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安徽省合肥市第一六八中学、合肥六中2014-2015学年高一下学期期末联考数学试题


高 一 数 学 试 卷
满分:150 分,时间:120 分钟. 一、选择题:本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是 符合题目要求的. 1. 若数列{ an }的通项公式是 an =2× ?? 3? ,则该数列是(
n



A. 公比为-3 的等比数列 B. 公比

为 2 的等比数列 C. 公比为 3 的等比数列 D. 首项为 2 的等比数列 2.甲 、乙两位歌手在“中国最强音”选拔赛中,5 位评委评分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得 分分别为 x甲 、 x乙 ,则下列判断正确的是( ) A. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定
甲 6 7 8 4 0 7 8 9 乙 5 8 3 6 8

B. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定

3.执行如图所示的程序框图,若输出的 S=88, 则判断框内应填 入的条件是( C.k>5? D.k>4? )A.k>7? B.k>6?

4.已知向量 a, b 满足 a ? 3, b ? 2 3 ,且 a ? a ? b ,则 b 在 a 方向上的投影为( ) A.3 B. ?3 .
x

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

C. ?
3

3 3 2

D.

3 3 2

5. 已 知 函 数 f ? x ? ? 2 与 g ? x ? ? x 的 图 像 交 于 A? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ? 两 点 , 其 中 x1 ? x2 . 若

x2 ? ? a, a ?1? ,且 a 为整数,则 a ? (
A. 7 B. 8 C. 9

) D. 10

6.已知等比数列 ?an ? 公比为 q ,其前 n 项和为 Sn ,若 S3 、 S9 、 S6 错误!未找到引用源。成等差数列, 则 q3 等于( ) B.1 C.错误!未找到引用源。或 1

A.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 7.已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? m在[0, ] 上有两个零点 x1 , x2 ,则 tan(x1 ? x2 ) 的值为( ) 2
1

?

A. 3

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 3
( )

8.已知函数 f ( x) 的定义域为 (3 ? 2a, a ? 1) ,且 f ( x ? 1) 为偶函数,则实数 a 的值可以是

A.

2 3

B. 2

C. 4

D. 6

? x ? 1, ? 9.实数 x , y 满足 ? y ? a ( a ? 1), 若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4,则实数 a 的值为( ? x ? y ? 0, ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

)

10.对于正项数列 ?a n ?,定义 H n ? 阴”值为 H n ?

n 为 ?a n ? 的“光阴”值,现知某数列的“光 a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? nan

2 则数列 ?a n ?的通项公式为 ( ) n?3, 2n ? 1 2n ? 1 3n ? 1 n ?1 A. a n ? B. a n ? C. a n ? D. a n ? n n 2n 2n ? cos C ???? ???? cos B ??? ? AB ? ? AC ? 2m ? AO ,则 m 的值为( ) 11.已知 O 是锐角△ABC 的外接圆圆心,∠A=30°, sin C sin B

A.

3 2

B. 2

C.1

D.

1 2
)

2 2 12.若等差数列 {an } 满足 a1 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的最大值为 (

A.60

B.50

C. 45

D.40

二、填空题:本大题共 4 小题,每 小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置. 13.已知函数 y ?
n m x ,其中 m, n 是取自集合 {1, 2,3} 的两个不同值,则该函数为偶函数的概率为__

14.在一次考试中,5 名学生的数学和物理成绩如下表: (已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系) 学生的编号 i 数学成绩 x 物理成绩 y 1 80 70
^

2 75 66
^

3 70 68

4 65 64

5 60 62

现已知其线性回归方程为

y ? 0.36 x ? a ,则根据此线性回归方程估计数学
.(四舍五入到整数)

得 80 分的同学的物理成绩为

2

15.在 ?ABC 中,若 (CA? CB) ? AB ? 16. 定义数列 ?xn ? : x1

?

?

?

tan A 2 ? = AB ,则 tan B 3

2

.

2 ? 1, xn?1 ? 3x3 ? 2 xn ? xn ;数列 ?yn ? : yn n

?

1 ;数列 ?z n ?: 2 1 ? 2 x n ? 3x n
.

zn ?

2 ? 3x n ;若 ?y n ?的前 n 项的积为 P , ?z n ?的前 n 项的和为 Q ,那么 P ? Q ? 2 1 ? 2 x n ? 3x n

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)设集合 M ? x y ? lg 4 ? 2 x ? x 2 (1)求 M ? N (2)若 P ? (C R N ) ? R ,求实数 a 的取值范围

?

?

3 ? ? 1? , P ? ?x | x ? a? ?? , N ? ? ?x x ?1 ? ?

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示.

(1)求 f (x) 的解析式;

(2) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边 a、b、c,若 f(B)=

3 ,且 2

,试判断三角形的形状.

19. (本小题满分 12 分)一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1、2、3、4, 现从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次从中随机抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于或等于 7 的概率; (2)若第一次随机抽取 1 张卡片,放回后 再随机抽取 1 张卡片,求两次抽取的卡片中至少一次抽到数 ... 字 2 的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知
? (1) 若对 n ? N ,有

?an?,?bn? 均为等差数列,前 n 项和分别为

Sn , Tn .

a Sn 31n ? 101 ,求 n 的最大值. ? bn Tn n?3
3

(2)若平面内三个不共线向量 OA, OB, OC 满足 OC ? a3 OA ? a15 OB ,且 A,B,C 三点共线.是否 存在正整数 n,使 Sn 为定值?若存在,请求出此定值; 若不存在,请说明理由。

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

21. (本小题满分 12 分) 如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 的大小等于 点 C,过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P. (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的长; (2)设 ?COP ? ? ,求 ?POC 面积的最大值及此时 ? 的值.

? ,半径为 2,在半径 OA 上有一动 3

22. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 {an } 、 {bn } 都 是 各 项 均 为 正 数 且 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , 满 足

anbn?1 ? an?1bn ? 2nan?1 (n ? N ? ) .
(1)求证:数列 {an } 有无穷多个,而数列 {bn } 惟一确定; (2)设 an?1 ?

S 2an 2 ? an ?6. (n ? N ? ) , sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ......? b2n?1 ? b2n ,求证: 2 ? n n2 an ? 1

4

高一数学答案 一.选择题(共12小题,每小 题5分,共60分)
题 号 答 案 A B C B C A A D B A D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分) 13、 15、

1 3

. .

14、 16、

70 1

. .

5

三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17、(本小题满分 10 分) (1) x ?1 ? x ? 5 ? 1 (2)a>2 18、(本小题满分 12 分) 5π π (1)∵T=2×( - )=π , 6 3 2π ∴ω = =2. π π 又点( ,0)是 f(x)=sin(2x+φ )的一个对称中心, 3 π 2π π ∴2× +φ =kπ ,k∈Z,φ =kπ - 令 k=1,得 φ = . 3 3 3

?

?

f(x)=sin(2x+ )

π 3

(2) ∵0<B<π ∴ ∴ ∴ ∴ ,
5



,则 =





,所以

,故△ABC 为直角三角形

6

19、(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知本题是一个古典概型, 设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上数字之和大于或等于 7”, ∵任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是(1、2、3) , (1、2、4) , (1、3、4) , (2、3、4) , 其中数字之和大于 7 或等于 7 的是(1、2、4) , (1、3、4) , (2、3、4) , ∴ P ( A) ?

3 4

(Ⅱ)设 B 表示事件“至少一次抽到 2”, ∵每次抽 1 张,连续抽取两张全部可能的基本结果有: (1、1) (1、2) (1、3) (1、4) (2、1) (2、2) (2、 3) (2、4) (3、1) (3、2) (3、3) (3、4) (4、1) (4、2) (4、3) (4、4) ,共 16 个基本结果. 事件 B 包含的基本结果有(1、2) (2、1) (2、2) (2、3) (2、4) (3、2) (4、2) ,共 7 个基本结果. ∴所求事件的概率为 20、(本小题满分 12 分) .

a1 ? a 2 n ?1 a S 31n ? 35 4 2 ? 31 ? (1)由于 n ? . ? 2 n ?1 ? b1 ? b2 n ?1 T2 n ?1 n ?1 bn n ?1 2
依题意, n ? N
?

n=1 是取得最大值 33

(2)∵A,B,C 三点共线, ∴假设存在正整数 n,使 AC ? ? AB, OC ? OA ? ? (OB ? OA) ,即 OC ? (1 ? ? )OA ? ?OB . 由平面向量基本定理得: ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?1 ? ? ? a3 消去 ? 得 a3 ? a15 ? 1 . ?? ? a15
17(a1 ? a17 ) 17 ? . 2 2

又 a3 ? a15 ? a1 ? a17 , ∴ S17 ? 即存在 n=17 时, S17 为定值

17 . 2

21、(本小题满分 12 分) (1) PC ?

13 ? 1 2

(2)∵ CP / / OB ,∴ ?CPO ? ?POB ?

?
3

?? ,

7

2 CP , ? 2? sin ? sin 3 4 4 ? OC OP sin ? ,又 sin( ? ? ) . ∴ CP ? , OC ? ? ? 2? 3 3 3 sin( ? ? ) sin 3 3
在 ?POC 中,由正弦定理得 记 ?POC 的面积为 S (? ) ,则

OP CP ? ,即 sin ?PCO sin ?

S (? ) ?

4 ? 1 2? 1 4 4 ? 3 CP ? OC sin ? sin ? ? sin( ? ? ) ? ? sin ? ? sin( ? ? ) ? 2 3 3 2 3 2 3 3 3

?

2 4 3 1 3 3 sin 2 ? ? sin 2? ? cos 2? ? sin ? ( cos ? ? sin ? ) ? 2sin ? cos ? ? 3 3 2 2 3 3
2 3 ? 3 sin(2? ? ) ? 3 6 3

?

∴? ?

?
6

时, S (? ) 取得最大值为

3 . 3

22、(本小题满分 12 分) (1)证明:设{an}、{bn}公差分别为 d1、d2, (d1d2 不等于 0) 则 an=a1+(n ﹣1)d,bn=b1+(n﹣1)d2 , * 代入 anbn+1+an+1bn=2nan+1(n∈N ) . 可得[a1+(n﹣1)d1][b1+nd2]+(a1+nd1)[b1+(n﹣1)d2]=2n(a1+nd1) ,是个恒等式

可得

,解得



可得 an=na1,bn=n. ∴a1 可取无穷多个正实数,可得数列{an}有无穷多个,而数列{bn}惟一确定; (2)证明:∵ ,

∴an+1﹣an=

﹣an=



∴an<an+1. ∴anbn+1+an+1bn=2nan+1<an+1bn+1+an+1bn,可得 2n<bn+1+bn. 因此 =(b1+b2)+(b3+b4)+?+(b2n﹣1+b2n)>2[1+3+?+(2n﹣1)]=2n .
2

又 anbn+1=(2n﹣bn)?an+1>0,an+1>0, ∴2n﹣bn>0.
8



=2n(1+2n)=4n +2n,

2









∴2 ?

Sn ?6 n2

9


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