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高中数学必修1难题好题


高中数学必修 1 难题好题
1. (2013?重庆)对正整数 n,记 In={1,2,3…,n},Pn={ |m∈In,k∈In}. (1)求集合 P7 中元素的个数; (2)若 Pn 的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方,则称 A 为“稀疏集”.求 n 的最大值,使 Pn 能 分成两个不相交的稀疏集的并. 2. (2011?朝阳区二模)对于整数 a,b,存在唯

一一对整数 q 和 r,使得 a=bq+r,0≤r<|b|.特别地,当 r=0 时,称 b 能整除 a,记作 b|a,已知 A={1,2,3,…,23}. (Ⅰ )存在 q∈A,使得 2011=91q+r(0≤r<91) ,试求 q,r 的值; (Ⅱ )若 B?A,card(B)=12(card(B)指集合 B 中的元素的个数) ,且存在 a,b∈B,b<a,b|a,则称 B 为“谐和集”.请写出一个含有元素 7 的“谐和集”B0 和一个含有元素 8 的非“谐和集”C,并求最大的 m∈A, 使含 m 的集合 A 有 12 个元素的任意子集为“谐和集”,并说明理由. 3. (2010?北京)已知集合 Sn={X|X=(x1,x2,…,xn) ,x1∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2)对于 A=(a1, a2,…an, ) ,B=(b1,b2,…bn, )∈Sn,定义 A 与 B 的差为 A﹣B=(|a1﹣b1|,|a2﹣b2|,…|an﹣bn|) ; A 与 B 之间的距离为 (Ⅰ )当 n=5 时,设 A=(0,1,0,0,1) ,B=(1,1,1,0,0) ,求 d(A,B) ; (Ⅱ )证明:?A,B,C∈Sn,有 A﹣B∈Sn,且 d(A﹣C,B﹣C)=d(A,B) ; (Ⅲ )证明:?A,B,C∈Sn,d(A,B) ,d(A,C) ,d(B,C)三个数中至少有一个是偶数. 4. (2008?南京模拟)已知集合 A={a1,a2,a3,…,an},其中 ai∈R(1≤i≤n,n>2) ,k(A)表示 ai+aj(1≤i <j≤n)中所有不同值的个数. (1)已知集合 P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16},分别求 k(P)和 k(Q) ; (2)若集合 A={2,4,8,…,2 },证明: (3)求 k(A)的最小值. 5. (2007?北京)已知集合 A={a1,a2,…,ak(k≥2)},其中 ai∈Z(i=1,2,…,k) ,由 A 中的元素构成 两个相应的集合:S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a﹣b∈A}.其中(a,b) 是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n.若对于任意的 a∈A,总有﹣a?A,则称集合 A 具有 性质 P. (Ⅰ )检验集合{0,1,2,3}与{﹣1,2,3}是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合,写出相应的集合 S 和 T; (Ⅱ )对任何具有性质 P 的集合 A,证明: ;
n



(Ⅲ )判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论. 6. (2003?上海)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对任意 x∈R,有 f (x+T)=T?f(x)成立. (1)函数 f(x)=x 是否属于集合 M?说明理由; x x (2)设函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象与 y=x 的图象有公共点,证明:f(x)=a ∈M; (3)若函数 f(x)=sinkx∈M,求实数 k 的取值范围. 7.设 a,b 是两个实数, A={(x,y)|x=n,y=na+b,n 是整数}, 2 B={(x,y)|x=m,y=3m +15,m 是整数}, 2 2 C={(x,y)|x +y ≤144}, 是平面 XOY 内的点集合,讨论是否存在 a 和 b 使得 (1)A∩ B≠φ(φ 表示空集) , (2) (a,b)∈C 同时成立.

8.设集合

,B={x|x ﹣3mx+2m ﹣m﹣1<0}.

2

2

(1)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集的个数. (2)若 B=?,求 m 的取值范围. (3)若 A?B,求 m 的取值范围. 9.已知集合 P= ,y=log2(ax ﹣2x+2)的定义域为 Q.
2

(1)若 P∩ Q≠?,求实数 a 的取值范围; (2)若方程
2

,求实数 a 的取值的取值范围.

10. (2007?天津)设函数 f(x)=﹣x(x﹣a) (x∈R) ,其中 a∈R. (Ⅰ )当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ )当 a≠0 时,求函数 f(x)的极大值和极小值; 2 2 (Ⅲ )当 a>3 时,证明存在 k∈[﹣1,0],使得不等式 f(k﹣cosx)≥f(k ﹣cos x)对任意的 x∈R 恒成立. 11. (2006?上海)已知函数 y=x+ 有如下性质:如果常数 a>0,那么该函数在(0, [ ,+∞)上是增函数. (x>0)的值域为[6,+∞) ,求 b 的值; (常数 c>0)在定义域内的单调性,并说明理由;
2

]上是减函数,在

(Ⅰ )如果函数 y=x+ (Ⅱ )研究函数 y=x +
2

(Ⅲ )对函数 y=x+ 和 y=x +

(常数 a>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后
2

的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) ,并求函数 F(x)=(x 在区间[ ,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论) . 12. (2006?上海)已知函数 在 (1)如果函数 (2)设常数 c∈[1,4],求函数 (3)当 n 是正整数时,研究函数 上是增函数.

) +(

n

) (n 是正整数)

n

有如下性质:如果常数 a>0,那么该函数在

上是减函数,

在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求 b 的值. 的最大值和最小值; 的单调性,并说明理由.

13. (2005?上海)对定义域是 Df.Dg 的函数 y=f(x) .y=g(x) ,

规定:函数 h(x)=



(1)若函数 f(x)=

,g(x)=x ,写出函数 h(x)的解析式;

2

(2)求问题(1)中函数 h(x)的值域; (3)若 g(x)=f(x+α) ,其中 α 是常数,且 α∈[0,π],请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x) ,及一个 α 的值,使得 h(x)=cos4x,并予以证明. 14. (2005?浙江)函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x (Ⅰ )求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ )解不等式 g(x)≥f(x)﹣|x﹣1|.
2

(Ⅲ )若 h(x)=g(x)﹣λf(x)+1 在[﹣1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 15. (2005?湖南)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax +bx,a≠0. (Ⅰ )若 b=2,且 h(x)=f(x)﹣g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ )设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1,C2 于点 M、N,证明 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 16. (2005?广东)设函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上满足 f(2﹣x)=f(2+x) ,f(7﹣x)=f(7+x) ,且在闭 区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0. (Ⅰ )试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (Ⅱ )试求方程 f(x)=0 在闭区间[﹣2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论. 17. (2004?上海)已知函数 f(x)=|x﹣a|,g(x)=x +2ax+1(a 为正常数) ,且函数 f(x)与 g(x)的图 象在 y 轴上的截距相等. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)+g(x)的单调递增区间; (3)若 n 为正整数,证明: .
2 2

18. (2002?北京)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a,b∈R 都满足:f(ab)=af (b)+bf(a) . (1)求 f(0)及 f(1)的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若 f(2)=2,un= ,求证数列{un}是等差数列,并求{un}的通项公式.

19. (2001?广东)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=1 对称 对任意 x1,x2∈[0, ],都 有 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2) ,且 f(1)=a>0. (Ⅰ )求 f ;

(Ⅱ )证明 f(x)是周期函数; (Ⅲ )记 an=f(2n+ ) ,求 .

20. (2013?重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) .设该蓄水池的底面半径为 r 米,高 为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米,底面的 建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000π 元(π 为圆周率) . (Ⅰ )将 V 表示成 r 的函数 V(r) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ )讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 21. (2011?湖北)设函数 f(x)=x +2ax +bx+a,g(x)=x ﹣3x+2,其中 x∈R,a、b 为常数,已知曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. (Ⅰ ) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (Ⅱ )若方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2,其中 x1<x2,且对任意的 x∈[x1,x2], f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立,求实数 m 的取值范围. 22. (2009?韶关二模)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产 业.根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元.写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
3 2 2

23. (2009?山东)两城市 A 和 B 相距 20km,现计划在两城市外以 AB 为直径的半圆弧

上选择一点 C 建

造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y, 统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k,当垃圾处理厂建在 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出 的中点时,对城

该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由.

24. (2008?湖北)水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数 据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为

(Ⅰ )该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i﹣1<t<i 表示第 i 月份(i=1,2,…,12) ,同一年 内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ )求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7 计算) . 2 2 25. (2007?浙江)已知 f(x)=|x ﹣1|+x +kx. (Ⅰ )若 k=2,求方程 f(x)=0 的解; (Ⅱ )若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个解 x1,x2,求 k 的取值范围,并证明
2



26. (2007?北京)已知函数 y=kx 与 y=x +2(x≥0)的图象相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,l1,l2 分别是 2 y=x +2(x≥0)的图象在 A,B 两点的切线,M,N 分别是 l1,l2 与 x 轴的交点. (I)求 k 的取值范围; (II)设 t 为点 M 的横坐标,当 x1<x2 时,写出 t 以 x1 为自变量的函数式,并求其定义域和值域; (III)试比较|OM|与|ON|的大小,并说明理由(O 是坐标原点) . 27. (2007?江苏)已知 a,b,c,d 是不全为零的实数,函数 f(x)=bx +cx+d,g(x)=ax +bx +cx+d.方 程 f(x)=0 有实数根,且 f(x)=0 的实数根都是 g(f(x) )=0 的根;反之,g(f(x) )=0 的实数根都是 f(x)=0 的根. (1)求 d 的值; (2)若 a=0,求 c 的取值范围; (3)若 a=1,f(1)=0,求 c 的取值范围. 28. (2006?重庆)已知定义域为 R 的函数 是奇函数.
2 3 2

(Ⅰ )求 a,b 的值; 2 2 (Ⅱ )若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 2 29. (2006?浙江)设 f(x)=3ax +2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证: (Ⅰ )方程 f(x)=0 有实根. (Ⅱ )﹣2< <﹣1;设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则. .

30. (2004?北京)某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商 订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实 际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1000 个,利润又是多少元? (工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本)

参考答案与试题解析
1. (2013?重庆)对正整数 n,记 In={1,2,3…,n},Pn={ |m∈In,k∈In}.

(1)求集合 P7 中元素的个数; (2)若 Pn 的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方,则称 A 为“稀疏集”.求 n 的最大值,使 Pn 能分成两个 不相交的稀疏集的并. 考点: 集合中元素个数的最值;子集与交集、并集运算的转换. 专题: 压轴题;新定义;函数的性质及应用. 分析: (1)对于集合 P7 ,有 n=7.当 k=4 时,根据 Pn 中有 3 个数与 In={1,2,3…,n}中的数重复,由此求得集 合 P7 中元素的个数. (2)先用反证法证明证当 n≥15 时,Pn 不能分成两个不相交的稀疏集的并集,再证 P14 满足要求,从而求 得 n 的最大值. 解答: 解: (1)对于集合 P7 ,有 n=7.当 k=4 时,Pn={ |m∈In,k∈In}中有 3 个数(1,2,3)与
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In={1,2,3…,n}中的数重复,由此求得 集合 P7 中元素的个数为 7×7﹣3=46. (2)先证当 n≥15 时,Pn 不能分成两个不相交的稀疏集的并集.否则,设 A 和 B 为两个不相交的稀疏集, 使 A∪ B=Pn?In . 2 2 不妨设 1∈A,则由于 1+3=2 ,∴ 3?A,即 3∈B.同理可得,6∈A,10∈B.又推出 15∈A,但 1+15=4 , 这与 A 为稀疏集相矛盾. 再证 P14 满足要求.当 k=1 时,P14={ |m∈I14,k∈I14}=I14,可以分成 2 个稀疏集的并集.

事实上,只要取 A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},则 A1 和 B1 都是稀疏集, 且 A1∪ B1=I14. 当 k=4 时,集合{ 疏集的并: A2={ , , , 当 k=9 时,集合{ },B2={ , , }. , }, |m∈I14}中,除整数外,剩下的数组成集合{ , , ,…, },可以分为下列 3 个稀

|m∈I14}中,除整数外,剩下的数组成集合{ , , , ,…,

可以分为下列 3 个稀疏集的并: A3={ , , , 最后,集合 C═ { , },B3={ , , , , }.

|m∈I14,k∈I14,且 k≠1,4,9 }中的数的分母都是无理数,

它与 Pn 中的任何其他数之和都不是整数, 因此,令 A=A1∪ A2∪ A3∪ C,B=B1∪ B2∪ B3,则 A 和 B 是不相交的稀疏集,且 A∪ B=P14. 综上可得,n 的最大值为 14. 点评: 本题主要考查新定义,集合间的包含关系,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 2. (2011?朝阳区二模)对于整数 a,b,存在唯一一对整数 q 和 r,使得 a=bq+r,0≤r<|b|.特别地,当 r=0 时,称 b 能整除 a,记作 b|a,已知 A={1,2,3,…,23}. (Ⅰ )存在 q∈A,使得 2011=91q+r(0≤r<91) ,试求 q,r 的值;

(Ⅱ )若 B?A,card(B)=12(card(B)指集合 B 中的元素的个数) ,且存在 a,b∈B,b<a,b|a,则称 B 为“谐和 集”.请写出一个含有元素 7 的“谐和集”B0 和一个含有元素 8 的非“谐和集”C,并求最大的 m∈A,使含 m 的集合 A 有 12 个元素的任意子集为“谐和集”,并说明理由. 考点: 子集与真子集. 专题: 压轴题;新定义. 分析: (Ⅰ )将 2011 除以 91,便可求相应的商与余数; (Ⅱ )先写出一个含有元素 7 的“谐和集”B0 和一个含有元素 8 的非“谐和集”C,再证明:含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集为“和谐集”. 解答: 解: (Ⅰ )因为 2011=91q+r,所以 2011=91×22+9. (2 分) 又因为 q∈A,所以 q=22,r=9. (4 分) (Ⅱ )含有元素 7 的一个“和谐集”
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B0={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. (5 分) 含有元素 8 的一个非“和谐集” C={8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}. (7 分) 当 m=8 时,记 M={7+i|i=1,2,…,16}, N={2(7+i)|i=1,2,3,4}, 记 P=CMN,则 card(P)=12. 显然对任意 1≤i<j≤16,不存在 n≥3,使得 7+j=n(7+i)成立. 故 P 是非“和谐集”,此时 P={8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}. 同理,当 m=9,10,11,12 时,存在含 m 的集合 A 的有 12 个元素的子集为非“和谐集”. 因此 m≤7. (10 分) 下面证明:含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集为“和谐集”. 设 B={a1,a2,…,a11,7}, 若 1,14,21 中之一为集合 B 的元素,显然为“和谐集”. 现考虑 1,14,21 都不属于集合 B,构造集合 B1={2,4,8,16}, B2={3,6,12},B3={5,10,20},B4={9,18},B5={11,22}, B′ ={13,15,17,19,23}. (12 分) 以上 B1,B2,B3,B4,B5 每个集合中的元素都是倍数关系. 考虑 B'?B 的情况,也即 B′ 中 5 个元素全都是 B 的元素, B 中剩下 6 个元素必须从 B1,B2,B3,B4,B5 这 5 个集合中选取 6 个元素, 那么至少有一个集合有两个元素被选,即集合 B 中至少有两个元素存在倍数关系. 综上,含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集 B 为“和谐集”,即 m 的最大值为 7. 点评: 本题是新定义题,考查了子集与真子集,解答的关键是读懂题意,巧妙运用,有一定的难度. 3. (2010?北京)已知集合 Sn={X|X=(x1,x2,…,xn) ,x1∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2)对于 A=(a1,a2,…an, ) , B=(b1,b2,…bn, )∈Sn,定义 A 与 B 的差为 A﹣B=(|a1﹣b1|,|a2﹣b2|,…|an﹣bn|) ; A 与 B 之间的距离为 (Ⅰ )当 n=5 时,设 A=(0,1,0,0,1) ,B=(1,1,1,0,0) ,求 d(A,B) ; (Ⅱ )证明:?A,B,C∈Sn,有 A﹣B∈Sn,且 d(A﹣C,B﹣C)=d(A,B) ; (Ⅲ )证明:?A,B,C∈Sn,d(A,B) ,d(A,C) ,d(B,C)三个数中至少有一个是偶数. 考点: 交、并、补集的混合运算;子集与交集、并集运算的转换. 专题: 证明题;综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ ) 由题意中的定义和集合 A、 B 求出 A﹣B, 再由 A 与 B 之间的距离公式
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求出 d(A,B) ; (Ⅱ )根据题意设出集合 A、B、C,则 ai,bi,ci∈{0,1}(i=1,2,n) ,故得 A﹣B∈Sn,再分 ci=0 和 ci=1

两种情况求出 d(A﹣C,B﹣C)和 d(A,B) ; (Ⅲ )根据题意设出集合 A、B、C,再根据(Ⅱ )的结论,表示出 d(A,B) ,d(A,C) ,d(B,C) ,再根 据集合的元素为“0,1”,确定所求三个数中至少有一个是偶数. 解答: 解: (Ⅰ )由题意得,A﹣B=(|0﹣1|,|1﹣1|,|0﹣1|,|0﹣0|,|1﹣0|)=(1,0,1,0,1) , d(A,B)=|0﹣1|+|1﹣1|+|0﹣1|+|0﹣0|+|1﹣0|=3 (Ⅱ )证明:设 A=(a1,a2,an) ,B=(b1,b2,bn) ,C=(c1,c2,cn)∈Sn 因为 a1,b1∈{0,1},所以|a1﹣b1|∈{0,1}(i=1,2,n) 从而 A﹣B=(|a1﹣b1|,|a2﹣b2|,|an﹣bn|)∈Sn 由题意知 ai,bi,ci∈{0,1}(i=1,2,n) 当 ci=0 时,||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|ai﹣bi| 当 ci=1 时,||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|(1﹣ai)﹣(1﹣bi)|=|ai﹣bi| 所以 (Ⅲ )证明:设 A=(a1,a2,an) ,B=(b1,b2,bn) ,C=(c1,c2,cn)∈Sn, d(A,B)=k,d(A,C)=l,d(B,C)=h 记 0=(0,0,0)∈Sn,

由(Ⅱ )可知

所以|bi﹣ai|(i=1,2,n)中 1 的个数为 k,|ci﹣ai|(i=1,2,n)中 1 的个数为 l 设 t 是使|bi﹣ai|=|ci﹣ai|=1 成立的 i 的个数.则 h=l+k﹣2t 由此可知,k,l,h 三个数不可能都是奇数 即 d(A,B) ,d(A,C) ,d(B,C)三个数中至少有一个是偶数. 点评: 本题考查了利用新定义和集合的运算性质综合应用的能力,属于高难度题,需要认真审题,抓住新定义的 本质. 4. (2008?南京模拟)已知集合 A={a1,a2,a3,…,an},其中 ai∈R(1≤i≤n,n>2) ,k(A)表示 ai+aj(1≤i<j≤n) 中所有不同值的个数. (1)已知集合 P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16},分别求 k(P)和 k(Q) ; (2)若集合 A={2,4,8,…,2 },证明: (3)求 k(A)的最小值. 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: (1)由题意知 k(P)=5,k(Q)=6
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n



(2)ai+aj(1≤i<j≤n)共有

个.所以

.然后利用题设条件证明所有

ai+aj(1≤i<j≤n)各不相同. (3)设 a1<a2<<an,所以 a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<…<an﹣1+an.由此能够推出 k(A)的最小值 2n﹣3. 解答: 解: (1)由题意知 K(P)中的值有 6,8,10,12 和 14 五个值,∴ k(P)=5, K(Q)中的值有 6,10,18,12,20,24,∴ k(Q)=6 (2)证明:ai+aj(1≤i<j≤n)共有 所以 个

下面证明所有 ai+aj(1≤i<j≤n)各不相同 任取 ai+aj 和 ak+al(1≤i<j≤n,1≤k<l≤n) 当 j=l 时,若 ai+aj=ak+al,则 ai=ak,矛盾 j+1 当 j≠l 时,若 ai+aj=ak+al,则 ai+aj<2aj=2 ≤al<ak+al 即 ai+aj≠ak+al 所以所有 ai+aj(1≤i<j≤n)各不相同,所以 (3)不妨设 a1<a2<<an, 所以 a1+a2<a1+a3<<a1+an<a2+an<<an﹣1+an 所以 ai+aj(1≤i<j≤n)中至少有 2n﹣3 个不同的数,即 k(A)≥2n﹣3 取 A={1,2,3,n},则 ai+aj∈{3,4,5,??,2n﹣1}共 2n﹣3 个 所以 k(A)的最小值 2n﹣3 点评: 本题考查集合与元素的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答. 5. (2007?北京)已知集合 A={a1,a2,…,ak(k≥2)},其中 ai∈Z(i=1,2,…,k) ,由 A 中的元素构成两个相应 的集合:S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a﹣b∈A}.其中(a,b)是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n.若对于任意的 a∈A,总有﹣a?A,则称集合 A 具有性质 P. (Ⅰ )检验集合{0,1,2,3}与{﹣1,2,3}是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合,写出相应的集合 S 和 T; (Ⅱ )对任何具有性质 P 的集合 A,证明: (Ⅲ )判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论. 考点: 元素与集合关系的判断;集合的含义. 专题: 综合题;压轴题;分类讨论;转化思想. 分析: (I)利用性质 P 的定义判断出具有性质 P 的集合,利用集合 S,T 的定义写出 S,T. (II)据具有性质 P 的集合满足 a∈A,总有﹣a?A,得到 0?A 得到(ai,ai)?T;当(ai,aj)∈T 时, (aj, ai)?T,求出 T 中的元素个数. (III)对应 S 中的元素据 S,T 的定义得到也是 T 中的元素,反之对于 T 中的元素也是 s 中的元素,得到两 个集合中的元素相同. 解答: (I)解:集合{0,1,2,3}不具有性质 P. 集合{﹣1,2,3}具有性质 P,其相应的集合 S 和 T 是 S=(﹣1,3) , (3,﹣1) ,T=(2,﹣1) , (2,3) . 2 (II)证明:首先,由 A 中元素构成的有序数对(ai,aj)共有 k 个. 因为 0?A,所以(ai,ai)?T(i=1,2,k) ; 又因为当 a∈A 时,﹣a?A 时,﹣a?A, 所以当(ai,aj)∈T 时, (aj,ai)?T(i,j=1,2,k) .
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从而,集合 T 中元素的个数最多为 即 .



(III)解:m=n,证明如下: (1)对于(a,b)∈S,根据定义, a∈A,b∈A,且 a+b∈A,从而(a+b,b)∈T. 如果(a,b)与(c,d)是 S 的不同元素, 那么 a=c 与 b=d 中至少有一个不成立, 从而 a+b=c+d 与 b=d 中也至少有一个不成立. 故(a+b,b)与(c+d,d)也是 T 的不同元素. 可见,S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数,即 m≤n, (2)对于(a,b)∈T,根据定义,a∈A,b∈A,

且 a﹣b∈A,从而(a﹣b,b)∈S. 如果(a,b)与(c,d)是 T 的不同元素, 那么 a=c 与 b=d 中至少有一个不成立, 从而 a﹣b=c﹣d 与 b=d 中也至少有一个不成立, 故(a﹣b,b)与(c﹣d,d)也是 S 的不同元素. 可见,T 中元素的个数不多于 S 中元素的个数,即 n≤m, 由(1) (2)可知,m=n. 点评: 本题考查利用题中的新定义解题;新定义题是近几年常考的题型,要重视. 6. (2003?上海)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对任意 x∈R,有 f(x+T)=T?f (x)成立. (1)函数 f(x)=x 是否属于集合 M?说明理由; x x (2)设函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象与 y=x 的图象有公共点,证明:f(x)=a ∈M; (3)若函数 f(x)=sinkx∈M,求实数 k 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;指数函数综合题;已知三角函数模型的应用问题. 专题: 证明题;压轴题;新定义. 分析: (1)将 f(x)=x 代入定义(x+T)=T f(x)验证知函数 f(x)=x 不属于集合 M. x T (2)由题意存在 x∈R 使得 a =x,由新定义知存在非零常数 T 使得 a =T,将函数关系式代入 f(x+T)=T f (x)验证知 x f(x)=a ∈M. (3) 若函数 f (x) =sinkx∈M, 依据定义应该有 sin (kx+kT) =Tsinkx∈[﹣1, 1]对任意实数都成立, 故 T=±1. 将 T=±1 代入 sin(kx+kT)=Tsinkx 求 k 的范围即可. 解答: 解: (1)对于非零常数 T, f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx. 因为对任意 x∈R,x+T=Tx 不能恒成立, 所以 f(x)=x?M; x (2)因为函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象与函数 y=x 的图象有公共点,
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所以方程组:
x

有解,消去 y 得 a =x,
T

x

显然 x=0 不是方程 a =x 的解,所以存在非零常数 T,使 a =T. x x+T T x x x 于是对于 f(x)=a 有 f(x+T)=a =a ?a =T?a =Tf(x)故 f(x)=a ∈M; (3)当 k=0 时,f(x)=0,显然 f(x)=0∈M. 当 k≠0 时,因为 f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数 T, 对任意 x∈R,有 f(x+T)=Tf(x)成立, 即 sin(kx+kT)=Tsinkx. 因为 k≠0,且 x∈R,所以 kx∈R,kx+kT∈R, 于是 sinkx∈[﹣1,1],sin(kx+kT)∈[﹣1,1], 故要使 sin(kx+kT)=Tsinkx.成立, 只有 T=±1,当 T=1 时,sin(kx+k)=sinkx 成立, 则 k=2mπ,m∈Z. 当 T=﹣1 时,sin(kx﹣k)=﹣sinkx 成立, 即 sin(kx﹣k+π)=sinkx 成立, 则﹣k+π=2mπ,m∈Z,即 k=﹣(2m﹣1)π,m∈Z. 综合得,实数 k 的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}. 点评: 考查新定义下问题的证明与求解,此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据,不能引入熟悉的算 法,这是做此类题时要注意的.

7.设 a,b 是两个实数, A={(x,y)|x=n,y=na+b,n 是整数}, B={(x,y)|x=m,y=3m +15,m 是整数}, 2 2 C={(x,y)|x +y ≤144}, 是平面 XOY 内的点集合,讨论是否存在 a 和 b 使得 (1)A∩ B≠φ(φ 表示空集) , (2) (a,b)∈C 同时成立. 考点: 集合关系中的参数取值问题;点到直线的距离公式. 专题: 压轴题. 2 分析: A、B、C 是点的集合,由 y=na+b 和 y=3m +15 想到直线和抛物线. A∩ B≠φ 表示直线和抛物线有公共点, 故只需联力方程,△ ≥0 得 a,b 的关系式,
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2

再考虑与集合 C 中 x +y ≤144 表示的以原点为圆心,以 12 为半径的圆及内部点的关系即可. 解答: 解:据题意,知 A={(x,y)|x=n,y=an+b,n∈Z} B={(x,y)|x=m,y=3m^2+15,m∈Z} 假设存在实数 a,b,使得 A∩ B≠? 成立,则方程组 y=ax+b y=3x +15 有解,且 x∈Z. 2 消去 y,方程组化为 3x ﹣ax+15﹣b=0.① ∵ 方程① 有解, ∴ △ =a ﹣12(15﹣b)≥0. 2 ∴ ﹣a ≤12b﹣180.② 2 2 又由(2) ,得 a +b ≤144.③ 2 由② +③ ,得 b ≤12b﹣36. 2 ∴ (b﹣6) ≤0 ∴ b=6. 代入② ,得 a ≥108. 2 代入③ ,得 a ≤108. 2 ∴ a =108.a=±6√3 将 a=±6 ,b=6 代入方程① ,得 2 3x ±6 x+9=0. 解之得 x=± ,与 x∈Z 矛盾. ∴ 不存在实数 a,b 使(1) (2)同时成立. 点评: 此题以集合为背景考查直线和抛物线的位置关系,以及圆等知识,综合性较强.
2 2 2 2 2

2

2

8.设集合

,B={x|x ﹣3mx+2m ﹣m﹣1<0}.

(1)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集的个数. (2)若 B=?,求 m 的取值范围. (3)若 A?B,求 m 的取值范围. 考点: 子集与真子集;集合的包含关系判断及应用;空集的定义、性质及运算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)由条件:“x∈Z”知集合 A 中的元素是整数,进而求它的子集的个数; (2)由条件:“B=?”知集合 B 中的没有任何元素是,得不等式的解集是空集,进而求 m; (3)由条件:“A?B”知集合 B 是 A 的子集,结合端点的不等关系列出不等式后解之即得.
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解答: 解:化简集合 A={x|﹣2≤x≤5},集合 B 可写为 B={x|(x﹣m+1) (x﹣2m﹣1)<0} (1)∵ x∈Z,∴ A={﹣2,﹣1,0,1,2,3,4,5},即 A 中含有 8 个元素,∴ A 的非空真子集数为 2 ﹣2=254 (个) . (2)显然只有当 m﹣1=2m+1 即 m=﹣2 时,B=?. (3)当 B=?即 m=﹣2 时,B=??A; 当 B≠?即 m≠﹣2 时, (ⅰ )当 m<﹣2 时,B=(2m+1,m﹣1) ,要 B?A,只要 在; (ⅱ )当 m>﹣2 时,B=(m﹣1,2m+1) ,要 B?A,只要 . ,所以 m 的值不存
8

点评: 本题考查集合的子集、集合的包含关系判断及应用以及空集的性质及运算.是一道中档题.
2

9.已知集合 P=

,y=log2(ax ﹣2x+2)的定义域为 Q.

(1)若 P∩ Q≠?,求实数 a 的取值范围; (2)若方程 ,求实数 a 的取值的取值范围.

考 集合的包含关系判断及应用;对数函数图象与性质的综合应用. 点 : 专 计算题;压轴题. 题 : 分 (1)是一个存在性的问题,此类题求参数一般转化为求最值.若是存在大于某式的值成立,一般令其大于其最 析 小值, : (2)也是一个存在性的问题,其与(1)不一样的地方是其为一个等式,故应求出解析式对应函数的值域,让该 参数是该值域的一个元素即可保证存在性. 2 解 解: (1)由已知 Q={x|ax ﹣2x+2>0},若 P∩ Q≠?, 答 2 则说明在 内至少有一个 x 值,使不等式 ax ﹣2x+2>0,即, : 在
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∴ a 的取值范围是 a>﹣4; (2)∵ 方程 ∴ ,







点 考查存在性问题求参数范围,本题中两个小题都是存在性,因为其转化的最终形式不一样,所以求其参数方式不 评 一样,一是其最值,一是求值域.答题者应细心体会其不同.此类题一般难度较大,要求有较强的逻辑推理能力

: 进行正确的转化. 10. (2007?天津)设函数 f(x)=﹣x(x﹣a) (x∈R) ,其中 a∈R. (Ⅰ )当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ )当 a≠0 时,求函数 f(x)的极大值和极小值; 2 2 (Ⅲ )当 a>3 时,证明存在 k∈[﹣1,0],使得不等式 f(k﹣cosx)≥f(k ﹣cos x)对任意的 x∈R 恒成立. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 压轴题. 分析: (Ⅰ )求出 f(2)和 f′ (2) ,利用点斜式写切线方程. (Ⅱ )求导,令 f′ (x)=0,再考虑 f(x)的单调性,求极值即可.
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2

(Ⅲ )有(Ⅱ )可知当 a>3 时 f(x)为单调函数,利用单调性直接转化为 k﹣cosx≤k ﹣cos x 恒成立,分离 参数求解即可. 解答: 解: (Ⅰ )解:当 a=1 时,f(x)=﹣x(x﹣1) =﹣x +2x ﹣x,得 f(2)=﹣2,且 f'(x)=﹣3x +4x﹣1,f' (2)=﹣5. 所以,曲线 y=﹣x(x﹣1) 在点(2,﹣2)处的切线方程是 y+2=﹣5(x﹣2) ,整理得 5x+y﹣8=0. (Ⅱ )解:f(x)=﹣x(x﹣a) =﹣x +2ax ﹣a xf'(x)=﹣3x +4ax﹣a =﹣(3x﹣a) (x﹣a) . 令 f'(x)=0,解得 或 x=a.
2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2

2

2

由于 a≠0,以下分两种情况讨论. (1)若 a>0,当 x 变化时,f'(x)的正负如下表:

因此,函数 f(x)在

处取得极小值

,且



函数 f(x)在 x=a 处取得极大值 f(a) ,且 f(a)=0. (2)若 a<0,当 x 变化时,f'(x)的正负如下表:

因此,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 f(a) ,且 f(a)=0; 函数 f(x)在 处取得极大值 ,且 .

(Ⅲ )证明:由 a>3,得

,当 k∈[﹣1,0]时,k﹣cosx≤1,k ﹣cos x≤1.
2 2

2

2

由(Ⅱ )知,f(x)在(﹣∞,1]上是减函数,要使 f(k﹣cosx)≥f(k ﹣cos x) ,x∈R 2 2 只要 k﹣cosx≤k ﹣cos x(x∈R) 2 2 即 cos x﹣cosx≤k ﹣k(x∈R)① 设 ,则函数 g(x)在 R 上的最大值为 2.

要使① 式恒成立,必须 k ﹣k≥2,即 k≥2 或 k≤﹣1. 2 2 所以,在区间[﹣1,0]上存在 k=﹣1,使得 f(k﹣cosx)≥f(k ﹣cos x)对任意的 x∈R 恒成立. 点评: 本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程,函数的极值、解不等式等基础知识,考查综 合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. ]上是减函数,在[

2

11. (2006?上海)已知函数 y=x+ 有如下性质:如果常数 a>0,那么该函数在(0, 上是增函数. (Ⅰ )如果函数 y=x+ (Ⅱ )研究函数 y=x +
2

,+∞)

(x>0)的值域为[6,+∞) ,求 b 的值; (常数 c>0)在定义域内的单调性,并说明理由;
2

(Ⅲ )对函数 y=x+ 和 y=x +

(常数 a>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的
2

单调性(只须写出结论,不必证明) ,并求函数 F(x)=(x 大值和最小值(可利用你的研究结论) . 考点: 函数单调性的性质;函数最值的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)函数 y=x+ (x>0)的最小值是 2
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) +(

n

) (n 是正整数)在区间[ ,2]上的最

n

=6,由此可求出 b 的值. .由此入手经过讲座可知

(2)设 0<x1<x2,y2﹣y1=

该函数在(﹣∞,﹣

]上是减函数,在[﹣

,0)上是增函数. 在(0,

(3)可以把函数推广为 y= ]上是减函数,在[

(常数 a>0) ,其中 n 是正整数.当 n 是奇数时,函数 y= ,+∞)上是增函数,在(﹣∞,﹣ 在(0, ]上是减函数,在[ ]上是增函数,在[﹣

,0)上是减函

数;当 n 是偶数时,函数 y= ]上是减函数,在[﹣ 2 解答:
n+1

,+∞)上是增函数,在(﹣∞,﹣

,0)上是增函数.并且由函数的单调性可求出当 x=1 时 F(x)取得最小值

. (x>0)的最小值是 2 ,则 2 =6,

解: (1)函数 y=x+ ∴ b=log29.

(2)设 0<x1<x2,y2﹣y1=





<x1<x2 时,y2>y1,函数 y= 时 y2<y1,函数 y=

在[

,+∞)上是增函数; ]上是减函数.

当 0<x1<x2< 又 y=

在(0,

是偶函数,于是,

该函数在(﹣∞,﹣

]上是减函数,在[﹣

,0)上是增函数;

(3)可以把函数推广为 y= 当 n 是奇数时,函数 y= 在(﹣∞,﹣

(常数 a>0) ,其中 n 是正整数. 在(0, ]上是减函数,在[ ,0)上是减函数; ]上是减函数,在[ ,0)上是增函数; ,+∞)上是增函数, ,+∞)上是增函数,

]上是增函数,在[﹣ 在(0,

当 n 是偶数时,函数 y= 在(﹣∞,﹣ F(x)= =

]上是减函数,在[﹣ +

+…+



因此 F(x)在[ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 所以,当 x= 或 x=2 时,F(x)取得最大值( ) +( ) ; 当 x=1 时 F(x)取得最小值 2 ; 点评: 本题考查函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
n+1 n n

12. (2006?上海)已知函数 上是增函数. (1)如果函数 (2)设常数 c∈[1,4],求函数 (3)当 n 是正整数时,研究函数

有如下性质:如果常数 a>0,那么该函数在

上是减函数,在

在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求 b 的值. 的最大值和最小值; 的单调性,并说明理由.

考点: 函数单调性的性质;函数的单调性及单调区间;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)根据题设条件知 =4,由此可知 b=4. (2)由 ∈[1,2],知当 x= 时,函数 f(x)=x+ 取得最小值 2

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.再由 c 的取值判断函数

的最大值和最小值. (3)设 0<x1<x2,g(x2)﹣g(x1)= 单调性的讨论. 解答: 解: (1)由已知得 ∴ b=4. (2)∵ c∈[1,4], =4, .由此入手进行

∴ ∈[1,2], 于是,当 x= 时,函数 f(x)=x+ 取得最小值 2 , .

f(1)﹣f(2)=

当 1≤c≤2 时,函数 f(x)的最大值是 f(2)=2+ ; 当 2≤c≤4 时,函数 f(x)的最大值是 f(1)=1+c. (3)设 0<x1<x2,g(x2)﹣g(x1) = .



<x1<x2 时,g(x2)>g(x1) ,函数 g(x)在[

,+∞)上是增函数; ]上是减函数.

当 0<x1<x2<

时,g(x2)>g(x1) ,函数 g(x)在(0,

当 n 是奇数时,g(x)是奇函数, 函数 g(x)在(﹣∞,﹣ ]上是增函数,在[﹣ ,0)上是减函数.

当 n 是偶数时,g(x)是偶函数, 函数 g(x)在(﹣∞,﹣ )上是减函数,在[﹣ ,0]上是增函数.

点评: 本题考查函数的性质和应用,解题要认真审题,仔细求解. 13. (2005?上海)对定义域是 Df.Dg 的函数 y=f(x) .y=g(x) ,

规定:函数 h(x)=



(1)若函数 f(x)=

,g(x)=x ,写出函数 h(x)的解析式;

2

(2)求问题(1)中函数 h(x)的值域; (3)若 g(x)=f(x+α) ,其中 α 是常数,且 α∈[0,π],请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x) ,及一个 α 的值, 使得 h(x)=cos4x,并予以证明. 考点: 函数的表示方法;函数的值域;抽象函数及其应用. 专题: 压轴题. 分析: (1)将 f(x)=
2

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,g(x)=)=x ,代入 h(x)=

(2)利用双

勾函数的性质求得; (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α= 解答: 解: (1)h(x)= .

(2)当 x≠1 时,h(x)=

=x﹣1+

+2,

若 x>1 时,则 h(x)≥4,其中等号当 x=2 时成立 若 x<1 时,则 h(x)≤0,其中等号当 x=0 时成立 ∴ 函数 h(x)的值域是(﹣∞,0]∪ {1}∪ [4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α= 则 g(x)=f(x+α)=sin2(x+ )+cos2(x+ )=cos2x﹣sin2x,

于是 h(x)=f(x)?f(x+α)=(sin2x+cos2x) (cos2x﹣sin2x)=cos4x. 另解令 f(x)=1+ sin2x,α= ,

g(x)=f(x+α)=1+ sin2(x+π)=1﹣ sin2x, 于是 h(x)=f(x)?f(x+α)=(1+ sin2x) (1﹣ sin2x)=cos4x. 点评: 本题主要考查求函数解析式和求最值以及构造函数等问题. 14. (2005?浙江)函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x (Ⅰ )求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ )解不等式 g(x)≥f(x)﹣|x﹣1|. (Ⅲ )若 h(x)=g(x)﹣λf(x)+1 在[﹣1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 考点: 函数单调性的性质;函数解析式的求解及常用方法;绝对值不等式的解法. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ )在函数 y=f(x)的图象上任意一点 Q(x0,y0) ,设关于原点的对称点为 P(x,y) ,再由中点坐标公 2 式,求得 Q 的坐标代入 f(x)=x +2x 即可. 2 (Ⅱ )将 f(x)与 g(x)的解析式代入转化为 2x ﹣|x﹣1|≤0,再通过分类讨论去掉绝对值,转化为一元二 次不等式求解. 2 (Ⅲ )将 f(x)与 g(x)的解析式代入可得 h(x)=﹣(1+λ)x +2(1﹣λ)x+1,再用二次函数法研究其单 调性. 解答: 解: (Ⅰ )设函数 y=f(x)的图象上任意一点 Q(x0,y0)关于原点的对称点为 P(x,y) ,
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2





∵ 点 Q(x0,y0)在函数 y=f(x)的图象上 2 2 2 ∴ ﹣y=x ﹣2x,即 y=﹣x +2x,故 g(x)=﹣x +2x 2 (Ⅱ )由 g(x)≥f(x)﹣|x﹣1|,可得 2x ﹣|x﹣1|≤0 2 当 x≥1 时,2x ﹣x+1≤0,此时不等式无解. 当 x<1 时,2x +x﹣1≤0,解得 因此,原不等式的解集为
2 2

. .

(Ⅲ )h(x)=﹣(1+λ)x +2(1﹣λ)x+1 ① 当 λ=﹣1 时,h(x)=4x+1 在[﹣1,1]上是增函数,∴ λ=﹣1 ② 当 λ≠﹣1 时,对称轴的方程为 x= .

ⅰ )当 λ<﹣1 时, ⅱ )当 λ>﹣1 时,

,解得 λ<﹣1. ,解得﹣1<λ≤0.综上,λ≤0.

点评: 本题主要考查求对称区间上的解析式,解不等式及研究函数的单调性,属中档题.
2

15. (2005?湖南)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax +bx,a≠0. (Ⅰ )若 b=2,且 h(x)=f(x)﹣g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ )设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1,C2 于点 M、N,证明 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 考点: 函数单调性的性质;利用导数研究曲线上某点切线方程;两条直线平行的判定. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ )先求函数 h(x)的解析式,因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h'(x)<0 有解,求出 a 的取 值范围; (Ⅱ )先利用导数分别表示出函数在 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线,结合过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1,C2 于点 M、N,建立关系式,通过反证法进行证明即可. 解答: 2 解: (Ⅰ )b=2 时,h(x)=lnx﹣ ax ﹣2x,
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则 h′ (x)= ﹣ax﹣2=﹣



因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h'(x)<0 有解. 2 又因为 x>0 时,则 ax +2x﹣1>0 有 x>0 的解. 2 2 ① 当 a>0 时,y=ax +2x﹣1 为开口向上的抛物线,ax +2x﹣1>0 总有 x>0 的解; 2 2 ② 当 a<0 时,y=ax +2x﹣1 为开口向下的抛物线,而 ax +2x﹣1>0 总有 x>0 的解; 2 则△ =4+4a≥0,且方程 ax +2x﹣1=0 至少有一正根.此时,﹣1≤a<0. 综上所述,a 的取值范围为[﹣1,0)∪ (0,+∞) . (Ⅱ )设点 P、Q 的坐标分别是(x1,y1) , (x2,y2) ,0<x1<x2. 则点 M、N 的横坐标为 x= ,

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1= ,x=

,k1=



C2 在点 N 处的切线斜率为 k2=ax+b,x=

,k2=

+b.

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2. 即 = +b,


2 2

= (x2 ﹣x1 )+b(x2﹣x1) = (x2 +bx2)﹣(
2

+bx1)

=y2﹣y1 =lnx2﹣lnx1.

所以

=

.设 t=

,则 lnt=

,t>1①

令 r(t)=lnt﹣

,t>1.则 r′ t= ﹣

=



因为 t>1 时,r'(t)>0,所以 r(t)在[1,+∞)上单调递增.故 r(t)>r(1)=0. 则 lnt> .这与① 矛盾,假设不成立.

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 点评: 本题考查了函数单调性的应用,以及利用导数研究曲线上某点处的切线问题,属于难题. 16. (2005?广东)设函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上满足 f(2﹣x)=f(2+x) ,f(7﹣x)=f(7+x) ,且在闭区间[0, 7]上,只有 f(1)=f(3)=0. (Ⅰ )试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (Ⅱ )试求方程 f(x)=0 在闭区间[﹣2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论. 考点: 函数奇偶性的判断;函数的周期性;根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I)利用条件先求出函数的周期,再求出 f(﹣3)=f(7)≠0,而 f(3)=0,f(﹣3)≠﹣f(3)根据奇偶 性的定义可知该函数为非奇非偶函数; (2II)根据周期函数性质可知,只需求出一个周期里的根的个数,可求得 f(x)在[0,10]和[﹣10,0]上均 有有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2005]上有 402 个解,在[﹣2005.0]上有 400 个解. 解答: 解:由 ? ?f(4﹣x)=f(14﹣x)?f(x)=f(x+10) ,
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又 f(3)=0,而 f(7)≠0,?f(﹣3)=f(7)≠0?f(﹣3)≠f(3) ,f(﹣3)≠﹣f(3) 故函数 y=f(x)是非奇非偶函数; (II)由 ? ?f(4﹣x)=f(14﹣x)?f(x)=f(x+10)

又 f(3)=f(1)=0?f(11)=f(13)=f(﹣7)=f(﹣9)=0 因为在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0,故在[4,7]上无零点, 又 f(7﹣x)=f(7+x) ,故在[4,10]上无零点,故在[0,10]上仅有两个解 故 f(x)在[0,10]和[﹣10,0]上均有有两个解, 从而可知函数 y=f(x)在[0,2005]上有 402 个解,在[﹣2005.0]上有 400 个解, 所以函数 y=f(x)在[﹣2005,2005]上有 802 个解. 点评: 本题主要考查了函数奇偶性的判断,以及函数的周期性和根的存在性及根的个数判断,属于基础题. 17. (2004?上海)已知函数 f(x)=|x﹣a|,g(x)=x +2ax+1(a 为正常数) ,且函数 f(x)与 g(x)的图象在 y 轴 上的截距相等. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)+g(x)的单调递增区间; (3)若 n 为正整数,证明: .
2

考点: 函数的单调性及单调区间;不等式的证明. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: (1)由题意知,f(0)=g(0) ,解出 a 的值. (2)分类讨论的方法化简 f(x)+g(x)的解析式,再求出他们的单调增区间.
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(3)把不等式的左边看成是一个数列,分析此数列的变化规律是 c1≤c2≤c3≤c4,而 c4>c5>c6>…,故左边 的最大值是 c4,而 c4<4,不等式得到证明. 解答: 解: (1)由题意,f(0)=g(0) , |a|=1 又 a>0, 所以 a=1. (2)f(x)+g(x)=|x﹣1|+x +2x+1 2 当 x≥1 时,f(x)+g(x)=x +3x,它在[1,+∞)上单调递增; 当 x<1 时,f(x)+g(x)=x +x+2,它在 (3)设
2 2

上单调递增. ,考查数列{cn}的变化规律:

解不等式

,由 cn>0,上式化为 ,因 n∈N 得 n≥4,于是,c1≤c2≤c3≤c4,而 c4>c5>c6>… .

解得 所以,

点评: 本题考查函数的单调性和单调区间,及不等式的证明. 18. (2002?北京)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a,b∈R 都满足:f(ab)=af(b)+bf (a) . (1)求 f(0)及 f(1)的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若 f(2)=2,un= ,求证数列{un}是等差数列,并求{un}的通项公式.

考点: 函数奇偶性的判断;等差数列的通项公式;等差关系的确定. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)赋值法,令 a=b=0 和令 a=b=1,可分别求出 f(0) 、f(1) (2)构造 f(﹣x)和 f(x)之间的关系式,看符合奇函数还是偶函数,先赋值求出 f(﹣1) ,再令 a=﹣1, b=x 即可 (3)利用定义法证明{un}是等差数列,求出通项公式 解答: 解: (1)令 a=b=0,代入得 f(0)=0?f(0)+0?f(0)=0. 令 a=b=1,代入得 f(1)=1?f(1)+1?f(1) ,则 f(1)=0. 2 (2)∵ f(1)=f[(﹣1) ]=﹣f(﹣1)﹣f(﹣1)=0,∴ f(﹣1)=0. 令 a=﹣1,b=x,则 f(﹣x)=f(﹣1?x)=﹣f(x)+xf(﹣1)=﹣f(x) , 因此 f(x)是奇函数.
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(3)因为

=un+1,即 un+1 ,公差为 1,

﹣un=1,所以{un}是等差数列.又首项

所以 an=n,



点评: 本题考查赋值法的巧妙使用、奇函数和偶函数的判定以及等差数列的证明和通项公式的求法,难度不是很 大. 19. (2001?广东) 设f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 其图象关于直线 x=1 对称 对任意 x1, x2∈[0, ], 都有 f (x1+x2) =f(x1)?f(x2) ,且 f(1)=a>0. (Ⅰ )求 f ;

(Ⅱ )证明 f(x)是周期函数; (Ⅲ )记 an=f(2n+ ) ,求 .

考点: 偶函数;极限及其运算. 专题: 压轴题. 分析: (1)通过对 x1、x2 合理的赋值以及配凑,构造所求的结论. (2)偶函数?f(﹣x)=f(x) ;关于直线 x=a 对称?f(2a﹣x)=f(x) . 解答: (Ⅰ )解:因为对 x1,x2∈[0, ],
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都有 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2) ,所以



f(1)=a>0, (3 分) ∴ , (6 分)

(Ⅱ )证明:依题设 y=f(x)关于直线 x=1 对称, 故 f(x)=f(1+1﹣x) ,即 f(x)=f(2﹣x) ,x∈R 又由 f(x)是偶函数知 f(﹣x)=f(x) ,x∈R, ∴ f(x)=f(x﹣2) ,x∈R, 得 f(x)=f(x+2) ,x∈R 这表明 f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. (10 分) (Ⅲ )解:由(Ⅰ )知 f(x)≥0,x∈[0,1] ∵ f( )=f(n× )=f( )=f( )
n



, (12 分)

∵ f(x)的一个周期是 2 ∴ f(2n+ )=f( ) ,因此 an=



(lnan)=

. (14 分)

点评: 本题考查了抽象函数和函数性质的综合应用.抽象函数往往是通过对自变量合理的赋值来解决问题;函数 周期性、奇偶性、对称性三者之间具有知二求一的关系. 20. (2013?重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) .设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米, 体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/ 平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000π 元(π 为圆周率) . (Ⅰ )将 V 表示成 r 的函数 V(r) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ )讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: (I)由已知中侧面积和底面积的单位建造成本,结合圆柱体的侧面积及底面积公式,根据该蓄水池的总建 造成本为 12000π 元,构造方程整理后,可将 V 表示成 r 的函数,进而根据实际中半径与高为正数,得到函 数的定义域; (Ⅱ )根据(I)中函数的定义值及解析式,利用导数法,可确定函数的单调性,根据单调性,可得函数的最 大值点. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 蓄水池的侧面积的建造成本为 200?πrh 元,
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底面积成本为 160πr 元, 2 ∴ 蓄水池的总建造成本为 200?πrh+160πr 元 2 即 200?πrh+160πr =12000π ∴ h= (300﹣4r )
2 2 2

2

∴ V(r)=πr h=πr ?

(300﹣4r )=

2

(300r﹣4r )

3

又由 r>0,h>0 可得 0<r<5 故函数 V(r)的定义域为(0,5 (Ⅱ )由(Ⅰ )中 V(r)= 可得 V′ (r)= ∵ 令 V′ (r)=


3

(300r﹣4r ) , (0<r<5
2



(300﹣12r ) , (0<r<5 (300﹣12r )=0,则 r=5
2



∴ 当 r∈(0,5)时,V′ (r)>0,函数 V(r)为增函数 当 r∈(5,5 )时,V′ (r)<0,函数 V(r)为减函数 且当 r=5,h=8 时该蓄水池的体积最大 点评: 本题考查的知识点是函数模型的应用,其中(Ⅰ )的关键是根据已知,求出函数的解析式及定义域, (Ⅱ )的 关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点. 21. (2011?湖北)设函数 f(x)=x +2ax +bx+a,g(x)=x ﹣3x+2,其中 x∈R,a、b 为常数,已知曲线 y=f(x) 与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. (Ⅰ ) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (Ⅱ )若方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2,其中 x1<x2,且对任意的 x∈[x1,x2],f(x) +g(x)<m(x﹣1)恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数与方程的综合运用;函数恒成立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;压轴题;函数思想;转化思想. 分析: (I) 利用曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l,可得 f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'
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3

2

2

(2)=1.即为关于 a、b 的方程,解方程即可. (II)把方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根转化为 x1,x2 是 x ﹣3x+2﹣m=0 的两相异实根.求 出实数 m 的取值范围以及 x1,x2 与实数 m 的关系,再把 f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立问题转化为求 函数 f(x)+g(x)﹣mx 在 x∈[x1,x2]上的最大值,综合在一起即可求出实数 m 的取值范围. 2 解答: 解: (I) f'(x)=3x +4ax+b,g'(x)=2x﹣3. 由于曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. 故有 f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1. 由此得 ,解得 ,
2

所以 a=﹣2,b=5..切线的方程为 x﹣y﹣2=0. 3 2 3 2 (II)由(I)得 f(x)=x ﹣4x +5x﹣2,所以 f(x)+g(x)=x ﹣3x +2x. 2 依题意,方程 x(x ﹣3x+2﹣m)=0,有三个互不相等的实根 0,x1,x2, 2 故 x1,x2 是 x ﹣3x+2﹣m=0 的两相异实根. 所以△ =9﹣4(2﹣m)>0,解得 m>﹣ . 又对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立, 特别地取 x=x1 时,f(x1)+g(x1)<m(x1﹣1)成立,得 m<0. 由韦达定理得 x1+x2=3>0,x1x2=2﹣m>0.故 0<x1<x2. 对任意的 x∈[x1,x2],x﹣x2≤0,x﹣x1≥0,x>0. 则 f(x)+g(x)﹣mx=x(x﹣x1) (x﹣x2)≤0,又 f(x1)+g(x1)﹣mx1=0. 所以 f(x)+g(x)﹣mx 在 x∈[x1,x2]上的最大值为 0. 于是当 m<0,对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立, 综上得:实数 m 的取值范围是(﹣ ,0) . 点评: 本题主要考查函数,导数,不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立,以及函 数与方程和特殊与一般的思想. 22. (2009?韶关二模)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据 规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建 设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元.写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;压轴题. 分析: (1)依次写出第 1 年投入量,第 2 年投入量,等等,第 n 年投入量,从而求出 n 年内的总投入量 an,再由
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第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ )万元,归纳出第 n 年旅游业收入为 400× (1+ )
n﹣1

万元.从而得出 n 年内的旅游业总收入 bn.

(2)先设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由 bn﹣an>0,解得 n 的取值范围即可. 解答: 解: (1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1﹣ )万元,第 n 年投入为 800×(1﹣ ) 所以,n 年内的总投入为 an=800+800×(1﹣ )+…+800×(1﹣ )
n﹣1 n﹣1

万元.

=

=4000×[1﹣( ) ]; (3 分) 第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ )万元, 第 n 年旅游业收入为 400×(1+ ) 所以,n 年内的旅游业总收入为 bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ ) =1600×[( ) ﹣1]. (6 分) (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn﹣an>0, 即 1600×[( ) ﹣1]﹣4000×[1﹣( ) ]>0. 化简得 5×( ) +2×( ) ﹣7>0, (9 分) 设 x=( ) ,代入上式得 5x ﹣7x+2>0, 解此不等式,得 即( ) < , 由此得 n≥5. 答:至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入. (12 分) 点评: 本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的 能力.
n 2 n n n n n n n﹣1 n﹣1

n

万元.

=

,x>1(舍去) .

23. (2009?山东)两城市 A 和 B 相距 20km,现计划在两城市外以 AB 为直径的半圆弧

上选择一点 C 建造垃圾处

理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和, 记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂 对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距 离的平方成反比,比例系数为 k,当垃圾处理厂建在 (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.

A 的距离;若不存在,说明理由.

考点: 函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题;压轴题.

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分析: (1)根据“垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的 影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k,”建立函数模型: 据当 时,y=0.065,求得参数 k. 的最小值时的状态.令 t=x +320,将函数
2

,再根

(2)总影响度最小,即为:求

转化为:

,再用基本不等式求解.

解答: 解: (1)由题意得 又∵ 当 ∴ k=9 ∴ 时,y=0.065, ,

(7 分)

(2) 令 t=x +320∈(320,720) , 则
2



,当且仅当

时,等号成立. (14 分)

∴ 弧

上存在一点,该点到城 A 的距离为

时,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最

小为 0.0625. (16 分) 点评: 本题主要考查函数模型的建立和应用,主要涉及了换元法,基本不等式法和转化思想的考查. 24. (2008?湖北)水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水 库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为 (Ⅰ )该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i﹣1<t<i 表示第 i 月份(i=1,2,…,12) ,同一年内哪几个 月份是枯水期? (Ⅱ )求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7 计算) . 考点: 分段函数的应用;函数模型的选择与应用;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 分析: (1)分段求出水库的蓄求量小于 50 时 x 的取值范围,注意实际问题 x 要取整. (2)一年内该水库的最大蓄水量肯定不在枯水期,则 V(t)的最大值只能在(4,10)内达到,然后通过 导数在给定区间上研究 V(t)的最大值,最后注意作答. 解答: 2 解: (Ⅰ )① 当 0<t≤10 时, ,化简得 t ﹣14t+40>0,
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解得 t<4,或 t>10,又 0<t≤10,故 0<t<4. ② 当 10<t≤12 时,V(t)=4(t﹣10) (3t﹣41)+50<50,化简得(t﹣10) (3t﹣41)<0,

解得

,又 10<t≤12,故 10<t≤12.

综合得 0<t<4,或 10<t≤12; 故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,4,11 月,12 月共 6 个月. (Ⅱ ) (Ⅰ )知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到. 由 V′ (t)= 令 V′ (t)=0,解得 t=8(t=﹣2 舍去) . 当 t 变化时,V′ (t)与 V(t)的变化情况如下表: ,

由上表,V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e +50=108.32(亿立方米) . 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米 点评: 本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识,考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能 力. 25. (2007?浙江)已知 f(x)=|x ﹣1|+x +kx. (Ⅰ )若 k=2,求方程 f(x)=0 的解; (Ⅱ )若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个解 x1,x2,求 k 的取值范围,并证明 .
2 2

2

考点: 函数与方程的综合运用;根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)当 k=2 时,方程是含有绝对值的方程,对绝对值内的值进行分类讨论去掉绝对值后解之; (2)先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式,再利用一元一次函数 与二元 一次函数的单调性加以解决. 2 2 解答: 解: (Ⅰ )解: (1)当 k=2 时,f(x)=|x ﹣1|+x +kx 2 2 ① 当 x ﹣1≥0 时,即 x≥1 或 x≤﹣1 时,方程化为 2x +2x﹣1=0
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解得
2

,因为

,故舍去,所以



② 当 x ﹣1<0 时,﹣1<x<1 时,方程化为 2x+1=0 解得 由① ② 得当 k=2 时,方程 f(x)=0 的解所以 (II)解:不妨设 0<x1<x2<2, 因为 所以 f(x)在(0,1]是单调函数,故 f(x)=0 在(0,1]上至多一个解, 若 1<x1<x2<2,则 x1x2= 由 f(x1)=0 得 <0,故不符题意,因此 0<x1≤1<x2<2. 或 .

,所以 k≤﹣1;

由 f(x2)=0 得 故当

,所以



时,方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个解. ,2x2 +kx2﹣1=0
2

当 0<x1≤1<x2<2 时, 消去 k 得 2x1x2 ﹣x1﹣x2=0 即
2

,因为 x2<2,所以



点评: 本题主要考查的高考考点:函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识;易错点:解析问题的能力较 差,分类讨论的问题考虑不全面备考提示:本题还考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识, 以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法解析和解决问题的能力.需要考生有较扎实的理论知识及较 强的解析问题的能力,同时要具备良好的运算能力. 26. (2007?北京)已知函数 y=kx 与 y=x +2(x≥0)的图象相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,l1,l2 分别是 y=x +2 (x≥0)的图象在 A,B 两点的切线,M,N 分别是 l1,l2 与 x 轴的交点. (I)求 k 的取值范围; (II)设 t 为点 M 的横坐标,当 x1<x2 时,写出 t 以 x1 为自变量的函数式,并求其定义域和值域; (III)试比较|OM|与|ON|的大小,并说明理由(O 是坐标原点) . 考点: 函数与方程的综合运用;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I)根据直线与抛物线的右侧相交列出关于 k 的不等式是解决本题的关键,即方程组有正根.通过解不等 式确定出 k 的取值范围; (II)利用导数的知识和点斜式方程的知识写出直线的方程是解决本小题的关键,令直线方程中的 y=0,建 立以 x1 为自变量的函数 t,进而写出该函数的定义域和值域; (III)利用类比的思想在第(II)问基础上得出|OM|与|ON|的表达式,通过作差法进行二者大小的比较,得 出结论. 解答: 2 解: (I)由方程 消 y 得 x ﹣kx+2=0.①
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2

2

依题意,该方程有两个正实根, 故 解得 k>2 .

(II)由 f′ (x)=2x,求得切线 l1 的方程为 y=2x1(x﹣x1)+y1, 由 y1=x1 +2,并令 y=0,得 t=
2

,x1,x2 是方程① 的两实根,

且 x1<x2,故 x1=

,k>2



x1 是关于 k 的减函数,所以 x1 的取值范围是 . t 是关于 x1 的增函数,定义域为 ,所以值域为(﹣∞,0) . (III)当 x1<x2 时,由(II)可知|OM|=|t|=﹣ .

类似可得|ON|= 由① 可知 x1x2=2. 从而|OM|﹣|ON|=0.

.|OM|﹣|ON|=﹣



当 x2<x1 时,有相同的结果|OM|﹣|ON|=0. 所以|OM|=|ON|. 点评: 本题考查直线与抛物线的相交问题,考查曲线的切线求法,考查学生的函数思想、不等式思想、转化与化 归思想,几何问题代数化的思想.比较法判断大小问题. 27. (2007?江苏)已知 a,b,c,d 是不全为零的实数,函数 f(x)=bx +cx+d,g(x)=ax +bx +cx+d.方程 f(x) =0 有实数根,且 f(x)=0 的实数根都是 g(f(x) )=0 的根;反之,g(f(x) )=0 的实数根都是 f(x)=0 的根. (1)求 d 的值; (2)若 a=0,求 c 的取值范围; (3)若 a=1,f(1)=0,求 c 的取值范围. 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 综合题;压轴题;分类讨论. 分析: (1)不妨设 r 为方程的一个根,即 f(r)=0,则由题设得 g(f(r) )=0.进而有 g(0)=g(f(r) )=0,再 由 g(0)=d 求解. 2 3 2 (2)由(1)知 f(x)=bx +cx,g(x)=ax +bx +cx.所以有 g(f(x) )=x(bx+c)[bx(bx+c)+c]=x(bx+c) 2 2 2 2 (b x +bcx+c) .而方程 f(x)=0 即为 x(bx+c)=0.① 方程 g(f(x) )=0 即为 x(bx+c) (b x +bcx+c)=0.② 最后按方程的类型,分(ⅰ )当 c=0 时,b≠0, (ⅱ )当 c≠0,b=0(ⅲ )当 c≠0,b≠0 讨论. 2 (3)由 a=1,f(1)=0 得 b=﹣c,将函数的系数都用 c 表示:f(x)=bx +cx=cx(﹣x+1) ,g(f(x) )=f 2 (x)[f (x)﹣cf(x)+c].由 f(x)=0 可以推得 g(f(x) )=0,知方程 f(x)=0 的根一定是方程 g(f (x) )=0 的根.然后,按照 c=0 和 c≠0 两种情况,用判别式判断求解. 解答: 解: (1)设 r 为方程的一个根,即 f(r)=0,则由题设得 g(f(r) )=0. 于是,g(0)=g(f(r) )=0,即 g(0)=d=0. 所以,d=0. 2 3 2 (2)由题意及(1)知 f(x)=bx +cx,g(x)=ax +bx +cx. 2 由 a=0 得 b,c 是不全为零的实数,且 g(x)=bx +cx=x(bx+c) , 2 2 则 g(f(x) )=x(bx+c)[bx(bx+c)+c]=x(bx+c) (b x +bcx+c) . 方程 f(x)=0 就是 x(bx+c)=0.① 2 2 方程 g(f(x) )=0 就是 x(bx+c) (b x +bcx+c)=0.② (ⅰ )当 c=0 时,b≠0,方程① 、② 的根都为 x=0,符合题意. (ⅱ )当 c≠0,b=0 时,方程① 、② 的根都为 x=0,符合题意.
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2

3

2

(ⅲ )当 c≠0,b≠0 时,方程① 的根为 x1=0,

,它们也都是方程② 的根,但它们不是方程 b x +bcx+c=0

2 2

的实数根. 2 2 2 2 由题意,方程 b x +bcx+c=0 无实数根,此方程根的判别式△ =(bc) ﹣4b c<0,得 0<c<4. 综上所述,所求 c 的取值范围为[0,4) . 2 2 (3)由 a=1,f(1)=0 得 b=﹣c,f(x)=bx +cx=cx(﹣x+1) ,g(f(x) )=f(x)[f (x)﹣cf(x)+c].③ 由 f(x)=0 可以推得 g(f(x) )=0,知方程 f(x)=0 的根一定是方程 g(f(x) )=0 的根. 当 c=0 时,符合题意. 2 当 c≠0 时,b≠0,方程 f(x)=0 的根不是方程 f (x)﹣cf(x)+c=0④ 的根, 因此,根据题意,方程④ 应无实数根. 2 2 那么当(﹣c) ﹣4c<0,即 0<c<4 时,f (x)﹣cf(x)+c>0,符合题意.

当(﹣c) ﹣4c≥0,即 c<0 或 c≥4 时,由方程④ 得

2



即 则方程⑤ 应无实数根, 所以有 当 c<0 时,只需 当 c≥4 时,只需 因此, .

,⑤

且 ,解得 ,解得 . ,矛盾,舍去.



综上所述,所求 c 的取值范围为



点评: 本题主要考查了函数与方程的综合运用,主要涉及了方程的根,函数的最值,还考查了分类讨论思想,转 化思想.

28. (2006?重庆)已知定义域为 R 的函数

是奇函数.

(Ⅰ )求 a,b 的值; 2 2 (Ⅱ )若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 考点: 指数函数单调性的应用;奇函数. 专题: 压轴题. 分析: (Ⅰ )利用奇函数定义,在 f(﹣x)=﹣f(x)中的运用特殊值求 a,b 的值; 2 2 (Ⅱ )首先确定函数 f(x)的单调性,然后结合奇函数的性质把不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 转化为 关于 t 的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知识求出 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ )因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,
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又由 f(1)=﹣f(﹣1)知 所以 a=2,b=1. 经检验 a=2,b=1 时,



是奇函数.

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 易知 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数. 又因为 f(x)是奇函数, 2 2 所以 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0



等价于 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(k﹣2t ) , 2 2 因为 f(x)为减函数,由上式可得:t ﹣2t>k﹣2t . 2 即对一切 t∈R 有:3t ﹣2t﹣k>0, 从而判别式 所以 k 的取值范围是 k<﹣ . 点评: 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用;同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略. 29. (2006?浙江)设 f(x)=3ax +2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证: (Ⅰ )方程 f(x)=0 有实根. (Ⅱ )﹣2< <﹣1;设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则. .
2

2

2

2



考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 证明题;压轴题. 2 分析: (Ⅰ )针对 a 进行分类讨论,若 a=0,f(0)f(1)≤0 显然与条件矛盾,a≠0 时,f(x)=3ax +2bx+c 为二次 函数,只需考虑判别式即可;
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(Ⅱ )利用根与系数的关系将(x1﹣x2) 转化成关于 的二次函数,根据 的范围求出值域即可. 解答: 证明: (Ⅰ )若 a=0,则 b=﹣c, 2 f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=﹣c ≤0, 与已知矛盾, 所以 a≠0. 2 2 方程 3ax +2bx+c=0 的判别式△ =4(b ﹣3ac) , 由条件 a+b+c=0,消去 b,得△ =4(a +c ﹣ac)= 故方程 f(x)=0 有实根. (Ⅱ )由条件,知
2 2 2 2

2



, .

所以(x1﹣x2) =(x1﹣x2) ﹣4x1x2= 因为 所以 故 ,

点评: 本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法,以及综合运用所学知识分析和解决问题的 能力. 30. (2004?北京)某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商订购,决 定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低 于 51 元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1000 个,利润又是多少元?(工厂售 出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本)

考点: 根据实际问题选择函数类型;分段函数的应用. 专题: 压轴题. 分析: (1)由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0 个,则
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此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元; (2)前 100 件单价为 P,当进货件数大于等于 550 件时,P=51,则当 100<x<550 时, 得到 P 为分段函数,写出解析式即可; (3) 设销售商的一次订购量为 x 个时, 工厂获得的利润为 L 元, 表示出 L 与 x 的函数关系式, 然后令 x=500, 1000 即可得到对应的利润. 解答: 解: (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0 个,则 因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元. (2)当 0<x≤100 时,P=60 当 100<x<550 时, 当 x≥550 时,P=51

所以

(3)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元,



当 x=500 时,L=6000;当 x=1000 时,L=11000 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6000 元; 如果订购 1000 个,利润是 11000 元. 点评: 本小题主要考查函数的基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.


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