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3.3.2函数的极值与导数 课件(人教A选修1-1)


忍一时风平浪静,退一步海阔天空

3.3.2 函数的极值与导数

第三章

导数及其应用

一、知识回顾: 函数的导数与单调性:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b) 内有导数,如果在 这个区间内f '(x)>0 ,那么函数y=f(x) 在为这个 区间内的增函数;如果在这个区间

内f '(x)<0那么函数y=f(x) 在 为这个区间内的减函数.

y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数.
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第三章

导数及其应用

求函数单调区间的步骤

①求f '( x)
②令f '( x ) ? 0,解不等式 ? f ( x )的增区间 令f '( x ) ? 0,解不等式 ? f ( x )的减区间

③下结论
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第三章

导数及其应用

问题:如图表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t

变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象
h' ? a? ? 0

h

h?(t ) ? 0
o

单调递增

单调递减

h?(t ) ? 0

a

t

归纳: 函数 h(t ) 在点a 处h?(a ) ? 0,在t ? a 的附近,

h?(t ) ? 0 ; 当 t ? a时,函数h(t)单调递增,
当t ? a时,函数h(t)单调递减, h?(t ) ? 0 。
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第三章

导数及其应用

y
f ? ( x) ? 0

f ?(b) ? 0

f ? ( x) ? 0

f ? ( x) ? 0

a o
f ?(a) ? 0
问题:

b

y ? f ? x?

x

(图一)

(1)函数 y ? f ? x ?在点 a , b 的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系? (2)函数 y ? f ? x ? 在点 a , b 的导数值是多少? (3)在点 a , b 附近,y ? f ? x ? 的导数的符号有什么规律?
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第三章

导数及其应用

y
f ? ( x) ? 0
极小值 f(a)

f ?(b) ? 0
极大值 f(b)

f ? ( x) ? 0

f ? ( x) ? 0

a o
f ?(a) ? 0

b

y ? f ? x?

x

(图一)

点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称极值点,极大值和极小值统称为极值. 思考:极大值一定大于极小值吗?
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第三章

导数及其应用

y
y ? f ? x?

cd

e
o f
(图二)

g

h

x
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第三章

导数及其应用

3.3.2 函数的极值与导数

第三章

导数及其应用

新知初探?思维启动
1.极小值点与极小值 如图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在 点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且 f′(x)<0 右侧 _________, f′(x)>0 在点 x = a 附近的左侧 _______,

则把点 a 叫做函数 y = f(x) 的极小值点 ,f(a) 叫做
函数y=f(x)的极小值.

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第三章

导数及其应用

2.极大值点与极大值 如图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在

点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且
f′(x)>0 右侧 ________, f′(x)<0 在点 x = b 附近的左侧 ________, 则把点 b 叫做函数 y = f(x) 的极大值点 ,f(b) 叫做 函数y=f(x)的极大值. 极大值点、 __________ 极小值点 统称为极值点 ,______ 极大值 _________ 极小值 统称为极值. 和________

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第三章

导数及其应用

想一想 1.函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内 可导函数的极大值和极小值是惟一的吗? 提示:不一定;不一定惟一.

2.导数为0的点都是极值点吗?
提示:不一定.如f(x)=x3,由f′(x)=3x2知f′(0)= 0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.

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第三章

导数及其应用

做一做 已知导函数f′(x)的下列信息:

当-1<x<3时,f′(x)<0;
当x>3,或x<-1时,f′(x)>0; 当x=-1,或x=3时,f′(x)=0. 则 f(x) 的极 大值点 为 __________, 极小值 点 为 __________.

答案:x=-1 x=3

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第三章

导数及其应用

典题例证?技法归纳
题型探究
题型一 求已知函数的极值 例1 求下列函数的极值: (1)f(x)= x3-3x2-9x+ 5; ln x (2)f(x)= . x 【解】 (1)函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 的定 义域为 R,且 f′(x)= 3x2- 6x- 9.解方程 3x2 - 6x-9=0,得 x1=-1,x2=3. 当 x 变化时 ,f′ (x) 与 f(x)的变化情况如下 表:
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导数及其应用

(-∞,- - x (-1,3) 1) 1 f′(x) 0 + - 单调递增 单调递 f(x) 10 ↗ 减↘

3
0 - 22

(3,+∞)
+ 单调递 增↗

因此 ,x=- 1 是函数的极大值点 ,极大值为 f(-1)= 10;x= 3 是函数的极小值点,极小值 为 f(3)=-22.

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第三章

导数及其应用

ln x (2) 函数 f(x) = 的 定义 域为 (0, +∞ ),且 x 1-ln x f′(x)= , 2 x 令 f′(x)=0,得 x= e. 当 x 变化时 ,f′ (x) 与 f(x)的变化情况如下 表: x (e,+∞ ) (0,e) e
f′(x) f(x ) + 单调递增 ↗ 0 1 e - 单调递减 ↘

因此,x=e 是函数的极大值点,极大值为 f(e) 1 = ,没有极小值点. e
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第三章

导数及其应用

【名师点评】 (1)求导数f′(x);

求函数极值的方法:

(2)求方程f′(x)=0的全部实根; (3) 列表 ,检查 f′(x) 在方程 f′(x) =0的根左、右的 值的符号; (4)判断单调性,确定极值.

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第三章

导数及其应用

变式训练 8 1.求函数 y=2x+ 的极值. x 解:函数的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}. 8 y′=2- 2,令 y′=0,得 x=± 2. x 当 x 变化时,y′、y 的变化情况如下表:
(-∞, x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2 -2) y′ 0 + - - 0 y -8 ↗ ↘ ↘ 8 (2,+ ∞) + ↗

因此当 x=- 2 时 ,y 取得极大值-8; 当 x= 2 时 ,y 取得极小值 8.
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第三章

导数及其应用

题型二 已知函数极值求参数的值 例2 已知 f(x)= x3+ax2+ bx+ c 在 x=1 与 2 x=- 时都取得极值 . 3 (1)求 a,b 的值 ; 3 (2)若 f(- 1)= ,求 f(x)的单调区间和极值. 2 【解】 (1)f′(x)=3x2+ 2ax+ b,令 f′(x)= 0. 2 由题设,知 x1=1 与 x2=- 为 f′(x)= 0 的解 . 3 2 2b 2 1 ∴- a= 1- , =1×(- ).∴ a=- ,b=-2. 3 33 3 2

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第三章

导数及其应用

1 2 (2)由 (1)知 f(x)=x - x - 2x+ c, 2
3

1 3 由 f(- 1)=- 1- + 2+ c= ,得 c= 1. 2 2 1 2 ∴ f(x)= x - x - 2x+ 1.∴ f ′ (x) = 3x2- x 2
3

- 2. 当 x 变化时 ,f′(x)、 f(x)的变化情况如下表:

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第三章

导数及其应用

x (-∞,- 2 ) - 2 3 3 f′(x) 0 + f(x) ↗ 极大 值

2 (- ,1) 3 -


1 0 极 小 值

(1,+ ∞) + ↗

2 ∴ f(x) 的递增区间为 ( -∞,- ) 和 (1,+∞ ), 3 2 2 递减区间为 (- ,1).当 x=- 时 ,f(x)有极大 3 3 2 49 值 ,f(- )= ;当 x= 1 时 ,f(x)有极小值 ,f(1) 3 27 1 =- . 2
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第三章

导数及其应用

题型三

与函数极值有关的综合问题

(本题满分12分)已知a为实数,函数f(x)=-x3+

3x+a.
(1)求函数f(x)的极值,并画出其图象(草图); (2) 当 a 为何值时 , 方程 f(x) = 0 恰好有两个实数 根? 【思路点拨】 函数 f(x) 的导数 f′(x)—— 求极

值、画图象需运用导数求解.

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第三章

导数及其应用

【解】 3x2+3,

(1) 由 f(x) =- x3 + 3x + a, 得 f′(x) =-

令f′(x)=0,得x=-1或x=1.(1分)
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0; 当x∈(-1,1)时,f′(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.(2分) 所以函数 f(x) 的极小值为 f( - 1) = a - 2; 极大值

为f(1)=a+2.

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第三章

导数及其应用

由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象, 如图所示.这里,极大值a+2大于极小值a-2.(6 分)

(2) 结合图象 , 当极大值 a + 2 = 0 时 , 有极小值小
于 0, 此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点 , 即方程 f(x) = 0 恰有两个实数根 , 所以 a =- 2 满足条件 ;(9分)

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第三章

导数及其应用

名师微博 应用分类讨论的数学思想, 再结合图象是本 题的难点. 当极小值a- 2= 0时 ,有极大值大于 0,此时曲线
f(x)与x轴恰有两个交点, 即方程 f(x) = 0 恰好有两个实数根 , 所以 a = 2 满 足条件.

综上,当a=±2时,方程恰有两个实数根.(12分)

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第三章

导数及其应用

互动探究 2.本例条件不变,求当a在什么范围内取值时,曲

线y=f(x)与x轴仅有一个交点?
解:函数f(x)的大致图象如图所示: 当函数f(x)的极大值a+2<0或极 小值a-2>0时,曲线y=f(x)与x轴 仅有一个交点,所以所求实数a的

范围是a<-2或a>2.

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第三章

导数及其应用

备选例题
2x 1.求函数 f(x)= 2 -2 的极值. x +1 解:函数的定义域为 R, 2(x2+ 1)-4x2 f′ (x)= =- 2 2 ( x +1 ) 2(x+1)(x-1) , 2 2 ( x +1) 令 f′(x)=0,得 x1=- 1,x2=1. 当 x 变化时 ,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

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第三章

导数及其应用

0 极小 f(x) ↘ 值-3 由上表可以看出:

(-∞,- x 1) f′(x) -

-1

(-1,1) + ↗

1 0 极大 值-1

(1,+ ∞) - ↘

当 x =- 1 时 , 函数有极小值 , 并且极小值为 f( -
1)=-3; 当 x = 1 时 , 函数有极大值 , 并且极大值为 f(1) = -1.

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第三章

导数及其应用

2.当a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实 根?两个不等实根?三个不等实根?有没有可能

无实根?
解:令f(x)=x3-3x2, 则f(x)的定义域为R, 由f′(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2, 所以当x<0或x>2时,f′(x)>0;

当0<x<2时,f′(x)<0.

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第三章

导数及其应用

函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小 值-4,如图所示,

故当a>0或a<-4时,原方程有一个根; 当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根; 当-4<a<0时,原方程有三个不等实根;

由图象可知,原方程不可能无实根.

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课堂小结:

第三章

导数及其应用

求函数f(x)的极值的步骤如下:
(1).确定函数的定义域; (2).求导数 (3).求方程

f ?( x ).
f ?( x ) ? 0
的根.

? f ( x ) (4)检查 在方程根左右的值的符号,
如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.

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第三章

导数及其应用

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