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考点46 坐标系与参数方程

时间:2017-10-27


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考点 46 坐标系与参数方程
一、填空题 1.(2016 · 天津高考理科 · T14) 设抛物线 ?
?7 ?2

?x ? 2pt2 , (t

为参数 ,p>0) 的焦点为 F, 准线为 l. 过抛物线上 ?y ? 2pt
? ?

一点 A 作 l 的垂线 , 垂足为 B. 设 C ? p,0 ? ,AF 与 BC 相交于点 E. 若 |CF|=2|AF|, 且△ ACE 的面积 为 3 2 , 则 p 的值为 .

【解题指南】首先写出抛物线的标准方程 , 得到焦点坐标与准线方程 , 由抛物线的定义得出 AB=AF, 得出 A 点的坐标 , 利用△ AEB∽△ FEC 得出 AE 与 AF 的关系 , 从而表示出△ AEC 与△ AFC 的面积关系 , 进而求出 p 的值 . 【解析】 x,y 满足函数 y 2=2px,

所以 F ? ,0 ? ,CF=3p,AB=AF= p,
?

?p ?2

?

3 2

可得 :A p, 2p . 易知△ AEB∽△ FEC, =
2 2 p =3 2 , 2
1 1 1 AE AB 1 , 故 S△ ACE = S△ ACF= × 3p × 2 p × ? ? 3 3 2 FE FC 2

?

?

所以 p 2=6. 因为 p>0, 所以 p= 6 . 答案 : 6 二、解答题

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2.(2016 · 全国卷Ⅰ高考文科 · T23) 同 (2016 · 全国卷Ⅰ高考理科 · T23) 选修 4 — 4: 坐标系与参数方程 在直线坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的参数方程为 ?
?x ? acost, ?y ? 1 ? asint

(t 为参数 ,a>0). 在以坐标原点为极

点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 曲线 C 2: ρ =4cos θ . (1) 说明 C 1 是哪一种曲线 , 并将 C 1 的方程化为极坐标方程 . (2) 直线 C 3 的极坐标方程为 θ = α 0, 其中 α 0 满足 tan α 0=2, 若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上 , 求 a. 【解析】 (1) ?
?x ? acost, ?y ? 1 ? asint

(t 为参数 ),

所以 x 2+(y-1) 2=a 2.



所以 C 1 为以 (0,1) 为圆心 ,a 为半径的圆 . 方程为 x 2+y 2-2y+1-a 2=0. 因为 x 2+y 2= ρ 2,y= ρ sin θ , 所以ρ 2-2 ρ sin θ +1-a 2=0, 即为 C 1 的极坐标方程 . (2)C2: ρ =4cos θ , 两边同乘ρ , 得ρ 2=4 ρ cos θ , ∵ρ 2=x 2+y 2, ρ cos θ =x, ∴ x 2+y 2=4x. 即 (x-2) 2+y 2=4. ②

C 3: 化为普通方程为 y=2x, 由题意 :C 1 和 C 2 的公共方程所在直线即为 C 3. ① - ②得 :4x-2y+1-a 2=0, 即为 C 3, 所以 1-a 2=0, 所以 a=1. 3.(2016 · 全国卷Ⅱ文科 · T23) 同 (2016 · 全国卷Ⅱ理科 · T23) 选修 4 — 4: 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 , 圆 C 的方程为 (x+6) 2+y 2 =25.

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(1) 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 求 C 的极坐标方程 . (2) 直线 l 的参数方程是 ?
?x ? tcosα , ?y ? tsinα

(t 为参数 ),l 与 C 交于 A,B 两点 ,|AB|= 10 , 求 l 的斜率 .

【解题指南】 (1) 给出的圆的方程为普通方程 , 要求其极坐标方程 , 直接套用公式转化即可 .(2) 由 直线 l 的参数方程可知 , 直线过原点 , 可写出其普通方程 , 利用几何法建立斜率的方程 , 解方程即 可. 【解析】 (1) 整理圆的方程得 x 2+y 2+12x+11=0,
? ρ 2 ? x2 ? y 2 , ? 由 ?ρ cosθ ? x, 可知圆 C 的极坐标方程为 ? ρ sinθ ? y, ?

ρ 2+12 ρ cos θ +11=0. (2) 由题意可得直线过原点且斜率存在 , 记直线的斜率为 k, 则直线的方程为 kx-y=0, 由垂径定理及点到直线距离公式知 :
? 10 ? = 25 ? ? ? , ? 2 ? 2 1?k ? ? ?6k
2



5 36k2 90 15 , 整理得 k 2= , 则 k= ± . = 2 3 4 3 1?k

4.(2016 · 全国卷Ⅲ · 文科 · T23) 与 (2016 · 全国卷 3 · 理科 · T23) 相同 选修 4-4: 坐标系与参数方程
? ? 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的参数方程为 ?x ? 3cosα (α 为参数 ), 以坐标原点为极点 , 以 x 轴 ?y ? sinα ?
? ? π? ? =2 2 . 4?

的正半轴为极轴 ,, 建立极坐标系 , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ sin ?θ ? (1) 写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程 .

(2) 设点 P 在 C 1 上 , 点 Q 在 C2 上 , 求 |PQ| 的最小值及此时 P 的直角坐标 .
? ? 【解析】 (1) 由 ?x ?

x2 3cosα 得 +y 2=1. 3 ?y ? sinα ?

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因为ρ sin ?θ ?
?

?

π? 1 1 ρ sin θ + ρ cos θ =2 2 , ?= 4? 2 2

所以 x+y=4. 所以 C 1 的普通方程为
x2 +y 2=1,C 2 的直角坐标方程为 x+y=4. 3

(2) 由题意 , 可设点 P 的直角坐标为

?

3cosα ,sinα , 因为 C 2 是直线 , 所以 PQ 的最小值即为 P 到 C 2
? π? 2 sin ?α ? ? ? 2 . 3? ?

?

的距离 d( α ) 的最小值 ,d( α )=

3cosα ? sinα ? 4 2

?

π ?3 1? 当且仅当α =2k π+ 6 (k ∈Z ) 时 ,d( α ) 取得最小值 , 最小值为 2 , 此时 P 的直角坐标为 ? , ? . ?2 2?

5.(2016 · 江苏高考 T21)C. 【选修 4 — 4: 坐标系与参数方程】 ( 本小题满分 10 分 )
? 1 ?x ? 1 ? 2 t, ? 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数 ), 椭圆 C 的参数方程 ?y ? 3 t ? ? 2

为?

?x ? cosθ ?y ? 2sinθ

( θ 为参数 ), 设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点 , 求线段 AB 的长 .

【解题指南】将参数方程化为普通方程 , 联立求出点 A,B 的坐标 . 【解析】直线 l 方程化为普通方程为 3 x-y- 3 =0,
y2 椭圆 C 方程化为普通方程为 x 2+ 4 =1,

? 1 ? 3x ? y ? 3 ? 0, x ? ? , ?x ? 1, ? 7 ? ? 联立得 ? 2 y2 ?? 或? ? 1 ?y ? 0 ?x ? ?y ? ? 8 3 , ? 4 ? ? 7
2 ? ? 1? 8 3? 16 因此 AB= ? 1 ? ? ? ? 0 ? . ? ? ? ? 7? 7 ? 7 ? ? 2

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