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2.3.1等差数列的前N项和的应用

时间:2015-09-22


1、等差数列性质:

(1) an ? am ? (n ? m)d
(2) 若 m ? n ? p ? q ,则

am ? an ? a p ? aq ? . a p?q
am ? an (3) d ? m?n

2.等差数列{an} 的判定方法:

(1) {an } 是等

差数列 ? an ? an ?1 ? d (d 是常数, n ? 2)
(2) {an } 是等差数列 ? an ? kn ? b (k , b 是常数)
(3) {an } 是等差数列 an ?1 ? an ?1 ? an ? (n ? 2) 2

著名数学家高斯小的时候,勤于思考,善于动脑,这 一点在班级是有名的。他遇到问题总是问“为什么”;用 一种方法解决问题之后,他还考虑有没有其他别的更有效 的方法,老师和同学们都喜欢他。一天,老师给同学们出 了一道“1+ 2+ 3+??+ 99+ 100的和等于多少?” 的数学题,同学们都觉得没什么难的,于是便十分认真地 用一个数加另一个数慢慢求和的方法来计算。不一会,小 高斯便举手示意他做完了。老师和同学们都觉得特别奇怪 :别人连一半还没加完,小高斯怎么就算完了呢?

你知道高斯是怎么计算的吗?

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? 97 ? 98 ? 99 ? 100
+ + + +

? 50 ?101 ? 5050 .

一般的,我们称

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an

为数列 {an} 的前n项和,用Sn表示,即

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an .
对于公差为d的等差数列,如何求它的前n项和?

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? ? ? [a1 ? (n ?1)d ].

用两个式子表示前n项和

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? ? ? [a1 ? (n ?1)d ].
由①+②得到



Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ? ? ? ? [an ? (n ?1)d ]. ② 2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? ? ? (a1 ? an ). ? n(a1 ? an ).
n个

由此得到等差数列{an} 的前n项和的公式

n( a1 ? an ) Sn ? . 2

n( a1 ? an ) Sn ? . 2
在已知首项和尾项时使用此公式. 用 an ? a1 ? (n ?1)d 代入上面的公式,得到

n[a1 ? a1 ? (n ? 1)d ] n(n ? 1)d Sn ? ? na1 ? . 2 2
n(n ? 1)d S n ? na1 ? . 2
在已知首项和公差时使用此公式.

例1、计算:

n(n ? 1) (1)1+2+3+…+n = ________. 2 2 (2)1+3+5+…+(2n-1) =________ . n n(n ? 1) (3)2+4+6+…+2n =__________ . (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n=_____. ?n

解(4)原式=[1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+...+2n)

= n2 -n(n+1) =-n. 法2:原式=-1-1-…-1= -n .

2. 已知一个等差数列的前10项的和是310, 前20项的和是 1220,求其前n项和的公式.
解: 由题设: S10 ? 310

S20 ? 1220

? 10a1 ? 45d ? 310 得: ? ?20a1 ? 190d ? 1220

?a1 ? 4 ?? ?d ? 6
n(n ? 1) ? S n ? 4n ? ? 6 ? 3n 2 ? n 2

n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2 2 d d 公式2可化为: S n ? n ? (a1 ? )n 2 2
d 令 A? , B ? a1 ? d , 则 Sn ? An2 ? Bn . 2 2


A ? 0 ,即 d ? 0时, 上式是关于 n 的二次函数
它的图象是抛物线上的离散点,

且常数项为零.

横坐标为 纵坐标为

n

S.n

想一想:
如果一个数列{an }的前 n 项和为 Sn ? An2 ? Bn ( A, B 是常数) ,那么它是不是等差数 列呢 ? (n ? 1) 分析:由 a ? ?S1 ? 课本 P45 探究 n (n ? 2) ?S n ? S n ?1
(n ? 1) ?A ? B 得 an ? ? 2 2 ( An ? Bn ) ? [ A ( n ? 1 ) ? 2n ? 1) A ? B (n ? 2) ? B (n ? 1)]
(n ? 1) ( n ? 2)

? an ? (2n ?1) A ? B .
且 a1 ? A ? B , d ? 2A . ? 数列{an } 是等差数列,

例三
1 已知数列?an ? 的前n项和为S n ? n ? n, 求这 2 个数列的通项公式,这 个数列是等差数列吗?
2

如果是,它的首项公差 是多少?

等差数列前n项和的最值问题
例四 2 4 已知等差数列5,4 ,3 ? 的前n项和为S n, 7 7 求使得S n最大的序号 n的值

总结:利用等差数列前 n项和的函数表达式 Sn ? An2 ? Bn( A, B为常数), 通过配方或求二次函数 最值的方法求得,但要 注意求其正整数解

等差数列前n项和的最值问题
? an ? 0 1、当a1 ? 0, d ? 0时,若? , 则S n 取最大值 ?an ?1 ? 0 ? an ? 0 若? , 则S n和S n ?1同时取最大值 ?an ?1 ? 0 ? an ? 0 2、当a1 ? 0, d ? 0时,若? , 则S n 取最小值 ?an ?1 ? 0 ? an ? 0 若? , 则S n和S n ?1同时取最小值 ?an ?1 ? 0

小 结 本节课学习了以下内容:
n( a1 ? an ) Sn ? ; 1.等差数列的前项和公式1: 2

n(n ? 1) d. 2.等差数列的前项和公式2: S n ? na1 ? 2

n ?1 ? S1 3、an与S n的关系an ? ? ?S n ? S n?1 n ? 2

4、求最值的两种方法


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