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导数的概念教案(李海霞)


武汉软件工程职业学院教案

2012 — 2013 学年度第一学期

开课系部 课程名称 授课班级 任课教师

公共课部 高等数学 汽制 1203 班、电商 1202 班 李海霞

武汉软件工程职业学院教案(理论教学首页)
章 节

第二章第一节(导数的概念)

>名 称 授 课 授 课 安 排 时 数 授 课 授 课

2

第十一周
时 间 授 课

启发、讲授
方 法 教 学 目 的 教 具

多媒体教室、课件

1、了解导数的概念,掌握利用定义求导数的方法。 2、理解导数的几何意义、物理意义,学会求曲线的切线、法线方程。 3、了解可导与连续的关系。

教 学 重 点

1、导数的概念。 2、应用导数的定义求部分基本初等函数的导数。 3、掌握求曲线上过某点的切线、法线方程。

教 学 难 点

1、导数的概念及几何意义。 2、会用导数的定义求函数的导数。

装 订 线

§2.1 导数的概念
一.本章及本节内容剖析 导数是微积分的重要部分,是从生产技术和自然科学的需要中产生的;同时, 又促进了生产技术和自然科学的发展。它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛 的应用,而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。本章主要介绍初 等函数以及隐函数,含参数函数的求导问题,下一章主要就是导数的应用。 本节内容分了四部分,一是非匀速直线运动物体的瞬时速度;二是过曲线上一 点的切线的斜率;三是导数的定义;四是导数的几何意义。学习切线的斜率与瞬时 速度是为了引出导数的概念, 介绍导数的几何意义, 是为了加深对导数概念的理解。 进行导数概念教学时还应该看到,通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意 时刻的瞬时速度;从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化 率的极限是瞬时变化率。再由一般曲线任意一点的切线斜率定义,由割线的斜率取 极限得到切线的斜率。进而引出导数的概念。

武汉软件工程职业学院教案(附页)
二、教学方法和手段 1、通过导数概念的形成过程,让学生掌握从具体到抽象,从特殊到一般的 思维方法。 2、提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。 3、在探索“平均变化率”的过程中,体会数学的严谨与理性,感受数学中 的美感,激发学生对数学知识的热爱,养成实事求是的科学态度。 4、接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。 三.教学过程 1.创设情境,引入新课 (1)平均速度与瞬时速度(8 分钟)
装 订 线

【创设情景,引入课题】播放一段视频林跃在 2008 年北京奥运会 10 米跳台夺 冠的视频。 (1 分钟) 【教师提问】 假如在比赛过程中, 林跃相对水面的高度 h(m)与起跳后的时间 t(s)
2 10 .请同学们思考一下在 t ? t0 时 存在这样一个函数关系: h( t) = -4.9t +6.5t +

刻时林跃的瞬时速度是多少? 【学生活动】通过讨论,找到突破口: 要求瞬时速度,就是通过研究 t ? t0 时它 附近的平均速度变化,如图(1) 。 【教师提问】所谓的 t ? t0 时的附近的平均速度速度又要怎么刻画呢?瞬时速度 和平均速度有什么关系呢? 【教师总结】先求出 t 0 时刻到 t0 ? ?t 时刻的平均速度 v ?
h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) ,那么瞬时 ?t

速度可以用平均速度来约等于,当时间变化量 ?t 越小时,平均速度就越接近于瞬 时速度,于是我们得到 v(t0 ) ? lim v ? lim
?t ?0 ?t ?0

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) 。 ?t

(2)曲线的切线斜率(5 分钟) (1)为什么求曲线的切线的历史原因,17 世纪数学家遇到的三类问题。 (2)任意曲线在任意一点的切线定义:割线的极限位置即为切线位置。

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【教师提问】那么 M ( x0 , y0 ) 点的切线斜率,按照切线的定义怎么求呢?如下图 (2) 。 【学生活动】学生按照上述例子瞬时速度的总结,讨论 归纳出 M ( x0 , y0 ) 点切线斜率。即:割线 MN 的斜率为平 均变化率,当自变量的该变量 ?x ? x ? x0 趋于零时的平 均变化率即为 M 点的瞬时速度。 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y) ;割线 MN 的斜率
K
装 订 线

MN

? tan ? ?

y ? y0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,点 M ( x , y ) 切线斜率: 0 0 ? x ? x0 ?x y ? y0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? lim x ? x0 ?x?0 ?x

K

MT

? tan ? ? lim

x ? x0

2.导入新课 (1)导数的定义(20 分钟) 【教师总结】教师根据以上两种情形总结出导数的详细定义, 定义 设函数 y ? f ( x) 在点 x0 的某个领域内有定义,当自变量从 x0 变到 x0 ? ?x 时,函数 y ? f ( x) 的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,函数的增量和自变量的
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 称为函数 f ( x) 的平均变化率。当 ?x ? 0 时, ? ?x ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 平均变化率的极限: lim 如果存在,则称此极限 ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

增量比值

值为 f ( x) 在 x0 处的导数。可用下列记号表示
y? , dy df ( x) , f ?( x0 ), dx x ? x0 dx x ? x0

x ? x0

【教师提问】从导数的定义总结出,用定义求 y ? f ( x) 在点 x0 处导数的步骤是什 么呢? 【提问学生】学生通过教师的引导总结出用定义求函数在某点导数步骤:
① 求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ③ 取极限,得导数 lim 。 ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
② 求平均变化率

【典型例题,深刻体会】 例 用定义求函数 y ? c, y ? x ? , y ? sin x, y ? a x 的导数。 【教师提问】通过以上的例子总结常见基本初等函数的导数公式。 【学生活动】学生通过教师讲解,总结公式如下:
c? ? 0, ( x ? )? ? ? x ? ?1 , (sin x)? ? cos x, (cos x)? ? ? sin x, (a x )? ? a x ln a

特别地, (e x )? ? e x , (ln x)? ?

1 x

(2)导数的几何意义(5 分钟)
f ?( x0 ) 表示曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率(如图(2) ) ,即

tan ? ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? x ? 0 ?x ?x

特别地: 曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处切线的方程为: y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处法线的方程为: y ? y0 ? ? 【典型例题】求等边双曲线 y ? 切线方程和法线方程。 (3)可导与连续(3 分钟) 定理 函数可导必定连续,但是连续不一定可导。
1 ? ? x sin , x ? 0 【典型例题】讨论函数 y ? f ( x) ? ? 在 x ? 0 处的连续性与可导性。 x ? x?0 ? 0,
1 ( x ? x0 ) f ?( x0 )

1 1 在点 ( , 2) 处的切线的斜率,并求出该点处的 x 2

3.本节课内容小结(2 分钟) ①导数的实质: 增量比的极限; 切线的斜率;

②导数的几何意义:

③函数可导一定连续,但连续不一定可导; ④求导数最基本的方法: 由定义求导数.

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4.布置作业(1 分钟) 习题 2.1 3(2) ;6;7(3)

5.作业要求(1 分钟) 要求每周交一次作业,每周上课之前交到学习委员,作业写清题号,要认真自己 完成,按照作业的完成情况分成 A? , A, A? 三个情况予以平时分。 四.教学参考资料 1. 《高职数学教程》 2.《高职高等数学基础》 五.教学后记
装 订 线

张国勇 汪志锋

高等教育出版社 安徽大学出版社

一.本节课是微积分导数部分的第一节课,重在让学生理解导数的定义,适应高 等数学快节奏的思维方式。 二.本节课的教学目标是理解导数的概念,以及记住几个可以用定义求的基本初 等函数的导数公式。从与学生的眼神交流和提问来看,学生掌握了重点,教学目 标完成的较好。 三.本节课总体是理论课的教学但是结合物理实例和历史一些数学知识,总体学 生比较有兴趣,接受情况较好。 四.电商专业的学生由于女生较多,故课堂气氛不够活跃,课堂的例题应该再加 深难度,由易到难。照顾各个层次学生的接受水平。如是为了弥补这个在课后作 业的布置上就注意满足各个接受层次的学生。

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章 节

第二章第二节(导数基本公式与求导法则)
名 称 授 课 授 课 安 排 时 数 授 课 授 课

2

第十二周
时 间 授 课

启发、讲授
方 法 教 具

课件

1、掌握导数的四则运算法则; 2、熟练掌握基本初等函数的导数公式;
教 学 目 的

3、 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函 数的导数; 4、掌握复合函数的求导法则; 5、了解反函数的求导法则。 1、基本初等函数的导数公式;

教 学

装 订 线

2、导数的四则运算法则;
重 点

3、复合函数的求导法则。
教 学 难 点

1、复合函数的求导法则; 2、反函数的求导法则。

§2.2 导数基本公式与求导法则
一.本节内容剖析 在上节课中已经利用导数的定义求出了部分基本初等函数的导数公式,本节直接 给出了导数的运算法则,因为高职高专的学生不要求根据导数定义推导这些公式 和法则,只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。在教学中,适量的联系 对于熟悉公式和法则的运用是必要的,但应避免过量的形式化的运算联系。 二、教学方法和手段 1、回顾公式、寻找技巧 2、自主探究、合作学习 3、成果展示,汇报交流

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三、教学过程 1、回顾上节课内容(3 分钟) 【学生活动】请学生到黑板默写公式,检查上节课的学习成果。 基本初等函数的导数公式: 函数 导数
y' ? 0
y ' ? nx n ?1

y?c
y ? f ( x) ? x n (n ? Q* )

y ? sin x
装 订 线

y ' ? cos x
y ' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? log a x

y ' ? ex
f '( x) ? f ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x

f ( x) ? ln x

2、新内容讲授(35 分钟) 【教师活动】教师直接给出求导法则,并分析导数运算法则的速记方法。 (1)函数的和、差、积、商的求导法则: 导数运算法则 1. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ' ( x ) ? g ' ( x )
'

2. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ' ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ' ( x )
'

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x ) g ' ( x ) 3. ? ( g ( x) ? 0) ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?

'

?cf ( x)?
典例讲解:

'

? cf ' ( x)

(c 为常数)

例 1 f ( x) ? x3 ? 4 cos x ? sin

?

,求 f ?( x) 及 f ?( ) 。 2 2

?

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例 2 y ? e x (sin x ? cos x) ,求 y ? 。 例 3 已知 y ? tan x, y ? sec x ,求 y ? . 同理: (cot x)? ? ?(csc x)2 , (csc x)? ? ? cot x ? csc x . 【学生活动】教师提问学生到黑板实际演练。
() 1 y ? (3x 2 ? 2)( x ? 5) (2)y ? x 4 ? sin x (3)y ? x3 ? x 6 ? 3x 2

(2)复合函数求导法则 【教师活动】教师先跟学生一起回顾复合函数的定义。 复合函数: y ? f (? ( x)), y ? f (u), u ? ? ( x) .例如: y ? esin x ? y ? eu , u ? sin x .
装 订 线

【教师活动】教师直接给出复合函数求导法则。 复合函数求导法则:复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数和函数 y ? f (u) 和 u ? g ( x) 的导 数间的关系为 y x? ? yu? ? u x? ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的 乘积.

? 若 y ? f ? g ( x) ? ,则 y? ? ? ? f ? g ( x) ? ? ? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x)
y ? f ?? ?? ( x) ?? ? y ? f (u ), u ? ? (v), v ? ? ( x) ? y? ? f ?(u)? ?(v)? ?( x)

【教师活动】教师给出运算法则的典例讲解。 例 1 y ? ln(cos x) ,求 y ? . 例2 y?e
sin 1 x

,求 y ? .

例 3 y ? 1 ? x 2 ,求 y ? . 【教师总结】求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次 数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环 节并及时化简计算结果. 【学生活动】学生实际操作 练习: ?1? y ? 2ln(tan x ) , ? 2 ? y ? cos 3x ? ln(2 x), ? 3? y ? e 2 x ? sin 3x

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(3)反函数求导法则 定理 如果单调连续函数 x ? ? ( y) 在点 y 处可导,而且 ? ?( y) ? 0 ,那么它的 反函数 y ? f ( x) 在对应的点 x 处可导,且有
f ?( x) ?

1 dy 1 1 ? 或 或 y? ? dx x ? ?( y ) dx x?

dy

y

例 求下列函数的导数。 (1) y ? arcsin x (2) y ? arctan x . 答案
装 订 线

(arcsin x)? ?

1 1 ? x2

, (arctan x)? ?

1 。 1 ? x2

类似地,有

(arccos x)? ? ?

1 1 ? x2

, (arc cot x)? ? ?

1 。 1 ? x2

3.本节课内容小结(5 分钟) 1.根据导数的定义和求导法则,推出了所有基本初等函数的求导公式,即 建立了和差积商求导法则, 反函数求导法则, 这样就解决了初等函数的求导问题。 2. 对复合函数求导,注意分析函数结构, “由表及里,逐层求导” ,教学中 可采取两步走:第一步,写出中间变量,将复合函数分解为基本初等函数或由基 本初等函数经过四则运算所得到的关系式,再应用法则求导.第二步,中间变量 在每一步求导过程中体现,由表及里,逐层求导. 4.布置作业(2 分钟) P48 2(2) (4) (8) ; 3(1) (7) (10) ; 4(1) (5) 四.教学参考资料 1. 《高等数学》 柳重湛 中央广播电视大学出版社 康永强 高等教育出版社

2. 《应用数学与数学文化》

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五.教学后记 一.本节课由于主要是数学公式的教授,而且大部分学生在中学有所接触,故教 学目标完成的较好。 二.由于学生基础比较薄弱,故从课堂的表现来看,学生虽然很好的接受了数学 公式,但是运用起来还是比较生疏,故有待加强巩固。 三.这章内容从整体上看,没有太多理解的内容,主要是操练,于是从下节课开 始应多给学生上黑板实际练习的机会。

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