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2015年高一数学参考答案及评分标准


2015 年楚雄州普通高中学年末教学质量检测

高一数学试题参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。 题号 答案 (1) B (2) C (3) B (4) B (5) C (6) D (7) A (8) C (9) D (10) A (11) A (12) D

二、填空题:本大题共

4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 (13) 50 (14)

?

3 4

(15)

1? 2

(16)

3 2

三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。 (17) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)样本数据的众数是 12(1 分) 。

12 ? 17 ? 14.5 (3 分) 。 2 8 ? 9 ? 10 ? 12 ? 12 ? 17 ? 18 ? 20 ? 21 ? 23 ? 15 (6 分) 样本数据的平均数是 。 10
样本数据的中位数是 (Ⅱ)根据样本数据估计总体的思想可得,这 100 件中药材重量的平均数是 15 克,因 此,估计这 100 件中药材的总重量约为 100×15=1500 克(10 分) 。 (18) (本小题满分 12 分)

4 3 , sin ? = (2 分) , 5 5 2 sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 cos? (sin ? ? cos? ) ? 则原式= sin ? sin ? ? cos? 1? cos? cos? 18 3 2 2 =2 cos ? ? 2×(- ) = (6 分) 。 25 5 ? ? (II)∵ OP ? OQ =0,∴OP⊥OQ ∴ ? ? ? ? , ∴ ? ? ? ? (8 分) , 2 2 ? 3 ? 4 ∴ sin ? ? sin(? ? ) ? ? cos ? ? , cos ? ? cos( ? ? ) ? sin ? ? (10 分) 。 2 5 2 5 4 4 3 3 7 ∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? = × +(- )× = (12 分) 。 5 5 5 5 25
解: (I)由三角函数的定义得 cos? =- (19) (本小题满分 12 分) 解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x,y,用(x,y)表示抽取结果, 则所有可能的结果有 16 种,即(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2, 3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)(4 分). (I)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A,则 A={(1,1),(2,2),(3,3),

1

(4,4)}.所以取出的两个球上的标号为相同数字的概率为 P(A)=

4 1 = (6 分) . 16 4

(II) 设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则 B={(1, 3), (3, 1),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3)},所以取出的两个球上标号之积能被 3 整 除的概率为 P(A)=
7 (12 分). 16

(20)(本小题满分 12 分) 证明: (I)在△BCD 中,点 E、F 分别是 BD、BC 的中点,故 EF∥CD(2 分) ,又因 EF ? 平面 PCD,CD ? 平面 PCD,故 EF∥平 面 PCD(4 分) 。 (II) 在直角梯形 ABCD 中, AD // BC , AD ? AB ? 1 , ?BAD ? 90? , ?BCD ? 45? ,故 CD⊥BD(6 分) 。 又因平面 PBD ⊥平面 BCD ,且平面 PBD ∩平面 BCD =BD,故 CD⊥平面 PBD ,故 CD⊥PB(9 分) ,又因 PB⊥PD,故 PB⊥平面 PCD,故平面 PBC ⊥平面 PCD (12 分) 。 (21) (本小题满分 12 分)
2 解: (I)设圆 C 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ? , 2 2

?(3 ? a)2 ? (2 ? b) 2 ? r 2 , ? 2 2 2 依题意得: ?(1 ? a) ? (6 ? b) ? r , ?b ? 2a. ?
2 2

解得 a ? 2, b ? 4, r 2 ? 5 .

所以圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 (6 分) 。 (II)由于直线 l 经过点 P ? ?1,3? , 当直线 l 的斜率不存在时, x ? ?1 与圆 C ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 相离(8 分) .
2 2

当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ? x ? 1? ,即: kx ? y ? k ? 3 ? 0 . 因为直线 l 与圆 C 相切, 且圆 C 的圆心为 ? 2, 4 ? , 半径为 5 , 所以有 解得 k ? 2 或 k ? ?

2k ? 4 ? k ? 3 k 2 ?1

? 5.

1 1 .所以直线 l 的方程为 y ? 3 ? 2 ? x ? 1? 或 y ? 3 ? ? ? x ? 1? , 2 2

即 2 x ? y ? 5 ? 0 或 x ? 2 y ? 5 ? 0 (12 分) . (22) (本小题满分 12 分) 解: (I)据图表分析,函数 f ( x) 可以用 y ? A cos?x ? b 近似拟合.由表中数据可知:

T ? 12 (1 分), A ?

ymax ? ymin 2? ? ? 0.5 (2 分) ? (3 分) , ∴? ? , 2 T 6
2

1 ? cos x ? b ,由 x ? 3 , y ? 1 ,得 b ? 1 , 2 6 1 ? ∴ y ? cos x ? 1 (6 分) 。 2 6 ? 1 ? ? ? (II)由 y ? 1.25 ,得 cos x ? , ∴ 2k? ? ? x ? 2k? ? , 6 2 3 6 3
∴y? 即 12k ? 2 ? x ? 12k ? 2, k ? z (10 分) ,因为只在白天开放,所以 k ? 1 , 10 ? x ? 14, 故冲浪者每天白天可在上午 10 点至下午 14 点到该浴场进行冲浪运动(12 分) .

3


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