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高中物理竞赛辅导 相对论初步知识


相对论初步知识 相对论是本世纪物理学的最伟大的成就之一,它标志着物理学的重大发展,使一些 物理学的基本概念发生了深刻的变革。狭义相对论提出了新的时空观,建立了高速运动 物体的力学规律,揭露了质量和能量的内在联系,构成了近代物理学的两大支柱之一。 § 2. 1 狭义相对论基本原理 2 、 1 、 1 、伽利略相对性原理 1632 年,伽利略发表了《关于两种世界体系的对话》一书,作出

了如下概述: 相对任何惯性系,力学规律都具有相同的形式,换言之,在描述力学的规律上, 一切惯性系都是等价的。这一原理称为伽利略相对性原理,或经典力学的相对性系 原理。其中“惯性系”是指凡是牛顿运动定律成立的参照系。 2 、 1 、 2 、狭义相对论的基本原理 19 世纪中叶,麦克斯韦在总结前人研究电磁现象的基础上,建立了完整的电磁理 论, 又称麦克斯韦电磁场方程组。 麦克斯韦电磁理论不但能够解释当时已知的电磁现象, 而且预言了电磁波的存在,确认光是波长较短的电磁波,电磁波在真空中的传播速度为 一常数, c ? 3.0 ? 10 米 / 秒 ,并很快为实验所证实。 从麦氏方程组中解出的光在真空中的传播速度与光源的速度无关。 如果光波也和声 波一样,是靠一种媒质(以太)传播的,那么光速相对于绝对静止的以太就应该是不 变 的。科学家们为了寻找以太做了大量的实验,其中以美国物理学家迈克耳孙和莫雷实验 最为著名。这个实验不但没能证明以太的存在,相反却宣判了以太的死刑,证明光速相 对于地球是各向同性的。但是这却与经典的运动学理论相矛盾。 爱因斯坦分析了物理学的发展,特别是电磁理论,摆脱了绝对时空观的束缚,科学 地提出了两条假设,作为狭义相对论的两条基本原理: 1 、狭义相对论的相对性原理 在所有的惯性系中,物理定律都具有相同的表达形式。 这条原理是力学相对性原理的推广,它不仅适用于力学定律,乃至适合电磁学,光 学等所有物理定律。狭义相对论的相对性原理表明物理学定律与惯性参照系的选择无 关,或者说一切惯性系都是等价的,人们不论在哪个惯性系中做实验,都不能确定该惯 性系是静止的,还是在作匀速直线运动。 2 、光速不变原理 在所有的惯性系中,测得真空中的光速都等于 c ,与光源的运动无关。 迈克耳孙—莫雷实验是光速不变原理的有力的实验证明。 事件 任何一个现象称为一个事件。物质运动可以看做一连串事件的发展过程,事 件可以有各种具体内容,如开始讲演、火车到站、粒子衰变等,但它总是在一定的地点 于一定时刻发生,因此我们用四个坐标( x , y , z , t )代表一个事件。
8

间隔

设两事件( x1 , y1 , z1 , t1 )与( x2 , y2 , z2 , t2 ),我们定义这两事件的间隔为
2 2 2 2

s 2 ? c 2 ?t 2 ? t1 ? ? ?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ?z2 ? z1 ?
间隔不变性 其间隔为

设两事件在某一参考系中的时空坐标为 ( x1 , y1 , z1 , t1 ) 与 ( x2 , y2 , z2 , t2 ) ,

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2 2 2

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2

s 2 ? c 2 ?t 2 ? t1 ? ? ?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ?z2 ? z1 ? ' ' ' ' ' ' ' ' 在另一参考系中观察这两事件的时空坐标为( x1 , y1 , z1,t1 )与( x2 , y2 , z 2,t 2 ),
其间隔为
' ' ' ' s 2' ? c 2 t 2 ? t1' ? x2 ? x1' ? y2 ? y1' ? z 2 ? z1'

?

? ?
2

? ?
2

? ?
2

?

2

由光速不变性可得

s 2 ? s 2'
这种关系称为间隔不变性。它表示两事件的间隔不因参考系变换而改变。它是相对 论时空观的一个基本关系。 2 、 1 、 3 、相对论的实验基础 斐索实验 上世纪人们用“以太”理论来解释电磁现象,认为电磁场是一种充满整 个空间的特殊介质——“以太”的运动状态。麦克斯韦方程在相对以太静止的参考系中 才精确成立,于是人们提出地球或其他运动物体是否带着以太运动?斐索实验( 1851 年)就是测定运动媒质的光速实验。其实验装置如图 2 — 1 所示;光由光源 L 射出后, 经半透镜 P 分为两束,一束透过 P 到镜 M 1 ,然后反射到 M 2 ,再经镜 M 3 到 P ,其中一 部分透过 P 到目镜 T 。另一束由 P 反射后,经镜 M 3 、 M 2 和 M 1 再回到 P 时,一部分被 反射,亦到目镜 T 。光线传播途中置有水管,整个装置是固定于地球上的,当管中水不 流动时,两光束经历的时间相等,因而到达目镜中无位相差。当水管中的水流动时,两 束光中一束顺水流传 M2 M3 播,一束逆水流传播。 P 设水管的长度皆为 l,水 l 的流速为 v , 折射率为 n , M1 c L T 光在水中的速度为 n 。 图 2-1-1 设水完全带动以太,则 光顺水的传播速度为

c c ?v ?v n ,逆水为 n ;
c 若水完全不带动以太,光对装置的速度顺逆水均为 n ;若部分被带动,令带动系数(曳 c c ? kv ? kv 引系数)为 k ,则顺水为 n ,逆水为 n , k 多少由实验测定,这时两束光到达
目镜 T 的时差为

?t ?

2l c ? kv n

?

2l c ? kv n

?

4lkv ?c? ? ? ?n?
2

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斐索测量干涉现象的变化,测得

k ? 1?

1 n ,所以光在介质参考系中的传播速度为

u?

c ? 1? ? ?1 ? ?v cos? n ? n?

式中 θ 是光线传播方向与介质运动方向间的夹角。 现在我们知道,匀速运动介质中的光速可由相对论的速度合成公式求得,设介质 (水)相对实验室沿 X 轴方向以速度 v 运动,选 s 系固定在介质上,在 s 上观察,介质
' '

c 中的光速各方向都是 n ,所以光相对实验室的速度 u 为 c c ?v ?v n n u? ? c v ?v 1? cn 1? n 2 c v ? ?c ?? ? ? ? v ??1 ? ? ?n ?? cn ? c v ? ?v? 2 n n c 1 ? ? ? ? v ?1 ? 2 ? n ? n ?。

M1 由此可知,由相对论的观点,根本不 M2 需要“以太”的假说,更谈不到曳引系数 了。 M 迈克尔孙—莫来实验 S T 迈克尔孙—莫来于 1887 年利用灵敏的 干涉仪,企图用光学方法测定地球的绝对 图 2-1-2 运动。实验时先使干涉仪的一臂与地球的 运动方向平行,另一臂与地球的运动方向 垂直。按照经典的理论,在运动的系统中,光速应该各向不等,因而可看到干涉条纹。 0 再使整个仪器转过 90 ,就应该发现条纹的移到,由条纹移动的总数,就可算出地球运 动的速度 v 。迈克尔孙—莫来实验的装置如图 2-1-2 所示,使一束由光源 S 射来的平行 0 光,到达对光线倾斜 45 角的半镀银镜面 M 上,被分成两束互相垂直的相干光。其中透 射部分沿 MM 2 方向前进,被镜 M 2 反射回来,到 M 上,再部分地反射后沿 MT 进行;反 射部分沿 MM 1 方行进行,被镜反射回来后再到达 M 上,光线部分透过,也沿 MT 进行。 这两束光在 MT 方向上互相干涉。 而在 T 处观察或摄影, 由于 MM 2 臂沿着地球运动方向, 臂 MM 1 垂直于地球运动方向,若 MM 2 = MM 1 = l ,地球的运动速度为 v ,则两束光回

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到 M 点的时间差为

l ?v? ?t ? ? ? c?c?

2

当仪器绕竖直轴旋转 90 0 角,使 MM 1 变为沿地球运动方向, MM 2 垂直于地球运动 方向,则两束光到达 M 的时差为

l ?v? ?t ' ? ? ? ? c?c?

2

我们知道, 当时间差的改变量是光波的一个周期 T1 时, 就引起一条干涉条纹的移动, 0 所以,当仪器转动 90 后,在望远镜 T 处看到的干涉条纹移动的总数为

?N ?

?t ? ?t ' 2l v 2 ? ? 2 T1 ? c ,
4 8

式中 λ 是波长,当 l=11 米, v ? 3 ?10 米 / 秒,c ? 3 ?10 米 / 秒 ,所用光波的波长

? ? 5.9 ? 10?7 米时, 则 △ N ≈ 0.4 ,这相当于在仪器旋转前为明条纹,旋转以后几乎变为
1 暗条纹。但是他们在实验中测得 △ N ≈ 100 ,而且无论是在白天、夜晚以及一年中的所
有季节进行实验, 始终得到否定的结果, 就是说光学的方法亦测不出所在参考系 (地球) 的运动状态。 P(x,y,z) yˊ y (x’,y’,z’)

§2 、 2

伽利略变换
O Oˊ ut z zˊ

? u

2 、 2 、 1 伽利略变换 ( 1 ) 如图 2-2-1 所示,有两个惯性 系 S 和 S ' , 它们对应的坐标轴相互平行, 且 当 t= t ' =0 时,两系的坐标原点 O ' 与 O 重 合。

图 2-2-1

设 S ' 系相对于 S 系沿 x 轴正方向以速度 u 运动。 同一质点 P 在某一时刻在 S 系中的时空坐标为 (x,y,z,t) ,在 S` 系中的时空坐标为 ( x’,y’,z’,t’ )

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? x' ? x ? ut ? y' ? y ? ? ?z' ? z ? ?t ' ? t



? ? ? r ' ? r ? ut 或

(1)

x=x +ut

'

? y ? y' ? ?z ? z' ?t ? t ' ?



? ? ? r ? r '?ut

式( 1 )称为伽利略时空坐标变换公式。 (2)将式( 1 )中的空间坐标分别对时间求一次导数得:

? ' dx' dx ?v x ? dt ? dt ? u ? v x ? u ? ? ' dy' ? vy ?v y ? dt ? ? ' dz' ?v z ? dt ? v z ?

即 v'? v ? u

?

?

dx dx' ? v ? ? ? u ? v1 x x ?u ? dt dt ? dy dy' ? ? ? v' y ?v y ? dt dt ? dz dz' ? ?v z ? dt ? dt ? v' z ? ? ? 或? 即 v ? v? ? u ?
式( 2 )称为伽利略速度变换公式。 ( 3 )将式( 2 )再对时间求一次导数得

( 2)

dv ? dv ? x ? a ? ? x ? ax x ? dt dt ? dv ?y dvy ? ? ? ay ?a ?y ? dt dt ? dv ? dv ? z ? z ? az z ? ?a ? dt dt ?

即 a? ? a

?

?

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( 3) 式( 3 )表明在伽利略变换下加速度保持不变。式( 3 )称为伽利略加速度变换公式。 2、 2、 2 经典力学的时空观 ( 1) ( 2) t= t ? ,或 Δ t= Δ t ?
2

?a x ? a ? x ? ?a y ? a ? y ? z ?a z ? a ?

? ? a ? a?

( 4)
2 2

(?x) ? (?y ) ? (?z ) ? Δ r?=

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 ,
2

(?x) 2 ? (?y ) 2 ? (?z ) 2 ? Δ r?=

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 。

? ? x1 ? ? ( x2 ? ut) ? ( x1 ? ut) ? x2 ? x1 , y2 ? ? y1 ? ? y2 ? y1 , 因 x2
( 5) 式( 4 )表明:在伽利略变换下,任何事件所经历的时间有绝对不变的量值,而与 参照系的选择(或观测者的相对运动)无关。式( 5 )表明:在伽利略变换下,空间任 何两点间的距离也有绝对不变的量值, 而与参照系的选择测得的同一事件的时间间隔和 空间任意两点间的距离都是绝对的不变量。 这就是经典力学的时空观或者称之为绝对时 空观。用牛顿本人的话来说:“绝对的真实的数学时间,就其本质而言,是永远均匀地 流逝着,与任何外界事物无关。”“绝对空间就其本质而应是与任何外界事物无关的, 它从不运动,并且永远不变。”按照这种观点,时间和空间是彼此独立、互不相关,并 且独立于物质和运动之外的某种东西。 2 、 2 、 3 、力学规律在伽利略变换下的不变性 ( 1 )伽利略变换下的牛顿第二定律

? ? z? 2 ? z1 ? z 2 ? z1 , 所以?r ? ?r

? 在 s 系中, ? F ? ma ? ? ? ? ma ? F ? ? S 在 系中,
( 2 )伽利略变换下的质点动量定理 在 s 系中,

?

?

( 6)

在 s` 系中, ( 3 )伽利略变换下的质点动能定理
? W外 ? ?Ek ?

? ? F dt ? m?v ? ? ? F ?dt ? ? m?v ?

?

( 7)

1 1 2 m v2 ? m v1 2 2 2 在 s 系中, 1 1 ? ? ?E ?k ? m v ? 2 ? m v ? 2 W外 ? 2 1 2 2 在 s`系中,
( 4 )伽利略变换下的功的公式 在 s 系中,

( 8)

? ? w ? ? F ? dr

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在 s`系中,

? 若 F 为质点所受的合外力,则有 ? ? w? ? w ? n?v ? u

? ? ? ? ? ? w ? ? F ? ? dr ? ? ? F ? dr ? ? w ? ? F ? u dt

( 9) ( 10 )

( 5 )伽利略变换下的动量守恒定律 在 s 系中,若

?F

?


n ? ? ? 0,则? M i vi ? 恒量( c) i ?1

对两个而点组成的封闭系统的一维动量传递问题则有

m1v10 ? m2 v20 ? m1v1 ? m2 v2 ? ? ? F ? F ? 外 ? 0,则 在 s`系中,若 ? 外

? m v? ? 恒量( c?)
i i i ?1

n

?

( 11 )

? ? ? c ? ? c ? u ? mi
i ?1

n

( 6 )伽利略变换下的机械能守恒定律 在 s 系中, W外 ? W非保内 ? 0,则E1 ? E2 在 s`系中, W外 ? W非保内 ? 0,则E1 ? E2 ( 12 ) 综上所述,力学规律在伽利略变换下具有不变性。即力学规律在不同的惯性参照系 中具有相同的形式,是规律的形式相同,而不是每一个物理量的数值在不同惯性系中都 相同。

?

?

?

?

§2 、 3

洛仑兹变换

2 . 3 . 1 、洛仑兹变换 如图 18-1-1 所示的两个惯性系:S 系和 S ′系。设同一事件的两组时空坐标分别为 ( X,Y,Z,t ) 和 ( X ?, Y ?, Z ?, t ?) 。按洛仑兹变换有

? X ? ? Y ( X ? ut) ?Y ? ? Y ? ? ?Z ? ? Z ? ?t ? ? ? (t ? u X ) ? c2 ?

( 13 )

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? X ? ? ( X ? ? ut ?) ?Y ? Y ? ? ? ?Z ? Z ? ? ?t ? ? (t ? ? u x?) ? c2 或?

式( 13 )称为洛仑兹坐标变换公式,式中

=1/

1?

u2 c 2 。请注意 t ? 是 X 和 t 的函

数, t 是 X ? 和 t ? 的函数,即时间不再与空间无关。 2. 3. 2、 洛仑兹速度变换公式

? ?v' x ? ? ? ? ?v' y ? ? ? ?v' x ? ? ?

uv ? dx ? ? ? (v x ? u ) / ?1 ? ( 2x )? dt c ? ? uvy dy ? ? u y / ? (1 ? 2 ) dt c uv dz ? ? u z / ? (1 ? 2x ) dt c

? uv' x ? dx ? ?v x ? dt ? (v' x ?u ) / ?1 ? ( 2 )? c ? ? ? ? uv' y dy ? ? (v' y / ? (1 ? 2 ) ?v y ? dt c ? uv' x ? dz ?v x ? dt ? v' x / ? (1 ? c 2 ) ? 或?

( 14 )

u 1 ? ( )2 c 式( 14 )中 =1/

§2 、 4 、相对论时空理论
2. 4. 1、 运动时钟延缓 亦称爱因斯坦延缓。我们考虑晶体振动这样一个物理 过程。 设晶体在 S ? 系中静止, 在静止系中测得晶体的振动周期为 ? 0 , 若 S ? 系匀速 v 相 对 S 系沿 x 轴运动,若晶体相邻两次达到振幅极大值的事件在 S 系中的坐标为 ( x 1 ,t 1 ) ,(x 2 ,t 2 ) , 在 S ? 系中为( x'1

? ),其中 x2 ? ),( x2 ? , t2 ? = x1 ? 。由洛仑兹变换可得 , t1

v 1 ? ? ? ? ? x1 ? )? ? ? t1 ?) (t 2 ? t1 ) ? 2 ( x2 ? (t 2 ? ? c ? v2 ? v2 1? 2 1? 2 t 2 - t1 = c c ? - t1? = ? 0 ,令 t 2 - t1 =t, 则 因为 t 2 1

?0
t=

1?

v2 c2

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这表示在 S ? 系中同地发生的两事件的时间间隔,由 S 系观察是延长了。 将同地发生的两事件换为事件发生处钟的读数, 就得到两个惯性系中时钟快慢的比 较。当 S ? 系中的一个钟通过 S 系的两个钟( S 系认为已校准的两个钟)时,S 系的钟所 记时间间隔比 S ? 系所记的大,即每一个惯性系都测得对它运动着的时钟变慢了。所有 发生在运动物体上的物理过程都具有这种延缓,因此它是时空的一种基本属性,与过程 的具体性质无关。这种延缓又称为时间膨胀或爱因斯坦延缓。 2. 4. 2、 运动尺度缩短 设一棍静止在 S ? 系中,沿 x ? 轴放置,且 S ? 系想对

? ,前端的坐 于 S 系以匀速 v 沿 x 方向运动。在 S ? 系的观察者观察,棍后端的坐标为 x1 ? ,棍对他没有运动,因此他测得棍长为 l 0 = x2 ? - x1 ? 。 S 系的观察者观察到在同一 标为 x2
时刻 t,棍后端的坐标为 x1 ,前端的坐标为 x2 ,则他测得棍长为 l = x2 - x1 ,根据洛仑兹 变换

x1 ? vt v2 1? 2 ?= x1 c , x 2 ? vt

?= x2

1?

v2 c2 . x2 ? x1 1? v2 c2 ,

两式相减,得

? ? x1 ?? x2



l ? l0 1 ?

v2 c2 . 1? v2 c 2 倍。这种现象称

这表示物体沿其长度方向运动时,其长度缩短为静止时的 为洛仑兹收缩。缩短是相对的,每一惯性系都测得对它运动着的物体沿运动方向的长度 要缩短。 运动物体沿运动方向的长度缩短是时空的一种基本属性,不但物体的长度缩短,物 体间的距离也要缩短,所以这种收缩不是物体内部结构的改变。 2. 4. 3、 相互作用的最大传播速度和因果律 由同时的相对性可知,事件 的先后次序与它们的空间位置和两惯性系间的运动状态有关。在经典的时空理论中,时 间的次序是绝对的。在相对论时空观中,是否事件的先后次序没有客观意义呢?显然不 是的,如果两事件有因果关系(如农样生产中,先播种后收获,人的先生后死),则它

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们的先后次序应当是绝对的, 不容颠倒, 这是事件先后这个概念所必须反映的客观内容。 相对论在什么条件下才与这个条件一致呢?

? , t1 ? ) 和 ( x2 ? , t2 ?) , 设两事件的时空坐标在 S 系中为 ( x1 , t1 ) 和 ( x 2 , t 2 ) , 在 S ? 系中为 ( x1 由洛仑兹变换有
? ? t1 ?? t2 (t 2 ? t1 ) ? v ( x 2 ? x1 ) c2 v2 1? 2 c .

如果两事件有因果关系,而且 t 2 > t1 ,由于它们的次序不能颠倒,必须在 S ? 系中观

? ? t1? 。这就要求 察时,亦有 t 2
t 2 ? t1 ?


v ( x 2 ? x1 ) c2 ,

v

因为 v ? c ,满足上式的条件是

x2 ? x1 ? c2 t 2 ? t1 .

x2 ? x1 ?c t 2 ? t1 .
x 2 ? x1 对于因果事件, t 2 ? t1 正是事件进展的速度,因此因果事件先后次序的绝对性对
相对论的要求是:所有物体的运动速度、讯号传输的速度是光速 c 。 同时的相对性 在惯性系 S 中异地同时发生两个事件:事件 1 ( x1 , t1 ),事件 2 ( x 2 , t 2 ) ,且 t1 ? t
2

(设 y, z 不变,故事件只用 x , t 表示)。在另一惯性系中看

? , t1 ? )与 2: ( x2 ? , t2 ? )。由洛仑兹变换关系 这两事件的时空坐标为 1 : ( x1
? ? t1 ?? t2 v ? ? (t 2 ? t1 ) ? 2 ( x2 ? x1 )? ? c ? v ? 1? 2 c 1 v ? ? ( x2 ? x1 ), 2 c2 v 1? 2 c = ? ? t1 ? 。就是说在 S 系中同时发生的两事件,在 S ? 系看却不同时, 只要 x 2 ? x1 ,则 t 2 1
2

即在某惯性系内不同地点同时发生的两事件, 对具有相对运动的另一惯性系内的观察者

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说来,他所测得的两个事件发生的时刻是不同的,同时是相对的。

§2 、 5 、相对论动力学基础
2 . 5 . 1 、 相对论质量

v v m ? m0 / 1 ? ( ) 2 ? ?m0 , ? ? 1 / 1 ? ( ) 2 c c 式( 18-18 )中 m0 为物体的静止质量, v 为物体的运到速度, c 为真空中的光速。
此式告诉我们在狭义相对论中物体的质量不再是一个恒量, 而是一个随速度变化的物理 量。当 v ? c 时, m ? ? ,而当 v ? c 时, m ? m0 。因此一个有限大小的力作用于静 止质量无论如何小的物体上,其速度不可能趋近于无限大,物体的极限速度为 c 。 2 . 5 . 2 、相对论能量

E ? mc ?
2

m0 c 2 v 1 ? ( )2 c

? ?m0 c 2

( 1 )物体的总能量 式( 18-19 )表明:一定的质量必定联系着一定的能量,反之一定的能量必定联系 着一定的质量。这个方程就叫做爱因斯坦质能(联系)方程。既然物体的质量与能量有 一定的对应关系,所以在相对论力学中质量守恒与能量守恒等价。 ( 2 )物体的静能 ( 3 )物体的相对论动能 ( 4 )质能变化方程:

E0 ? m0 c 2 Ek ? E ? E0 ? mc2 ? m0 c 2 ? (? ? 1)m0 c 2
?E ? ?m c2
上式告诉我们当物体的质量发生 ? m 的变化时,必同时伴随

2 着能量的变化 ?E ? ?m c 。 2 . 5 . 3 、相对论动量

? ? ? ? v p ? mv ? m0 v / 1 ? ( ) 2 ? ?m0 v c
2 . 5 . 4 、相对论能量、动量的关系 ( 1)

E 2 ? p 2c 2 ? E 20
2

若以 pc 、 E0 表示一直角三角形的两条直角边,则 E 必构成此直角三角形的斜边。

P ? Ev / c ( 2) 2 . 5 . 5 、相对论的动力学的基本方程

? ? ? d (mv ) dv ? dm ? F ? dt ? m dt ? v dt

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2 . 5 . 6 、相对论的速度叠加 由于时间和空间的相对性,对于物体的速度,在某一惯性系 S ? 内观测,要用 S ? 系 的时间和空间坐标表示;在另一惯性系 S 内观测,要用 S 系的时间和空间坐标表示。这 样,速度叠加公式就不再是绝对时空的速度叠加公式了。假如 S ? 和 S 两系的坐标轴相 平行, S ? 以速度 v 沿 x 轴而运动,一质点以 v ? 相对 S ? 沿 x ? 轴而运动,则相对 S ,其速 度u为

u?

这是相对论的速度叠加公式。如果 v ? ? c ,则 u<c ;如果 v ? ? c (光速),则 u=c 。 与相对论的时空概念相协调。

v ? v? 1 ? vv ? / c 2

§2 、 6 、广义相对论初步
狭义相对论在惯性系里研究物理规律,不能处理引力问题。 1915 年,爱因斯坦在数学家的协助下,把相对性原理从惯性系推广到任意参照系, 发表了广义相对论。 由于这个理论过于抽象, 数学运算过于复杂, 这里只做个大概描述。 2 . 6 . 1 、 非惯性系与惯性力 牛顿运动定律在惯性系里才成立,在相对惯性 系做加速运动的参照系(称非惯性系)里,会出现什么情况呢?例如,在一列以加速度

a1 做直线运动的车厢里,有一个质量为 m 的小球,
小球保持静止状态,小球所受合外力为零,符合牛顿 运动定律。相对于非惯性系的车厢来观测,小球以加 速度 - a1 向后运动,而小球没有受到其他物体力的作 用,牛顿运动定律不再成立。 不过,车厢里的人可以认为小球受到一向后的
1 。这样的力不是 力,把牛顿运动定律写为 f 惯 ? ?ma 其他物体的作用,而是由参照系是非惯性系所引起

的,称为惯性力。如果一非惯性系以加速度 a1 相对 惯性系而运动,则在此非惯性里,任一质量为 m 的
1 ,把惯性力 ? ma 1 计入在内, 物体受到一惯性力 ? ma 在非惯性里也可以应用牛顿定律。当汽车拐弯做圆周运动时,相对于地面出现向心加速

度 a1 ,相对于车厢人感觉向外倾倒,常说受到了离心力,正确地说应是惯性离心力,

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这就是非惯性系中出现的惯性力。 2 . 6 . 2 、 惯性质量和引力质量

根据牛顿运动定律,力一定时,物体的加速

度与质量成反比,牛顿定律中的质量度量了物体的惯性,称为惯性质量,以 m惯 为符号, 有

F ? m惯a
根据万有引力定律,两物体(质点)间的引力和它们的质量乘积成正比。万有引力 定律中的质量,类似于库仑定律中的电荷,称为引力质量,以 m引 为符号。 惯性质量和引力质量是两个不同的概念, 没有必然相等的逻辑关系, 它们是否相等, 应由实验来检验。本世纪初,匈牙利物理学家厄缶应用扭秤证明,只要单位选择恰当, 惯性质量和引力质量相等,实验精度达 10 。后来,人们又把两者相等的实验精度提高 到 10
?12

?8



设一物体在地面上做自由落体运动,此物体的惯性质量和引力质量分别为 m惯 和

m引 ,以 M 引 代表地球的引力质量,根据万有引力定律和牛顿第二定律,有
G M 引 ? m引 R2 ? m惯 g
,

式中 G 为万有引力常量, R 为地球半径, g 为物体下落的加速度。因为 m引 ? m惯 , 所以 g ? GM引 / R ,与物体的质量无关。这就是伽利略自由落体实验的结论。 既然惯性质量与引力质量相等,就可以简单地应用质量一词,并应用相同的单位。 质量也度量了物质的多少。 2 . 6 . 3 、 广义相对论的基本原理 爱因斯坦提出广义相对论,主要依据就是引 力质量和惯性质量相等的实验事实。既然引力质量和惯性相等,就无法把加速坐标系中
2

的惯性力和引力区分开来。 比如, 在地面上, 物体以 g ? 9.8 米

秒2 的加速度向下运动。
2

这是地球引力作用的结果。设想在没有引力的太空,一个飞船以 a ? 9.8 米 秒 做直线 运动(现在可以做到),宇航员感受到惯性 力,力的方向与 a 的方向相反,这时他完全 可以认为是受到引力的作用。匀加速的参照系与均匀引力场等效,这是爱因斯坦提出的 等效原理的特殊形式。因为引力质量和惯性质量相等,所以,在均匀引力场中,不同的 物体以相同的加速度运动。这也是伽利略自由落体实验的结果。它可一般叙述为:在引 力场中,如无其他力作用,任何质量的质点的运动规律都相同。这是等效原理的另一种 表述。 由于等效原理,相对于做加速运动的参照系来观测,任一质点的运动规律都是引力 作用的结果,具有相同的规律形式。爱因斯坦进一步假设,相对任何一种坐标系,物理 学的基本规律都具有相同的形式。这个原理表明,一切参照系都是平等的,所以又称为 广义协变性原理。 等效性原理和广义协变性原理是广义相对论的基本原理。 2 . 6 . 4 、 广义相对论的实验验证 在广义相对论的基本原理下,应建立新的

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引力理论和运动定律,爱因斯坦完成了这个任务。这样,牛 顿运动定律和万有引力定律成为一定条件下广义相对论的近 似规律。根据广义相对论得出的许多重要结论,有一些已得 到实验证实。下面介绍几例。 1 、日点的进动 按照牛顿引力理论,水星绕日作椭圆 运动,轨道不是严格封闭的,轨道离太阳最近的点(近日点) 也在做旋转运动,称为水星近日点的进动,如图 2-6-1 所示。 理论计算和实验观测的水星轨道长轴的转动速率有差异。牛 顿的引力理论不能正确地给予解释,而广义相对论的计算结

水星 图 2-6-1

果与观测值符合。爱因斯坦当年给朋友写信 y? y 说:“方程给出了进动的正确数字,你可以 想象我有多高兴,有好些天,我高兴得不知 怎样才好。” 2 、光线的引力偏折 在没有引力存在 的空间,光沿直线行进。在引力作用下,光 线不再沿直线传播。比如,星光经过太阳附 x 近时, 光线向太阳一侧偏折, 如图 2-6-2 所示。 图 2-6-3 这已在几次日蚀测量中得到了证实,证明广 义相对论的计算偏折角与观测值相符合。 3 、光谱线的引力红移 按照广义相对论,在引力场强的地方,钟走得慢,在引 力场弱的地方,钟走得快。原子发光的频率或波长。可视为钟的节奏。引力场存在的地 方,原子谱线的波长加大,引力场越强,波长增加的量越大,称这个效应为引力红移。 引力红移早已为恒星的光谱测量所证实。20 世纪 60 年代,由于大大提高了时间测量的 精度,即使在地面上几十米高的地方由引力场强的差别所造成的微小引力红移,也已经 精确地测量出来。这再一次肯定了广义相对论的正确性。 4 、引力波的存在 广义相对论预言,与电磁波相似,引力场的传播形成引力波。 星体作激烈的加速运动时,发射引力波。引力波也以光的速度传播。虽然还没有直接的 实验证据,但后来对双星系统的观测,给出了引力波存在的间接证据。 广义相对论建立的初期并未引起 人们的足够重视,后来在天体物理中 星球 δ 发现了许多广义相对论对天体物理的 太阳 预言,如脉冲星、致密 X 射线源、类 星体等新奇天象的发现以及微波背景 图 2-6-2 辐射的发现等。这些发现一方面证实 了广义相对论的正确性,另一方面也大大促进了相对论的进一步发展。 本章典型例题 例 1 、放射性物质的原子放射出两个沿相反方向运动的电子。在实验室中测出每个 电子的速率为 0.6c , c 是光速。 今以一个电子为参照物, 另一个电子的速率是多大? ( 1)

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用伽利略变换进行计算;( 2 )用洛仑兹变换进行计算。并指出哪个不合理。 解 : ( 1 )设向右运动的电子为 S ? 系,则按伽利略变换,在 S ? 系中看另一电子的 速度是 v=0.6c+0.6c=1.2c ,这与光速不变的实验事实相矛盾,所以是不合理的。 ( 2 )设实验室为参照系 S ,一个电子参照系为 S ? ,则 S ? 相对于 S 系的速度是 0.6c , 另一个电子相对于 S 系的速度为 -0.6c ,按洛仑兹变换,另一个电子相对于 S ? 系的速度
x ,则 是 u?

u? x ?

x?

vx ? v v 1 ? 2 vx c ?v?v v 1 ? 2 ( ?v ) c = ? 2v 2 2 = 1? v c
? ?0.88c

这就是说,以一个电子为参照物看另一个电子的速度是 0.88c < c ,即小于光速,与 实验相符合,是合理的。 例 2、有一条河宽为 l,其河水流速是 v,船相对河水的速度为 u ? ,且 u ? ? v 。今有 船 A 和 B 分别沿图 2-6-4( a )中所示路径往返一次,求各需要时间多少?哪条船需时长 些? 解 本题是经典力学问题,用力伽利略变换处和即可。设岸的坐标系为 S ,河水的 坐标系为 S ? ,如图 2-6-4( b )所示,若船相对岸的速度为 u ,则对于 A 船

l
l l
(a) 图 2-6-4 B A v

S?
v yˊ

S

y

u?

x?

O?
(b)

x

? ? ? u? ? u? xi ? u y j ,

u ? uxi ? u y j , u x ? 0 . ? x ? v ,则 u x ? v .而 由伽利略变换知 : u x ? u?

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? 2 ? u? 2 x )1 u y ? u? y ? (u
= (u ? ? v )
2 2 1 2

2

? v2 u ?? 1 ? ? u?2 = ?
所以 A 船往返一次所需时间为

? ? ? ?

1 2

tA ?

2l 2l ? u y u ?(1 ? v 2 u ? 2 )1

2

对于 B 船,相对于岸的往返速度 u x 分别为 u ? ? v 和 u ? ? v ,所以其往反一次所需要 的时间为

tB ?

l l 2l ? ? u ? ? v u ? ? v u ?(1 ? v 2 u ? 2 )
2

?1 ? ? 因为 u ? u ,所以 v u ? 1 . 按 (1 ? x)

和 (1 ? x) 展为幂级数的公式有

?1

tA ?

2l (1 ? v 2 u ? 2 ) ?1 2 u? 2l 1 v2 3 v4 (1 ? ? 2 ? ? 4 ? ?) 2 u? 8 u? = u? 2l t B ? (1 ? v 2 u ? 2 ) ?1 u? 2l v2 v4 (1 ? 2 ? 4 ? ?) u? u? = u?
所以

2l 1 v2 5 v4 tB ? t A ? ? ( ? 2 ? ? 4 ? ?) ? 0 u? 2 u? 8 u? ,

故 t B ? t A ,即 B 往返一次的时间比 A 船往返一次的时间要长。 例 3 、一个中微子在惯性系 S 中沿 +y 方向以光速 c 运动,求对 S 系以速度 v 沿 +x 方向运动的观察者 S 所观测到的中微子 S? y y? 的速度和方向怎 uy ? c 样? v O 解: 设运动观 察者为 S ? 系,他所 看到的中微子的速 x 图 2-6-5 Oˊ

xˊ 图

u? y, x, 度分量为 u ?

2-5

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u? z ,则按洛仑兹变换
ux ? v 2 u? x = 1 ? (v c )u x
= ? v(? u x ? 0),
2 1 u? y ? (1 ? ? ) 2

?

uy 1 ? (v c 2 )u x
2

(令

??

v c)

= (1 ? v
2 1 u? z ? (1 ? ? ) 2

c )

2 1 2

? c(?u y ? c)

?

因此,

? 0(? u z ? 0), 1 ? (v c 2 )u x u? ? (u? 2 x ? u ? 2 y ? u? 2 z )1 2

uz

? v 2 ? (1 ? v 2
? ? u? ?v x ?, ? tg ?1 ? 2 ? ? ? uy ? 1? ? ? c ? 即中微子运动方向与 O y ? 轴的夹角。 a ? tg ?1

?

c2 ) ? c2

?

1 2

? c,

即运动中的观测者测得中微子的速度仍是 c ,中微子的运动方向是

例 4 、试证明:物体的相对论能量 E 与相对论动量 P 的量值之间有如下关系: 证明: E - p c =(mc
2 2 2 2

) -(mvc)

2

2

2 2 m0 v v2 1 ? 2 2 2 2 c2 ( c 2 - v 2 ) =m c ( c - v )= 2 4 m0 c ( 2 2 2 2 2 2 4 = c ? v c - v )= m 0 c =E 0

? E 2 =p 2 c 2 + E 0
2

2 2
2 2

读者可试为之,从 E - E 0 入手证明它等于 p c 。

4 c 例 5 、一个静止质量为 m 0 的粒子以速率 v= 5 运动,它和一个同类的静止粒子进
行完全非弹性碰撞。求: ( 1 )复合粒子的速率。 ( 2 )复合粒子的静止质量。 解: 在微观领域相对论动量守恒、相对论能量守恒。故有

?m0 v ? m?v?



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?m0 c 2 ? m0 c 2 ? m?c 2
4 c v 2 5 5 ? ? 1/ 1 ? ( ) ? 1/ 1 ? ( ) 2 ? c c 3
将③代入②得: ③与④代入①得:



③ ④

5 8 m0 c 2 ? m0 c 2 ? m?c 2 , m? ? m0 3 3

5 4 8 c v? 4 3 ? / 1 ? ( ) 2 , 故可得m0 ? ? m0 ? c ? m0 v?, v? ? .而m? ? m0 m0 . 3 5 3 2 c 3 4 3 m c 2 即复合粒子的速率为 ,静止质量为 3 。
例 6 、求证:在伽利略变换下,质点动量定理具有不变性。 证明:在 S 系中,

两边同时作定积分得:

? ? ? ? ? dv d (mv ) ? ?F ? ma ? m ? , ?Fdt ? d (mv ) dt dt ? ? ? t v t ? ? ? 2 2 2 ? F dt ? d ( m v ) 即 ? F ? ?t ?v ?t dt ? mv2 ? mv1 , 1 1 1
这就是 S 系中质点的动能定理的数学公式。在 S ? 系中

? ? ? ? ? ? dv ? (mv ?) ? ?F ? ma ?, ?F ? m ? ? , ?F ?dt ? ? d (mv ?) dt dt ? ? ? ? t v ? t ? ? ? ? mv1? ? 2 dmv?, ? 2 ?Fdt ? ? mv2 ?t 2 ?Fdt ? ? ?v t 1 1 两边同时作定积分可得: 1 这就是 S ? 系中的质点动量定理的数学公式。为回避高等数学,可设一质量为 m 的
质点沿 x 轴正方向,在平行于 x 轴的恒定的合外力 F 作用下作匀加速直线运动。经过时 间 t,速度从 v1 增大到 v2 ,根据牛顿第二定律在 S 系中有

F ? ma? m?
整理得:

? ? v1 v2 t Ft ? mv2 ? mv1

这就是 S 系中的质点动量定理。在 S ? 系中,

? ? v1 ? ? (v2 ? u) ? (v1 ? u) ? v2 ? v1 , t ? ? t F ? ? F , v2 ? ? mv1 ? F ?t ? ? mv2 即
此即 S ? 系中的质点动量定理。 例 7 、一个静止质量为 M 的物体静止在实验室中,裂变为静止质量为 m1 和 m2 的两 部分,试求裂变产物的相对论动能 E K 1 和 EK 2 。

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解:根据相对论能量守恒有 化简得: 根据相对论动量守恒有

MC 2 ? ? 1m1C 2 ? ? 2 m2C 2

?1 ?

1 ?M ? ? 2 m2 ? m1

① ②

O ? ? 1m1v1 ? ? 2 m2 v2
v c c

? ? 1/ 1 ? ( ) 2 , v ?
但 将 代入②式化简得 :

?
c

? 2 ? 1,
2 ?2 ?1

v1 ?

c

?1

? 12 ? 1



v2 ?

?2

2 m1 ? 12 ? 1 ? m2 ? 2 ?1



由①、③两式可解得:

r1 ? (M 2 ? m 21 ? m 2 2 ) / 2Mm1 , r2 ? (M 2 ? m2 2 ? m21 ) / 2Mm2 ,
Ek1 ? (? 1 ? 1)m1C 2 ? C 2 ? (M ? m1 ) 2 ? m2 2 / 2M ;
Ek 2 ? (? 2 ? 1)m2C 2 ? C 2
2 2

? ?(M ? m )

? m21

? ?/ 2M .

例 8 、爱因斯坦的“等效原理”指出,在不十分大的空间范围和 时间间隔内,惯性 系中引力作用下的物理规律与没有引力但有适当加速度的非惯性系中的物理规律是相 同的。现在研究以下问题。 ( 1 )试从光量子的观点出发,讨论在地面附近的重力场中,由地面向离地面的距 离为 L 处的接收器发射频率为 v0 的激光与接收器接收到的频率 v 之间的关系。 ( 2 )假设地球物体没有引力作用,现在一以加速度 a 沿直线做匀加速运动的箱子 中做一假想实验。在箱尾和箱头处分别安装一适当的激光发射器和激光接收器,两者间 的距离为 L,现从发射器向接收器发射周期为 T0 的激光。试从地面参考系的观点出发, 求出位于箱头处的接收器所到的激光周期 T 。 ( 3 )要使上述两个问题所得到的结论是完全等价的。则问题( 2 )中的箱子的加速 度的大小和方向应如何? 解: 面到达接收器时,增加的重力势能为 mgh 。由能量守恒得 ( 1 )对于能量为 hv0 的光子,其质量

m?

hv0 c 2 ,在重力场中,当该光子从地

hv0 ? hv ? m gl ? hv ?


hv0 ? gL c2
v 0 ? v (1 ? gL ) c2

v ? v 0 (1 ?

gL ) c2

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( 2 )设 t=0 时刻,箱子从静止开始加速,同时,激光光波的某一振动状态从发射 器发出,任何时刻 t,发射器和接收器的位置分别为

1 2 at 2 1 x ? L ? at 2 2 x?
所考察的振动状态的位置和比该振动状态晚一个周期 T0 的振动状态的位置分别为: x=ct

x?

1 2 aT0 ? c(t ? T0 ) 2
1 2 at1 2

设所考察的振动状态在 t1 时刻到达接收器,则有

ct 1 ? L ?

解得

t1 ?

c 2aL (1 ? 1 ? 2 ) a c

比所考察的振动状态晚一个周期 T0 发出的振动状态到达接收器的时刻为 t 2 ,则有

1 1 2 2 aT0 ? c(t 2 ? T0 ) ? L ? at 2 2 2
解得 接收器接收到的激光的周期为 T=t 2 -t 1

t2 ?

c 2aL 2aT0 a 2T0 (1 ? 1 ? 2 ? ? 2 ) a c c c

2

2aL 2aL 2aT0 a 2T02 c 1? 2 ? 1? 2 ? ? 2 ) c c c c =a(
2aT0 c 2aL c ) ? 1 ? 2 ? (1 ? 1 ? 2aL a c 1? 2 c ? ? ? ? aT c aL 1 ? (1 ? 2 ) ? ?1 ? (1 ? 0 ? )? 2aL a c c ? 1? 2 ? ? c ? ? ? c aL ? aT 2aL ? ? (1 ? 2 ) ? 0 (1 ? 2 )? a c ? c c ?

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c aT0 2a 2 LT0 a 2 LT0 2a 3 L2T0 ?( ? ? ? ) a c c3 c3 c3 c aT a 2 LT0 ? ?( 0 ? ) a c c3 aL ? T0 (1 ? 2 ) c gL T ? T0 (1 ? 2 ) c ( 3) ?
比较上述两式得 a=g ,即“箱子”的加速度 a=g 方向竖直向上。 例 9 、考虑不用发射到绕太阳运动的轨道上办法,要在太阳系建立一个质量为 m 的 静止空间站。这个空间站有一个面向太阳的大反射面(反射系数为 1 ),来自太阳的辐 射功率 L 产生的辐射压力使空间站受到一个背离太阳的力,此力与质量为 M s 的太阳对 空间站的万有引力方向相反,大小相等,因而空间站处于平衡状态。忽略行星对该站的 作用力,求: ( 1 )此空间站反射面的面积 A 。 ( 2 )平衡条件和太阳与空间站之间的距离是否有关? ( 3 )设反射面是边长为 d 的正方形,空间站的质量为 10 千克,确定 d 之值。已 知太阳的辐射功率是 3.77 ? 10 瓦。太阳质量为 1.99 ? 10 千克。 解 : ( 1 )设空间站与太阳的距离为 r ,则太阳辐射在空间站反射面上单位面积内
26 30 6

的功率即光强 果,这一光压为

??

L 4?r 2 ,太阳光对反射面产生的压强是光子的动量传递给反射面的结

P?

2? L ? c 2?r 2 c F辐射 ? PA ? L A 2?r 2 c M m ? G s2 r

于是反射面受到的辐射压力

太阳对空间站的万有引力为

F引力

式中 G 为万有引力常数,在空间站处于平衡状态时 , F引力 ? F辐射 , 即

G

MSm L ? A, 2 r 2?r 2 c
2?GM S m c . L
2

这就得到,反射面的面积

A?

( 2 )由上面的讨论可知,由于辐射压力和太阳引力都与 r 成反比,因而平衡条件

与太阳和空间站的距离 r 无关。 ( 3 )若 A= d 。并以题给数据代入前式得到
2

d?

2?GM S m c L


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