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山东省临沂市某重点中学2014届高三12月月考理科数学

时间:2013-12-23


高三上学期 12 月份复习检测题
理科数学 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的) 1.对于任意实数 a, b, c, d ,下列五个命题中: ① 若 a ? b, c ? 0 ,则 ac ? bc ;② 若 a ? b ,则 ac ? bc ;③ 若 ac ? bc ,则 a ? b ;
2 2 2 2

7.三视图如右图的几何体的全面积是( A. 2 ? 2 C. 2 ? 3 B. 1? 2 D. 1? 3



8.正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, E , F 分别为棱 AB , CC1 的中点, 在平面 ADD1 A1 内且与平面 D1 EF 平行的直线( A.有无数条 B.有 2 条 ) C.有 1 条
2

D.不存在

1 1 ④若 a ? b, 则 ? ; a b

⑤若 a ? b ? 0, c ? d ,则 ac ? bd .

9. 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是( )

其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 1 3 2.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为( ) x y A. 7 ? 2 6 B. 2 3 C. 7 ? 2 3 D. 14 )条件

A.

3 5 5
2

B. 2

C.

11 5

D. 3

10.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0)与双曲线 且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( A. ) )

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的交点, a2 b2

3. m ? ?1 ”是“直线 mx ? (2m ? 1) y ? 2 ? 0 与直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的( “ A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要

D.既不充分也不必要

4.设 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是( A. m / /? , n / / ? 且? / / ? , 则m / / n C. m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ?
2 2

5 ?1 2

B. 2 ? 1

C. 3 ? 1

D.

2 2 ?1 2
)

B. m ? ? , n ? ? 且? ? ? ,则 m ? n D. m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,则 ? / / ?

1 2 11.若不等式 x +ax+1≥0 对于一切 x∈(0, ]恒成立,则 a 的最小值是( 2 A.0
x

B.-2
x

5 C.- 2

D.-3 )

5.已知圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 ,过点 A(3,5) 的直线被圆所截,则截得的 最短弦的长度为 ( ).

12.已知函数 f(x)=9 -m?3 +m+1 对 x ? ? 0, ?? ? 的图象恒在 x 轴上方,则 m 的取值范围是( A.2-2 2 <m<2+2 2 B.m<2

C. m<2+2 2

D.m≥2+2 2

A. 2 6

B. 3 6

C .4 6

D. 5 6


第Ⅱ卷(非选择题
2 x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为

共 90 分)

2 3 6.设正方体的棱长为 ,则它的外接球的表面积为( 3 A. ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.不等式 . .

8 3

B.2π

C.4π

D. ?

4 3

1

x2 y2 x2 y2 14.以椭圆 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与双曲线 ? ? 1 的渐近线相切的圆的 169 144 9 16
方程为 .
2 15.已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,M、N 是该抛物线上的两点, MF ? NF ? 3 ,则线段 MN 的

(2)解不等式

f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? 1| . 2

20.(本小题满分 12 分) 如图, 五面体中, 四边形 ABCD 是矩形, ? 面 ABEF, DA 且 DA=1,AB//EF, AB ?

中点到 x 轴的距离为__________.

?y ?1 ? 16.若实数 x,y 满足 ? y ? 2 x ? 1,如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?2 ,则实数 m=______. ?x ? y ? m ?

1 EF ? 2 2 , AF ? BE ? 2 ,P、 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 12 分) 已知不等式 log2(ax -3x+6)>2 的解集是{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值; c-x (2)解不等式 >0 (c 为常数) . ax+b
2

Q、M 分别为 AE、BD、EF 的中点. (1)求证:PQ//平面 BCE; (2)求证:AM ? 平面 ADF; (3)求二面角 A-DF-E 的余弦值.

21.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 y ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 相交于 A、B 两点.
2

(1)求证: OA ? OB ; (2)当 ?OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值. 22.(本小题满分 13 分)

18. (本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 P—ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC, D 是 PB 上一点, 且 CD⊥平面 PAB. (1)求证:AB⊥平面 PCB; (2)求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小;

x2 y2 2 6 3 , ) 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2,椭圆上一点 M ( 3 3 a b
满足 MF 1 ? MF2 ? 0 . (1)求椭圆的方程; (2)若直线 L:y= kx ? 的范围.

2 与椭圆恒有不同交点 A,B,且 OA ? OB ? 1 (O 为坐标原点) ,求实数 k

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于 y 轴对称,且 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 2 .
2

(1)求函数 y ? g ( x) 的解析式;

高三上学期 12 月份复习检测题

2

数学答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1-5: AAA BC 6-10: CAABB 11—12: DD

则 A(0, 2 ,0) ,B(0,0,0) ,C( 2 ,0,0) ,P( 2 ,0,2).

AP ? ( 2 ,? 2 ,2), BC ? ( 2 ,0,0).
则 AP ? BC ?

????????8 分

2 ? 2 ? 0 ? 0 ? 2.
AP ? BC | AP | ? | BC |

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13. (-1,1) 14. ( x ? 5) ? y ? 16
2 2

15.

5 4

cos ? AP, BC ??
16. 8

?

1 ? . 2 2? 2 2

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 解: (1) a ? 1, b ? 2. (2)原不等式可化为 (c ? x)( x ? 2) ? 0 ,即 ( x ? c)( x ? 2) ? 0 . ???????4 分

∴异面直线 AP 与 BC 所成的角为

?
3

.
????????12 分

19. 解:(1)设函数 y ? g ( x) 图象上任意一点 P( x, y ) , 由已知点 P( x, y ) 关于 y 轴对称点 P '(? x, y) 一定在函数 y ? f ( x) 图象上,???2 分 代入 y ? 2 x ? 4 x ? 2 ,得 g ( x) ? 2 x ? 4 x ? 2 .
2

当c ? ?2时, 原不等式的解集为? x x ? ?2? ; 当c ? ?2时, 原不等式的解集为? x ?2 ? x ? c? ;

2

当c ? ?2时, 原不等式的解集为? x c ? x ? ?2?.
18.解法一: (1)∵PC⊥平面 ABC,AB ? 平面 ABC,∴PC⊥AB.

???????4 分

???????12 分 ??????????2 分 (2) 由(1)知不等式

f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? 1| 可化为 2 x 2 ? 2 ?| 2 x ? 1| , 2
或?

∵CD⊥平面 PAB,AB ? 平面 PAB,∴OC⊥AB. ????????????3 分 又 PC ? CD=C,∴AB 平面 PCB. ??????????4 分 (2)过点 A 作 AF//BC,且 AF=BC,连接 PF,CF. 则∠PAF 为异面直线 PA 与 BC 所成的角. 由(1)可得 AB⊥BC,∴CF⊥AF. 由三垂线定理,得 PF⊥AF。 则 AF=CF= 2 , PF ? ????????5 分

即?

?2 x 2 ? 2 ? 2 x ? 1 ? 2x ?1 ? 0

?2 x 2 ? 2 ? 1 ? 2 x ? 2x ?1 ? 0

???8 分

PC 2 ? CF 2 ? 6 .

?1 ? 3 1 ? 3 ? ?1 ? 7 ?1 ? 7 ?x? ?x? ? ? ? 2 ? 2 2 或 2 解得 ? ? 1 1 ? ? x? x? ? ? ? 2 ? 2

???????10 分

在 Rt△PFA 中, tan ?PAF ?

PF ? AF

6 2

? 3,
????????12 分

1 1? 3 ?1 ? 7 1 ?x? 或 ? ?x? 2 2 2 2

∴异面直线 PA 与 BC 所成的角为

? . 3

解法二: (1)同解法一. (2)由(1)AB⊥平面 PCB,∵PC=AC=2, 又∵AB=BC,可求得 BC= 2. 以 B 为原点,建立如图所示的坐标系.

? ?1 ? 7 1? 3 ? ? ? ?x? ?原不等式的解集是 ? x ?. 2 2 ? ? ? ?

???????12 分

20. 解:

3

? S ?OAB ?

1 1 1 1 ? 1 ? y 2 ? y1 ? ? 4 ? 10 , ? k ? ? . 2 2 2 k 6

???????13 分

22.(1)设 F1(-c,0) 2(c,0) ,F

MF1 ? (?c ?

2 6 3 2 6 3 ,? ) MF 2 ? (c ? ,? ) 3 3 3 3 2 6 2 3 ) ? ( )2 ? 0 3 3
????????????????????2 分 又点 M 在椭圆上?

? MF1 ? MF2 ? 0 ? ?c 2 ? (

?c 2 ? 3 . ?a2 ? b2 ? 3 ①
由①代入②得

8 1 ? 2 ?1 ② 2 3a 3b

8 1 ? ? 1 ,整理为: a 4 ? 6a 2 ? 8 ? 0 , 2 2 3a 3(a ? 3)
??????????4 分

? a 2 ? 2或a 2 ? 4 ,? a 2 ? 3 , ? a 2 ? 4, b 2 ? 1 .
∴椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

??????????5 分

21. (1)证明:设 A(? y1 , y1 ), B(? y 2 , y 2 ) ,
2 2

??? ? ??? ? 2 ? N (?1,0) ,? NA ? (1 ? y12 , y1 ), NB ? (1 ? y2 , y2 ).
由 A,N,B 共线, y1 ? y1 y ? y 2 ? y 2 y , ? ( y 2 ? y1 ) ? y1 y 2 ( y1 ? y 2 ) ,
2 2 2 1

? x2 2 1 ? ? y ?1 , 消去y解得( ? k 2 ) x 2 ? 2 2k x ? 1 ? 0 . (2)由 ? 4 4 ?y ? kx? 2 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? (kx1 ?

?????7 分

又 y1 ? y 2 ,? y1 y 2 ? ?1 ,
2 ? OA ? OB ? y1 y 2 ? y12 y 2 ? y1 y 2 (1 ? y1 y 2 ) ? 0 ? OA ? OB . ???????6 分

2 )( kx2 ? 2 )

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2 ?

6 ? 4k 2 ?1. 1 ? 4k 2

?????10 分

(2)解: S ?OAB ?

?y 2 ? ?x 1 2 得 ky ? y ? k ? 0 . ? 1 ? y 2 ? y1 , 由 ? 2 y ? k ( x ? 1) ?

5 1 1 1 5 ? k 2 ? , 又由? ? k 2 ? ? 0得k 2 ? , ? ? k 2 ? , 8 4 4 4 8
?k ?( 10 1 1 10 ,? ) ? ( , ). 4 2 2 4
???????13 分

4


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