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五年高考三年模拟(数学)-极限


第三节
第一部分

极限
五年高考荟萃

2009 年高考题
一、选择题
1、 (09 重庆理 8)已知 lim(
x ??

2 x2 ? ax ? b) ? 2 ,其中 a, b ? R ,则 a ? b 的值为 x ?1
C. 2 D. 6

r />(



A. ? 6 【解析】

B. ?2

2 x 2 ? ax 2 ? ax ? bx ? b (2 ? a) x 2 ? (a ? b) x ? b lim ? lim lim x ?? x ?? x ?? x ?1 x ?1

(2 ? a) x ? (a ? b) ? 1 ?1 x

b x ?2

?2 ? a ? 0 则? , 解得a ? 2, b ? ?4, 故a ? b ? 2 ? (?4) ? 6 ??(a ? b) ? 2
答案 D 2、 (09 湖北理 6)设 (

2 ? x)2 n ? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ... ? a2 n?1 x 2 n ?1 ? a2 n x 2 n , 2
2 2

则 lim[(a0 ? a2 ? a4 ? ... ? a2 n ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a2 n ?1 ) ] ?
n ??





A.-1

B.0

C.1

D.

2 2

【解析】令 x ? 0 得 a0 ? ( 令 x ? ?1 时 (

2 2n 1 2 ) ? n 令 x ?1时( ? 1) 2 n ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a2 n 2 2 2

2 ? 1) 2 n ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a2 n 2

两式相加得: a0 ? a2 ? ? ? ? ? a2 n ?

(

2 2 ? 1)2 n ? ( ? 1)2 n 2 2 2 ( 2 2 ? 1)2 n ? ( ? 1)2 n 2 2 2

两式相减得: a1 ? a3 ? ? ? ? ? a2 n ?1 ? 代入极限式可得,故选 B 答案 B

二、填空题 3、 (09 陕西理 13) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 ? S3 ? 12 ,则 lim
Sn ? n ?? n 2
.

?a6 ? 12 ?a1 ? 5d ? 12 ?a1 ? 2 S S n ?1 n ?1 解析: ?? ?? ? S n ? n(n ? 1) ? n ? ? lim n ? lim ?1 ? 2 2 n ?? n ?? n n n n ?d ? 2 ?a1 ? d ? 12 ? s3 ? 12

答案

1

2005—2008 年高考题
一、选择题 1、 (2007 年江西) lim
x ?1

x3 ? x 2 x ?1
B.等于 1 C.等于 3

( D.不存在
p



A.等于 0 答案 B

? 1? ?1 ? ? ? 1 n? 2、 (2007 年湖北) 已知 p 和 q 是两个不相等的正整数, 且 q≥2 , 则 lim ? ?( ) q n→? ? 1? ?1 ? ? ? 1 ? n?
A.0 答案 C 3、 (2006 湖南)数列{ an }满足: a1 ? B.1 C.

p q

D.

p ?1 q ?1

1 ,且对于任意的正整数 m,n 都有 am?n ? am ? an ,则 3
( )

lim(a1 ? a2 ?
n ??

? an ) ?
B.

A.

1 2

2 3

C.

3 2

D.2

【解析】数列 {an } 满足: a1 ?

a m? n

1 , 且对任意正整数 m, n 都有 3 1 1 1 ? am ? an a2 ? a1?1 ? a1 ? a1 ? , an ?1 ? an ? a1 ? an ,∴数列 {an } 是首项为 , 3 9 3
1 a1 1 ? ,选 A. 的等比数列。 lim ( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? n ? ?? 3 1? q 2

公比为

答案 A 4、 (2005 年全国Ⅱ理 5) lim ? ?
x ?1

1 2 ? ? 2 ?? ? x ? 3x ? 2 x ? 4 x ? 3 ?
2

(

)

A ?

1 2
2

B

1 2

C ?

1 6

D

1 6

【解析】 lim ? ? x ?1

? ? 1 2 1 2 ? ? ? 2 ? ?? ? ? lim x ? 1 ? x ? 3x ? 2 x ? 4 x ? 3 ? ? ( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 1)( x ? 3) ?

lim

?( x ? 1) ?1 1 ? lim ? ? ,选(A) x ?1 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) x ?1 ( x ? 2)( x ? 3) 2

答案 A

二、填空题 5、 (2008 上海 2)计算: lim 答案

3n ? 1 ? n ?? 3n ?1 ? 2 n

.

1 3
n ??

6、 (2007 年全国Ⅱ理 16) 已知数列的通项 an=-5n+2,其前 n 项和为 Sn, 则 lim 答案

Sn = n2

.

-

5 2 S 5 n( ?5n ? 1) ,则 lim n =- . 2 n ?? n 2 2

【解析】数列的通项 an=-5n+2,其前 n 项和为 Sn 7、 (2006 天津)设函数 f ? x ? ? 量 an ? A0 A 1?A 1A 2?

1 ,点 A0 表示坐标原点,点 An ?n, f ?n?? n ? N * ,若向 x ?1 ? (其中 i ? ?1,0? ) ,设 ? An?1 An ,?n 是 an 与 i 的夹角,
n ??

?

?

S n ? tan?1 ? tan? 2 ? ? ? tan? n ,则 lim S n =
【解析】函数 f ? x ? ?



1 ,点 A0 表示坐标原点,点 An ?n, f ?n?? n ? N * ,若向量 x ?1

?

?

an ? A0 A1 ? A1 A2 ?
?

1 1 tan ? n ? n ? 1 ? (其 ? n 是 an 与 i 的夹角, ? An?1 An = A0 An , n n(n ? 1)

中 i ? ?1,0? ) ,设 S n ? tan?1 ? tan? 2 ? ? ? tan? n 则 lim S n =1.
n ??

1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3

?

1 1 ? 1? , n(n ? 1) n ?1

答案 1 8、 (2005 年上海 2) lim 答案 0 三、解答题 9、 (2007 年辽宁)已知数列 {an } , {bn } 与函数 f ( x ) , g ( x) , x ? R 满足条件:
n?? 1 ?

n?2 ? 2 ? ?? n

.

an ? bn , f (bn ) ? g (bn?1 )(n ? N*) .
,t ? 0, t ? 2 , g ( x) ? 2 x , f (b) ? g (b) , lim a 存在,求 x 的取 (I)若 f ( x) ≥ tx ? 1 n
n ??

值范围;
?1 (II)若函数 y ? f ( x) 为 R 上的增函数, g ( x) ? f ( x) , b ? 1 , f (1) ? 1 ,证明对任意

n ? N * , lim an (用 t 表示) .
n ??

(Ⅰ)解法一:由题设知 ?

?a n ?1 ? tbn ? 1 ? 1 t 得 a n ?1 ? a n ?1 ,又已知 t ? 2 ,可得 2 ? a n ? 2bn ?1 ,

a n ?1 ?

2 t 2 ? (a n ? ). t?2 2 t?2

由 f (b) ? g (b), t ? 2, t ? 0, 可知a1 ?

2 t t 2 ? ? ? tb ? ? 0, ? 0, 所以?an ? ? t ?2 t ?2 2 t ? 2? ?

t t , 公比为 .于是 t?2 2 2 t t n ?1, t t t an ? ? (tb ? )( ) 即a n ? (tb ? )( ) n ?1 ? . t?2 t?2 2 t?2 2 t?2 t 又 liman 存在,可得 0< | | <1,所以-2<t<2 且 t ? 0. 2 2 lim a n ? . n ?? 2?t 解法二.由题设知 tbn+1=2bn+1,且 t ? 2. 可得 1 t 1 bn ?1 ? ? (bn ? ). t?2 2 t?2

是等比其首项为 tb ?

由 f (b) ? g (b), t ? 2, t ? 0, 可 知 b ?

1 t ? 0, ? 0 , 所 以 t?2 2

1 ? ? ?bn ? ? 是首项为 t ? 2? ?

1 t ,公 的等比数列. t?2 2 1 1 t 1 t 1 bn ? ? (b ? )( ) n ?1 ,即bn ? (b ? )( ) n ?1 ? . t?2 t?2 2 t?2 2 t ?2 b?
由 an ? 2bn?1 可知,若 lim a n 存在,则 lim bn 存在.于是可得 0< |
n ?? n ??

t | <1,所以-1< 2

t? 0.

lim a n =2 lim bn ?
n ?? n ??

2 . 2?t

解法三:由题设知 tbn+1=2bn+1,即

bn ?1 ?
于是有

t 1 bn ? , ① 2 2 t 1 bn ?1 ? , ② 2 2 t (bn ?1 ? bn ), 令c n ? bn ?1 ? bn , 得 2

bn ? 2 ?

②-①得 bn ? 2 ? bn ?1 ?

c n ?1 ?

t cn . 2

由 f (b) ? g (b), t ? 2, t ? 0可知 c1 ? b2 ? b1 ?

(t ? 2)b ? 1 t ? 0, ? 0 ,所以 ?cn ? 是首 2 2

项为 b 公比为

t 的等比数列,于是 2

t 1 ? ( )n 2 (b ? b ) ? b. bn?1 ? (c1 ?c 2 ? ?? ? cn ) ? b1 ? 2 1 t 1? 2 t 4[1 ? ( ) n ] 2 (b2-b1)+2b. an ? 2bn?1 ? 2?t t 又 lim a n 存在,可得 0< | | <1,所以-2<t<2 且 t ? 0. n ?? 2 4 2 lim a n ? (b2 ? b1 ) ? 2b ? . n ?? 2?t 2?t
说明:数列 ?an ? 通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一,其他过程和结果参照以 标准. (Ⅱ)证明:因为 g ( x) ? f
?1

( x),所以an ? g (bn?1 ) ? f ?1( bn?1 ),即bn?1 ? f (an ) .

下面用数学归纳法证明 a n ?1 < an(n ? N*) . (1)当 n=1 时,由 f(x)为增函数,且 f (1) <1,得

a1 ? f (b1 ) ? f (1) <1 b2 ? f (a1 ) ? f (1) <1 a2 ? f (b2 ) < f (1) ? a1 ,
即 a2 < a1 ,结论成立. (2)假设 n=k 时结论成立,即 a k ?1 < ak .由 f(x)为增函数,得

f (ak ?1 ) <f ak 即 b k ? 2 < bk ?1 进而得 f (ak ?1 ) <f( bk ?1 )即 ak ?2 < a k ?1 .
这就是说当 n=k+1 时,结论也成立. 根据(1)和(2)可知,对任意的 (n ? N*) , a n ?1 < an .

第二部分

三年联考汇编

2009 年联考题
一、选择题 1 、 ( 2 0 0 9 年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 理 ) lim
x ?2

A.0

B.1

C. ?

1 2

x?2 的值为 x2 ? 6 x ? 8 1 D. 3

(

)

答案 C n 2、(湖北省八市2009年高三年级三月调考理)若(1+5x) 的展开式中各项系数之和为 an,(7x2
n lim +1) 的展开式中各项的二项式系数之和为 bn,则 n ??

an ? 2bn 的值是 3an ? 4bn
D.-





A. 答案

1 3
A

B.

1 4

C.1

1 2

3、 (2009 衡阳四校联考) 若 lim
x?2

x 2 ? ax ? 2 ? P(P∈R, P 为常数) , 则 a 和 P 的值分别为 ( x2 ? 4
B. 1,



A. 0, 答案

1 2
D

3 4

C.

1 1 , 2 2

D. ? 1 ,

3 4

4、 (2009 牟定一中期中)若 lim
x ?1

x2 ? 6 x ? 5 1 1 1 1 ? a, 则 lim( ? 2 ? 3 ? 4 2 n ?? a x ?1 a a a
( C. ?

?

1 )的 an


值为 A. -2 B. ?

1 3

1 2

D. ? )

7 12

答案 B 5、 (2009 宣威六中第一次月考)下列命题不正确 的是( ... A.如果 f (x) = 1

x
x

,则 lim f (x) = 0
x?+ ?

B.如果 f (x) = 2 -1,则 lim f (x) = 0
x?0

C.如果 f (n) =

n 2-2n ,则 lim f (n) 不存在 n?? n + 2
?

D.如果 f (x) = ? 答案 D

x , x≥0 ,则 lim f (x) = 0 x?0 ? x + 1,x < 0

6、 (2009 宣威六中第一次月考) lim[(2n ? 1) an ] ? 2 ,则 lim nan ? ( )
n ?? n ??

A. 1 答案 A

B.

1 2

C.

1 3

D. 0

二、填空题 7、 (2009 上海十四校联考)如图,在杨辉三角中,斜线上方 的数组成数列: 1,3,6,10,?,记这个数列的前 n 项和为 Sn,

n3 则 lim = n ?? S n

.

答案 6 8、 (2009 上海奉贤区模拟考)已知各项均为正数的等比数列

{an } 的首项 a1 ? 1 ,公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若 lim
围是 答案 。

S n?1 ? 1 ,则公比为 q 的取值范 n ?? S n

(0, 1]
2

9、 (2009 闵行三中模拟)若实数 a 满足 a ? 2a ? 3 ? 0 ,则 lim 答案 3 10.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)若 (2 ?
x

3n ?1 ? a n ? ____________. n ?? 3n ? a n

2 9 ) 展开式的第 7 项为 42 ,则 2

lim( x ? x 2 ? ? ? x n ) =
n ??



答案 2 11. (北京市丰台区 2009 年 3 月高三统一检测理) 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若

a1 ? 2 , a4 ?
答案 4

1 ,则 lim S n = n?? 4



12、 (2009 厦门一中)若函数 f ( x ) 在 x ? x0 处的 f '( x) ? 2 ,则 lim
k ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 等于 k

_______________ 答案 -2 13. (湖北省 2009 年 3 月高三八校第二次联考理科) 设 an 是 3 ? x

?

? 的展开式中 x 项的系
n

? 32 33 数( n ? 2 、 3 、 4 、?) ,则 lim ? ? ? n ?? a ? 2 a3
答案 18

?

3n an

? ? ? ________. ?

14、 (2009 张家界市 11 月考)已知 lim 虚数单位) 答案 1-i.

x?a x ?1

x ?1 3

? b ,则 a 2008 ? i b =

(其中 i 为

15、 (2009 上海闸北区)若 (2 x ? 1) 展开式的第 9 项的值为 12,则
9

lim( x ? x 2 ? ? ? x n ) =
n ??



答案 2

3 16、 (2009 上海九校联考)设常数 a >0, ( ax ? ) 的展开式中, x 的系数为 ?
5

1 x

5 , 81

则 lim(a ? a ?
2 n ??

? an ) ?

答案

1 2

17、 (2009 宣威六中第一次月考) lim 答案 -3 三、解答题

2n ?1 ? 3n ?1 = n ?? 2 n ? 3n

.

18、 (2009 冠龙高级中学 3 月月考)由函数 y ? f ? x ? 确定数列 ?an ? , an ? f ? n ? ,函数

y ? f ? x? 的反函数 y ? f ?1 ? x ? 能确定数列 ?bn ? , bn ? f ?1 ? n? ,若对于任意 n ? N * ,
都有 an ? bn ,则称数列 ?bn ? 是数列 ?an ? 的“自反数列” 。 (1)若函数 f ? x ? ?

px ? 1 确定数列 ?an ? 的自反数列为 ?bn ? ,求 ?an ? 的通项公式; x ?1

(2)在(1)条件下, 记

n 1 1 1 ? ?? x1 x 2 xn

为正数数列 ?xn ? 的调和平均数, 若 dn ?

2 ?1 , an ? 1

Sn 为数列 ?dn ? 的前 n 项和, H n 为数列 ?Sn ? 的调和平均数,求 lim
(3)已知正数数列 ?Cn ? 的前 n 项之和 Tn ? 解 (1) 由题意的:f –1(x)=

Hn ; n ?? n

1? n ? ? Cn ? ? 。求 Tn 的表达式。 2? Cn ?

px ? 1 ? n ?1 1? x = f(x)= ,所以 p = –1,所以 an= x ?1 n ?1 x? p

(2) an=

? n ?1 2 ,dn= ? 1 =n, n ?1 an ? 1 n( n ? 1) ,又 Hn 为数列{Sn}的调和平均数, 2
n 2 2 2 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)
= ( n ? 1)
2

Sn 为数列{dn}的前 n 项和,Sn=

Hn=

n 1 1 1 ? ?? S1 S 2 Sn

=

lim
n ??

Hn n ?1 1 = lim = n ? ? 2n 2 n

(3) 因为正数数列{cn}的前 n 项之和 Tn=

1 n (cn+ ), 2 cn

所以 c1=

1 1 (c1+ ),解之得:c1=1,T1=1 2 c1

当 n≥2 时,cn = Tn–Tn–1,所以 2Tn = Tn–Tn–1 +

n , Tn ? Tn ?1

Tn +Tn–1 =

n ,即: Tn2 ? Tn2 ?1 = n, Tn ? Tn ?1

2 2 2 2 2 所以, Tn2 ?1 ? Tn?2 = n–1, Tn?2 ? Tn ?3 = n–2,……, T2 ? T1 =2,累加得:

Tn2 ? T12 =2+3+4+……+ n,

Tn2 =1+2+3+4+……+ n =

n( n ? 1) n(n ? 1) ,Tn= 2 2 1 * . 对任意 n ? N ,向 量 4

19、 ( 2009 上海普陀区) 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a3 ?

1? ? a ? ?1, an ? 、 b ? ? an?1 , ? 都满足 a ? b ,求 lim S n . n ?? 2? ?
解 因为 a ? b ? a ? b ? 0 ,所以由条件可得 an ?1 ? ?

an * , n?N . 2

1 的等比数列. 2 a a 1 2 ? 1,所以, lim Sn ? 1 ? 又 a1 ? 3 ? . 2 n?? q 1? q 1? 1 3 2
即数列 ? a n ?是公比 q ? ?

9 月份更新
1.(2009 上海八校联考)?an ? 是无穷数列,已知 an 是二项式 (1 ? 2 x)n (n ? N *) 的展开式各 项系数的和,记 Pn ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ,则 lim Pn ? _______________。 n ?? an

答案

1 2
(1 ? n ? 2009 ) ?1 , ? , 1 n ? 2009 ? 2?( ) . (n ? 2010 ) ? 3 ?

2.(2009 上海青浦区)已知数列 ?a n ? ,对于任意的正整数 n , an ? ?

设 Sn 表示数列 ?a n ? 的前 n 项和.下列关于 lim S n 的结论,正确的是????????
n ? ??



) . A. lim Sn ? ?1
n???

B. lim Sn ? 2008
n???

C. lim S n ? ? n ? ?? 答案 B

(1 ? n ? 2009) ?2009 , ( n? N * ) ?? 1 . (n ? 2010)

D.以上结论都不对

3 3.(2009 上海九校联考)设常数 a >0, ( ax ? ) 的展开式中, x 的系数为 ?
5

1 x

5 , 81

则 lim(a ? a ?
2 n ??

? an ) ?

答案

1 2

2007—2008 年联考题
一、选择题 1、 (2008 荆门市实验高中测试) lim 等于 A.1

an 2 ? bn ? c n ?? an 2 ? 2n ? 1
( ) C. c

b B. 2

b D.1 或 2
( )

答案 D 2、 (2008 荆门市实验高中测试)下列极限存在的是 ① lim

1 x ?? x 2

② lim

1 x?0 x

③ lim B.②③

1 x ?1 ④ lim 2 x ?1 x ? 1 x ?? 3 x ? x ? 2
2 2

A.①②④ 答案 C

C.①③

D.①②③④

3、 (2008 荆门市实验高中测试)已知 a,b 时互不相等的正数,则 lim 等于 A.1 答案 B B.1 或-1 C.0

a n ? bn n ?? a n ? b n
( )

D.0 或-1

4、 (淮南市部分重点中学 2007 年高三数学素质测试) 设 f ( x) ? ? 存在,则常数 b 的值是 A.0 .答 案 B B.1 C.-1

?2 x ? b( x ? 0) , 若 lim f ( x) x x ?0 ?e ( x ? 0)
( D.e )

a b 5、 (巢湖 2007 二模)若 lim ( ( ) ? ) ? 1 ,则常数 a, b 、的值为 x ?1 1 ? x 1? x 2 A. a ? ?2, b ? 4 , B. a ? 2, b ? ?4 , C. a ? ?2, b ? ?4 , D. a ? 2, b ? 4 .答 案 C

6、(皖南八校 2007 届一联) lim( x ? 1 ?
2 x ??

x 2 ? x 的值为
C.-

( D.



A.0 .答 案 C

B.不存在

1 2

1 2

7、 (南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练)已知数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,
4? ?则这个数列的第 2006 个数是 A 62 B.63 C 64 D 65 ( )

答案

B

8、 (南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练)函数 f(x)=

x1 ? x 2 x2 ?1

的不连续

点为 ( ) A x= ? 1 B x=1 C x= ? 1 D 以上答案都不对 答案 A 9、 (南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练)用数学归纳法证明命题时,此命题

1 1 1 1 ? ? ? ? n ,则 n=k+1 与 n=k 时相比,左边应添加 2 3 4 2 ?1 1 1 1 1 ? k ?1 A. k ?1 B. k ? k 2 ?1 2 2 ? 1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 ? k ? ? k ?1 C. k ? k D. k ? k ?1 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?1 2 2 ?1
左式为 答案 C 二、填空题 10、 (2008 荆门市实验高中测试) 若 lim
n ??

(

)

1 ? 1, 则常数a ? n( n ? a ? n)



.答 案

2
x?

11、 (2008 荆门市实验高中测试) lim
?
2

sin 3 x ? 2sin 2 x ? 1 ? _____________。 sin x ? 1

答案

-1

sin 3 x ? 2sin 2 x ? 1 ? _________。 12、 (2008 宣威六中高三数学测试) lim ? sin x ? 1 x?
2

答案

-1

13、 (安徽宿州三中 2007 年三模)已知 lim
x ?3

x3 ? ax 2 ? x ? 3 a n ? bn?1 ? b ,则 lim n?1 n ? n ?? a x ?3 ?b



答案 -8 三、解答题

sin 2 x ? 2 cos 2 x 14、 (2008 荆门市实验高中测试)求 lim ? cos x ? sin x x?
4



sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ? ?2 cos x ?原式 ? lim ? ?2cos x ? ? ?2cos ? ? 2 ? cos x ? sin x 4 x?
4

15、 (2008 荆门市实验高中测试)已知 lim

3n 3
n ?1

n ??

? ? a ? 1?

n

?

1 ,求 a 的取值范围. 3

解 依题意有: lim
n ??

1 ? a ?1 ? 3?? ? ? 3 ?
n

?

1 3

? a ?1 ? ? lim ? ? ?0 n?? ? 3 ?

n

?

a ?1 ? 1??4 ? a ? 2 3

16、 (南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练)已知递增等比数列{an}满足:a2+a3+a4 =28 且 a3+2 是 a2 和 a4 的等差中项, ⑴求数列{an}的通项公式; ⑵若 bn ?

1 ,Sn=b1+b2+?+bn,求 lim S n n ??? log 2 an ? log 2 (4an )

解 : (1)设公比为 q ,则 q ? 1 。

1 ? ?a2 (1 ? q ? q 2 ) ? 24 ?q ? 2 ? ?q ? 据题意得: ? ?? 或? 2 (舍去) 2 ? ?a2 ? 4 ?a ? 16 ?2(a2 q ? 2) ? a2 ? a2 q ? 2
所以 an ? 2n (2)因为 bn ? 所以 S n ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n?2 log 2 2 log 2 2 n(n ? 2) 2 n n ? 2
n

1 1 1 1 (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 3 故 lim S n ? n ??? 4
17、(南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练) 数列 ?an ?中,前n项和sn ?

an 1 ? ? 1且an ? 0, n ? N * 2 an

(1)求 a1, a2并猜想an的表达式 (2)证明猜想的正确性 解 : ?1? n ? 1时a1 ? s1 ?

a1 1 ? ?1 2 a1

? a12 ? 2a1 ? 2 ? 0, 又a1
猜想 an ? 2n ?1 ? 2n ?1

0, 则a1 ? 3 ?1

同理得, a2 ? 5 ? 3

(2)证明:n=1 时, a1 ? 3 ? 1 假设 n=k 时,猜想正确,即 ak ? 2k ?1 ? 2k ?1

又 ak ?1 ? sk ?1 ? sk ?

ak ?1 a 1 1 ? ? k? 2 ak ?1 2 ak

? ak ?1 ? 2k ? 3 ? 2k ? 1 ? 2 ? k ? 1? ? 1 ? 2 ? k ? 1? ? 1
即 n=k+1 时也成立

?对n ? N *都有an ? 2n ?1 ? 2n ?1
18、 (南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练)函数 f ( x ) ? 且 lim f (? n) ? 0(n ? N ).
n ??

1 的定义域为 R, 1 ? a ? 2 bx

(1)求证: a ? 0, b ? 0;

1 4 , 且f ( x)在[0,1] 上的最小值为 , 2 5 1 1 求证: f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? n ?1 ? (n ? N ) . 2 2 bx 解 ⑴ f ( x) 定义域为 R,?1 ? a2 ? 0,即a ? ?2?bx 而x ? R,? a ? 0.若a ? 0, 则 f ( x) ? 1与 lim f ( ? n) ? 0矛盾, ? a ? 0
(2)若 f (1) ?
n ??

? lim f (? n) ? lim
n ??

1 n ?? 1 ? a ? 2 ? bx

?1(0 ? 2? b ? 1) ? ? 1 (2? b ? 1) ? 2? b ? 1即b ? 0, 故a ? 0, b ? 0 ?? ?1 ? a ?b ? ?0(2 ? 1)

⑵由⑴知 f ( x)在[0,1]上为增函数 ,? f (0) ? 1 ,即 1 ? 1 ,? a ? 1, f (1) ?
2 1? a 2 1 4 1 1 4x 1 ? ,? 2b ? ,? b ? ?2.? f ( x) ? ? ? 1? ? b ?2 x 1? a ? 2 5 4 1? 2 1 ? 4x 1 ? 4x

1 1 ? 1? . k 1? 4 2 ? 2k 1 1 1 1 1 ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (n) ? n ? ( ? ? ) ? n ? n ?1 ? . 2 n 2? 2 2? 2 2? 2 2 2

当k ? N时 f (k ) ? 1 ?


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