 2 2 2

经检验, x ?

1 5 9 , , 均不符合要求。 2 2 2

∴符合条件的 x 为 0,2,4,6,它们的和为 12。
x 8.已知 f ( x) 为 R 上增函数,且对任意 x ? R ,都有 f ? ? f ( x) ? 3 ? ? ? 4 ,则 f (2) ? 。

【答案】 10 【解答】依题意, f ( x) ? 3x 为常数。设 f ( x) ? 3x ? m ,则 f (m) ? 4 , f ( x) ? 3x ? m 。 ∴ 3m ? m ? 4 , 3m ? m ? 4 ? 0 。易知方程 3m ? m ? 4 ? 0 有唯一解 m ? 1 。 ∴ f ( x) ? 3x ? 1 , f (2) ? 32 ? 1 ? 10 。 9.已知集合 A 的元素都是整数,其中最小的为 1,最大的为 200。且除 1 以外, A 中每一个数都 等于 A 中某两个数(可以相同)的和。则 A 的最小值为。 (符号 A 表示集合 A 中元素的个数)

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【答案】 10

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2 ,,, 3 5 10 , 20 , 40 , 80 , 160 , 200 ? 符合要求。此时, A ? 10 。 【解答】易知集合 A ? ? 1,
下面说明 A ? 9 不符合要求。

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , 200 ? , x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? x7 符合要求。 假设集合 A ? ? 1,
则 x1 ? 1 ? 1 ? 2 , x2 ? 2 ? 2 ? 4 , x3 ? 8 , x4 ? 16 , x5 ? 32 , x6 ? 64 , x7 ? 128 。 由于 x6 ? x7 ? 64 ? 128 ? 192 ? 200 ,因此, 200 ? x7 ? x7 , x7 ? 100 。 同理,由 x5 ? x6 ? 32 ? 64 ? 96 ? 100 ,知, x7 ? 100 ? x6 ? x6 , x6 ? 50 。 由 x4 ? x5 ? 16 ? 32 ? 48 ? 50 ,知, x6 ? 50 ? x5 ? x5 , x5 ? 25 。 由 x3 ? x4 ? 8 ? 16 ? 24 ? 25 ,知, x5 ? 25 ? x4 ? x4 , x4 ?

25 与 x 4 为整数矛盾。 2

∴ A ? 9 不符合要求, A ? 9 。同理, A ? 8 也不符合要求。 因此, A 的最小值为 10。
? x ,若 x 为无理数 ? 10 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? q ? 1 , 则 函 数 f ( x) 在 区 间 q 若x? , 其中 p , q ? N* , 且 p 、互质, q p?q ? p , p ?

7 8 ( , ) 上的最大值为。 8 9
【答案】

16 17

7 8 a 7 8 * 【解答】若 x 为有理数,且 x ? ( , ) 。设 x ? , ?( , ) ( a , ? ? N ) 8 9 a?? 8 9

? 9a ? 8a ? 8? 7 a 8 , 7? ? a ? 8? 。 ? ? 知, ? 8 a?? 9 ? 7a ? 7? ? 8a

当 ? ? 1 时, a 不存在; 当 ? ? 2 时,存在唯一的 a ? 15 ,此时 x ?

15 16 , f ( x) ? 。 17 17
7? ? m ? 1 。 8? ? m

当 ? ? 3 时,设 a ? 7? ? m ,其中 1 ? m ? ? ? 1 ,且 m ? N * ,此时 f ( x) ? ∵
16 7? ? m ? 1 9? ? m ? 17 (? ? m) ? (8? ? 17) ? ? ? ?0, 17 8? ? m 17(8? ? m) 17(8? ? m)

∴若 x 为有理数,则 x ?

15 16 时, f ( x) 取最大值 。 17 17

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7 8 8 16 又 x 为无理数,且 x ? ( , ) 时, f ( x) ? x ? ? 。 8 9 9 17

7 8 16 综合以上可知, f ( x) 在区间 ( , ) 上的最大值为 。 17 8 9
二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11.将各项均为正数的数列 ?an ? 排成如下所示的三角形数阵(第 n 行有 n 个数,同一行中,下标小 的数排在左边) 。 bn 表示数阵中,第 n 行、第 1 列的数。已知数列 ?bn ? 为等比数列,且从第 3 行开始, 各行均构成公差为 d 的等差数列 (第 3 行的 3 个数构成公差为 d 的等差数列; 第 4 行的 4 个数构成公差 为 d 的等差数列,??) , a1 ? 1 , a12 ? 17 , a18 ? 34 。
n) (用 m 、 n 表示) (1)求数阵中第 m 行、第 n 列的数 A(m , 。

(2)求 a2013 的值; (3)2013 是否在该数阵中?并说明理由。

a1 a2 a4 a7
【解答】 (1)设 ?bn ? 的公比为 q 。 ? ? ?

a3 a5 a6 a9
?

a8

a10
?

依题意, a12 为数阵中第 5 行、第 2 列的数; a18 为数阵中第 6 行、第 3 列的数。 ∴ b1 ? 1 , bn ? qn ? 1 , a12 ? q4 ? d ? 17 , a18 ? q5 ? 2d ? 34 。?? ∴ q ? 2 , d ? 1 , bn ? 2n ? 1 。 5分

n) ? bm ? (n ? 1)d ? 2 m ? 1 ? n ? 1 。???? ∴ A(m ,

10 分

(2)由 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 62 ? 1953 , 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 62 ? 63 ? 2016 , 2013 ? 1953 ? 60 知,

a2013 为数阵中第 63 行,第 60 列的数。
∴ a2013 ? 262 ? 59 。??????? 15 分

(3)假设 2013 为数阵中第 m 行、第 n 列的数。 ∵第 m 行中,最小的数为 2 m ? 1 ,最大的数为 2 m ? 1 ? m ? 1 , ∴ 2 m ? 1 ? 2013 ? 2 m ? 1 ? m ? 1 ?????①。 由于 m ? 10 时, 2 m ? 1 ? m ? 1 ? 29 ? 9 ? 512 ? 2013 ,因此 m ? 10 不符合①;

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由于 m ? 11 时, 2 m ? 1 ? 210 ? 1024 ? 2013 ,因此 m ? 11 不符合①; ∴上述不等式①无正整数解。 ∴ 2013 不在该数阵中。???? 20 分

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12.已知 A 、 B 为抛物线 C : y 2 ? 4 x 上的两个动点,点 A 在第一象限,点 B 在第四象限。 l1 、 l2 分别过点 A 、 B 且与抛物线 C 相切, P 为 l1 、 l2 的交点。 (1)若直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F ,求证:动点 P 在一条定直线上,并求此直线方程; (2)设 C 、 D 为直线 l1 、 l2 与直线 x ? 4 的交点,求 △ PCD 面积的最小值。 【解答】 (1)设 A(
y12 y2 y2 ) ( y1 ? 0 ? y2 ) , y1 ) , B( 2 , 。 4 4 y12 )。 4

易知 l1 斜率存在,设为 k1 ,则 l1 方程为 y ? y1 ? k1 ( x ?

? y12 ? y ? y1 ? k1 ( x ? ) 2 2 由? 4 得, k1 y ? 4 y ? 4 y1 ? k1 y1 ? 0 ?????① ? y2 ? 4x ?

由直线 l1 与抛物线 C 相切,知 △ ? 16 ? 4k1 (4 y1 ? k1 y12 ) ? 0 。 于是, k1 ?
2 2 1 , l1 方程为 y ? x ? y1 。 y1 y1 2
2 1 x ? y2 。 y2 2

同理, l2 方程为 y ?

联立 l1 、 l2 方程可得点 P 坐标为 P( ∵ k AB ?

y1 y2 y1 ? y2 , ) ??? 4 2

5分

y1 ? y2 y12 4 4 0) 。 y ? y ? ( x ? ) , AB 过抛物线 C 的焦点 F (1 , ? , 方程为 AB 1 2 y1 ? y2 4 y12 y2 y1 ? y2 ? 4 4
y2 4 (1 ? 1 ) , y1 y2 ? ?4 。 y1 ? y2 4

∴ ? y1 ? ∴ xP ?

y1 y2 ? ?1 ,点 P 在定直线 x ? ?1 上。???? 4

10 分

y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 l1 方程为 y1 y ? 2( x ? x1 ) , l2 方程为 y2 y ? 2( x ? x2 ) 。 或解:设 A( x1 ,
????? 5分

y0 ) ,则 y1 y0 ? 2( x0 ? x1 ) , y2 y0 ? 2( x0 ? x2 ) 。 设 P( x0 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 坐标满足方程 yy0 ? 2( x0 ? x) 。 ∴点 A( x1 ,

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∴直线 AB 方程为 yy0 ? 2( x0 ? x) 。
0) ,知 0 ? 2( x0 ? 1) 。 由直线 AB 过点 F (1 ,

∴ x0 ? ?1 。点 P 在定直线 x ? ?1 上。??????

10 分

8 1 8 1 (2)由(1)知, C 、 D 的坐标分别为 C (4 , ? y1 ) 、 D (4 , ? y2 ) 。 y1 2 y2 2

∴ CD ? (

( y1 y2 ? 16)( y1 ? y2 ) 8 1 8 1 。 ? y1 ) ? ( ? y2 ) ? y1 2 y2 2 2 y1 y2

∴ S△PCD ?

yy ( y1 y2 ? 16)( y1 ? y2 ) 1 。???? 4? 1 2 ? 2 4 2 y1 y2

15 分

设 y1 y2 ? ?t 2 ( t ? 0 ) , y1 ? y2 ? m , 由 ( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? m2 ? 4t 2 ? 0 知, m ? 2t ,当且仅当 y1 ? y2 ? 0 时等号成立。 ∴ S△PCD ? 设 f (t ) ? ∴0?t ?
1 t2 (?t 2 ? 16)m m ? (t 2 ? 16)2 2t ? (t 2 ? 16)2 (t 2 ? 16) 2 。 4? ? ? ? ? 2 4 ?2t 2 16t 2 16t 2 8t

(t 2 ? 16)2 2(t 2 ? 16) ? 2t ? t ? (t 2 ? 16)2 (3t 2 ? 16)(t 2 ? 16) ,则 f ?(t ) ? 。 ? 8t 8t 2 8t 2
? 4 3? 4 3 4 3 时, f ?(t ) ? 0 ; t ? 时, f ?(t ) ? 0 。 f (t ) 在区间 ? ? 0 , 3 ? 上为减函数;在区间 3 3 ? ?

?4 3 ? 上为增函数。 , ? ?? ? ? ? 3 ?
∴t ?
4 3 128 3 时, f (t ) 取最小值 。 3 9
4 4 128 3 16 ,即 y1 ? , y2 ? ? 时, △ PCD 面积取最小值 。???? 9 3 3 3

∴当 y1 ? y2 ? 0 , y1 y2 ? ? 20 分

13.如图,在 △ABC 中, ?B ? 90? ,它的内切圆分别与边
BC 、 CA 、 AB 相切于点 D 、 E 、 F ,连接 AD ,与内切圆相

交于另一点 P ,连接 PC 、 PE 、 PF 、 FD 、 ED 。 (1)求证:

FP EP ; ? FD ED

(2)若 PE∥BC ,求证: PC ? PF 。

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【解答】 (1)由条件知, ?AFP ? ?ADF ,又 ?FAP ? ?FAD 。 ∴ △AFP ∽△ADF ,

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AP FP 。? ? AF DF

5分

同理,由 ?AEP ? ?ADE , ?PAE ? ?EAD 知, △AEP ∽△ADE , ∵ AF ? AE , ∴ ∴

EP AP 。 ? DE AE

EP AP AP FP 。 ? ? ? DE AE AF DF FP EP 。 ? FD ED
???? 10 分

(2)∵ PE∥BC , ∴ ?PED ? ?EDC ? ?DPE ? ?CED 。 ∴ △DPE ∽△CDE 。 ∴

EP PD ????? ? ED DC

15 分

结合(1)可知,

FP DP 。 ? FD DC

又 ?PFD ? ?PDC , ∴ △PFD ∽△PDC , ?PCB ? ?PDF ? ?PFA 。 ∴ P 、 F 、 B 、 C 四点共圆。 又 ?B ? 90? , ∴ ?FPC ? 90? , PC ? PF 。?? 14.已知 f ( x) ? 2 ln( x ? 1) ? 20 分
1 ?1。 x ( x ? 1)

? ? ? 上的最小值; (1)求 f ( x) 在区间 ?1 ,
(2)利用函数 f ( x) 的性质,求证: ln1 ? ln 2 ? ln3 ? ? ? ln n ? (3)求证: ln 2 1 ? ln 2 2 ? ln 2 3 ? ? ? ln 2 n ?

(n ? 1)2 ( n ? N * ,且 n ? 2 ) ; 2n

(n ? 1)4 ( n ? N * ,且 n ? 2 ) 。 4n3 2 2x ? 1 2 x3 ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 (2 x3 ? 1) ? 2 x( x ? 1) ? 2 ? ? 【解答】 (1)∵ f ?( x) ? 。 2 x ? 1 x ( x ? 1) x 2 ( x ? 1)2 x 2 ( x ? 1)2

? ? ? 上为增函数。 ∴ x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ?1 ,
1 ? ? ? 上的最小值为 f (1) ? 2ln 2 ? 。????? 5 分 ∴ f ( x) 在区间 ?1 , 2 1 1 ? 1 ? 2 ln 2 ? ? 0 恒成立。 (2)由(1)知,对任意的实数 x ? 1 , 2 ln( x ? 1) ? x( x ? 1) 2
2 ln(k ? 1) ? ∴对任意的正整数 k , 1 1 1 ?1 ? 0 , 即 2ln(k ? 1) ? 1 ? ( ? ??? ) 恒成立。 k (k ? 1) k k ?1

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能力的飞跃

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高中竞赛

预赛试题集锦(2014)

1 1 1 1 1 1 ∴ 2ln 2 ? 1 ? ( ? ) , 2ln 3 ? 1 ? ( ? ) ,??, 2ln n ? 1 ? ( ? )。 1 2 2 3 n ?1 n 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ? ? ) ∴ 2ln 2 ? 2ln 3 ? ? ? 2ln n ? ? 1 ? ( ? ) ? ? ? 1 ? ( ? ) ? ? ? ? ? 1 ? ( 1 2 ? ? 2 3 ? n ?1 n ? ?

? ?。 ?

1 (n ? 1)2 ∴ 2ln 2 ? 2ln 3 ? ? ? 2ln n ? n ? 1 ? (1 ? ) ? 。 n n
∴ n ? N * ,且 n ? 2 时, ln1 ? ln 2 ? ln3 ? ? ? ln n ? (3)由柯西不等式知,

(n ? 1)2 。?? 2n

15 分

(ln 2 1 ? ln 2 2 ? ln 2 3 ? ? ? ln 2 n)(12 ? 12 ? 12 ? ? ? 12 ) ? (ln1 ? ln 2 ? ln3 ? ? ? ln n) 2 。
结合(2)的结论可知,

1 (n ? 1)4 (n ? 1)4 当 n ? N * ,且 n ? 2 时, ln 2 1 ? ln 2 2 ? ln 2 3 ? ? ? ln 2 n ? ? 。 ? n 4n2 4n3
?? 20 分

15. 已知集合 P ? ? x x ? 73 ? a ? 72 ? b ? 7 ? c , ?, 其中 a ,,为不超过 b c 6 的正整数 ? 。x1 ,x 2 ,x3 ,

x n 为集合 P 中构成等差数列的 n 个元素。求 n 的最大值。
【解答】 (1)显然 1,2,3,4,5,6 这 6 个数在集合 P 中,且构成等差数列。 ?? 5分

(2)下面证明集合 P 中任意 7 个不同的数都不能构成等差数列。用反证法。 设 x1 , x 2 , x3 ,?, x7 为集合 P 中构成等差数列的 7 个不同的元素,其公差为 d , d ? 0 。 由集合 P 中元素的特性知,集合 P 中任意一个元素都不是 7 的倍数。 ∴由抽屉原理知, x1 , x 2 , x3 ,?, x7 这 7 个数中,存在 2 个数,它们被 7 除的余数相同,其差

j ? ? 1, 2 ,, 3 4 ,,, 5 6 7 ? , i ? j )能被 7 整除。则 7 ( j ? i)d 。 能被 7 整除。设 xi ? x j ( i ,
∴ 7 d 。?????? 设 d ? 7 m ( m 为正整数) , 设 x1 ? 73 ? a1 ? 72 ? a2 ? 7 ? a3 ( a1 , a 2 , a 3 为不超过 6 的正整数) 。 则 xi ? 73 ? a1 ? 72 ? a2 ? 7 ? a3 ? 7(i ? 1)m ,其中 i ? 2 ,3,?,7。 ∵ x7 ? 73 ? 6 ? 72 ? 6 ? 7 ? 6 , x7 ? 73 ? 1? 72 ? 1? 7 ? 1 ? 7(7 ? 1)m , ∴ 1 ? m ? 6 ,即公差 d 只能为 7 ? 1 , 7 ? 2 ,?, 7 ? 6 。??
m) ? 1 。 ∵ 1 ? m ? 6 , (7 ,

10 分

15 分

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能力的飞跃

预赛试题集锦(2014)

高中竞赛

∴ m , 2 m ,?, 6 m 除以 7 以后的余数各不相同,分别为 1,2,?,6 中的一个。

2 ,, 3 4 ,, 5 6 ? ,使得 a2 ? km 能被 7 整除,设 a2 ? km ? 7t ( t 为正整数) 因此,存在 k ?? 1, 。
则 xk ? 1 ? 73 ? a1 ? 72 ? a2 ? 7 ? a3 ? 7km ? 73 ? a1 ? 72 ? (a2 ? km) ? 7 ? a3 ? 73 ? (a1 ? t ) ? 72 ? a3 这样, xk ? 1 的 7 进制表示中,7 的系数(即从左到右第 2 位)为 0,与 xk ? 1 ? P 矛盾。 ∴集合 P 中任意 7 个不同的数都不能构成等差数列。 ∴ n 的最大值为 6。??? 20 分

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