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河南省天一大联考(原豫东、豫北十所联考)2015届高三阶段性测试(四)数学(理)


天一大联考(原豫东、豫北十所名校联考) 2014-2015 学年高中毕业班阶段性测试(四)
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数学(理科

)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时,将答案答在答题上(答题注 意事项见答题卡),在本试题卷上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 2 (1)已知集合 P={x|x -1≤0},M={a},若 P∪M=P,则实数 a 的取值范围是 A.(-∞,-1] B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) (2)复数

3 ? 2i 3 ? 2 i (其中 i 为虚数单位)的虚部是 ? 2 ? 3i 2 ? 3i

A.-2 B.-1 C.1 D.2 (3)“x<1”是“log2(x+)<1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (4)过点 M(1, a )向抛物线 C:y =ax 的准线作垂线,垂足为 D,若|MD|=|MO|(其中 O 是坐标原点),
2

则 a= A.8 B.4 C.6 D.-8 或 8 3 -x (5)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x +2 , 则 f(2)+g(2)= A.4 B.-4 C.2 D.-2 (6)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 A.225 B.75 C.275 D.300

·1 ·

(7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.12+? B.8+? C.12-? D.6-? (8)已知变量 x,y 满足 ? A.(-2,2)

? xy ? 0, 则 z=-2x+y 的取值范围是 ??2 ≤ x ? y ≤ 2,
B.[-4,4] C.[-2,2] D.(-4,4)

1 * a (9)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= n(n+1),n∈N , bn ? 3 n ? (?1)n?1 an , 2 则数列{bn}的前 2n+1 项和为 A.

32 n +2 ? 1 ?n 2

B.

1 2 n +2 1 ?3 ?n? 2 2

C.

32 n +2 ? 1 ?n 2

D.

1 2 n +2 3 ?3 ?n? 2 2

(10)以原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的双曲线 C,有一条渐近线的倾斜角为 60° ,点 F 是该双曲线的 右焦点.位于第一象限内的点 M 在双曲线 C 上,且点 N 是线段 MF 的中点.若 | ON |?| NF | ?1 ,则 双曲线 C 的方程为 A. x 2 ?

y2 ?1 3

B. x 2 ?

y2 ?1 9

C.

x2 y 2 ? ?1 4 12

D. 3x ? y ? 1
2 2

(ll)下列关于函数 f ( x) ? 3 cos 2 x +tan(x ?

?
4

) 的图象的叙述正确的是

A.关于原点对称 B.关于 y 轴对称 C.关于点 ( , 0) 对称 D.关于直线 x ?

?

?
4

4

对称

(12)已知函数 f ( x) ? ax sin x ? A.1 B.

5 8

3 ? (a>0)在 ( , ? ) 内有两个零点,则 a 的可能值为 2 2 15 3 C. D. 16 ?

·2 ·

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22—24 题为选考题,考生根据要求作答, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)下表提供了某学生做题数量 x(道)与做题时间 y(分钟)的几组对应数据: x y 3 2.5 4 t 5 4 6 4.5

? ? 0.7 x ? 0.35 , 根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y
则表中 t 的值为____________.

2 ? ? * (14)若 ? 3 x ? ? (n∈N )的展开式中含有常数项,则 n 的最小值为___________. 5 x? ?
2 (15)若数列{an}对任意的正整数 n 和常数 ( ∈N ),等式 an ?? ? an ? an? 2? 都成立,则称数列{an}为
*

n



阶梯等比数列”,

an ? ? 的值称为“阶梯比”,若数列 {an} 是 3 阶梯等比数列且 a1=1 , an

a4=2,则 a13=_________. (16)若正方体 P1P2P3P4-Q1Q2Q3Q4 的棱长为 1, 集合 M ? {x | x ? PQ , 1 1 ? SiT j , S , T ?{P, Q}, i, j ?{1, 2,3, 4}} 则对于下列结论: ①当 SiTj ? PQ 时,x=1; i j ②当 SiTj ? Qi Pj 时,x=1; ③当 x=1 时,(i,j)有 16 种不同取值; ④M={-1,0,1} 其中正确的结论序号为______________ (填上所有正确结论的序号).

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 sinAsinC= (Ⅰ)若 a,b,c 成等比数列,求角 B 的大小; (Ⅱ)若 cosB=

3 . 4

2 ,求 tanA+tanC 的值. 3

(18)(本小题满分 l2 分) 某校体育教师至少擅长篮球和足球中的一项,现已知有 5 人擅长篮球,2 人擅长足球,从该校的
·3 ·

体育教师中随机选出 2 人,设 X 为选出的 2 人中既擅长篮球也擅长足球的人数,已知 P(X> 0)=

7 . 10

(Ⅰ)求该校的体育教师的人数; (Ⅱ)求 X 的分布列并计算 X 的数学期望与方差. (19)(本小题满分 12 分) 如图,直角梯形 CDEM 中,CD∥EM,ED⊥CD,B 是 EM 上一点,且 CD=BM= 2 CM=2,EB=ED=1,沿 BC 把△MBC 折起得到△ABC,使平面 ABC⊥平面 BCDE. (Ⅰ)证明:平面 EAD⊥平面 ACD. (Ⅱ)求二面角 E-AD-B 的大小.

(20)(本小题满分 12 分) 定圆 M;(x+ 3 ) +y =16,动圆 N 过点 F( 3 ,0)且与圆 M 相切,记圆心 N 的轨迹为 E.
2 2

(Ⅰ)求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设点 A,B,C 在 E 上运动,A 与 B 关于原点对称,且|AC|=|CB|,当△ABC 的面积最小时,求 直线 AB 的方程. (21)(本小题满分 12 分)

x2 已知函数 f ( x) ? . ln x
(Ⅰ)求函数 f(x)在区间 [e 4 , e] 上的最值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ?
1

4 m( x ? m) 1 (0 ? m ? ) , ln x 2

若函数 g(x)有三个极值点,设为 a,b,c 且 a<b<c. 证明:0<2a<b<1<c,并求出函数 g(x)的单调区间(用 a,b,c 表示).

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写 清题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,⊙O 的直径为 AB,AD 平分∠BAC,AD 交⊙O 于点 D,BC∥DE,且 DE 交 AC 的延长线于点
·4 ·

E,OE 交 AD 于点 F. (Ⅰ)求证:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 AB=10,AC=6 求 DF 的长.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以极点为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 =10, 曲线 C′的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 5cos ? ( 为参数). ? y ? ?4 ? 5sin ?

(I)判断两曲线的位置关系; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 和 C′均相切,求直线 l 的极坐标方程。 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a,b,c 为正实数. (I)若 ab(a+b)=2,求 a+b 的最小值; (Ⅱ)若 abc(a+b+c)=1,求(a+b)(b+c)的最小值.

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