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正余弦定理测试题答案


1.有关正弦定理的叙述: ①正弦定理仅适用于锐角三角形;②正弦定理不适用于直角三角形;③正弦定理仅适用于钝角三角形;④在给定三角 形中,各边与它的对角的正弦的比为定值;⑤在△ABC 中,sinA 其中正确的个数是( A.1 C.3 解析 答案 ①②③不正确,④⑤正确. B ) ) B.2 D.4 B C=a b c.

答案

1

>
1 5.在△ABC 中,若 tanA=3,C=150° ,BC=1,则 AB=________. 解析 1 1 ∵tanA=3,∴sinA= . 10

AB BC 在△ABC 中,sinC=sinA, BC 1 10 ∴AB=sinA· sinC= 10×2= 2 . 答案 10 2

2.在△ABC 中,若 A=60° ,B=45° ,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 解析 答案 B.2 3 3 D. 2

6.在△ABC 中,若 A:B:C=1:2:3,则 a b c=________. 解析 1 2 3 由 A+B+C=180° 及 A:B:C=1:2:3,知 A=180° ×6=30° ,B=180° ×6=60° ,C=180° ×6=90° .

AC BC BC· sinB 3 2×sin45° 由正弦定理,得sinB=sinA,即 AC= sinA = sin60° =2 3. B )

1 3 ∴a :b:c=sin30° :sin60° :sin90° =2: 2 :1=1: 3:2. 答案 1: 3:2

3.在△ABC 中,已知 3b=2 3asinB,cosB=cosC,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 C.等边三角形 解析 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

a+b 7.△ABC 三边各不相等,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 acosA=bcosB,求 的取值范围. c 解 ∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB,

3 π 2π 利用正弦定理及第一个等式,可得 sinA= 2 ,A=3,或 3 ,但由第二个等式及 B 与 C 的范围,知 B=C,故

∴sin2A=sin2B. ∵2A,2B∈(0,2π),∴2A=2B,或 2A+2B=π, π ∴A=B,或 A+B=2.

△ABC 必为等腰三角形. 答案 B )

5.在△ABC 中,若 3a=2bsinA,则 B 等于( A.30° C.30° 或 150° 解析 ∵ 3a=2bsinA,

π 如果 A=B,那么 a=b 不合题意,∴A+B=2. a+b sinA+sinB ∴ c = sinC =sinA+sinB=sinA+cosA π = 2sin?A+4?.

B.60° D.60° 或 120°

?

?

∴ 3sinA=2sinBsinA. 3 ∵sinA≠0,∴sinB= 2 , 又 0° <B<180° ,∴B=60° ,或 120° . 答案 D

π π π ∵a≠b,C=2,∴A∈?0,2?,且 A≠4,

?

?

a+b ∴ c ∈(1, 2). 1 8.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sinB=3. (1)求 sinA; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. 解
1

2sinA-sinB 4.在△ABC 中,已知 a:b:c=4:3:5,则 =________. sinC 解析 设 a=4k,b=3k,c=5k(k>0),由正弦定理,得

2sinA-sinB 2×4k-3k = =1. sinC 5k

(1)∵sin(C-A)=1,-π<C-A<π,

π ∴C-A= . 2 π ∵A+B+C=π,∴A+B+A+ =π, 2 π π 1 ∴B=2-2A,∴sinB=sin?2-2A?=cos2A=3.

C.90° 解析

D.120°

由 a:b:c=3:5:7,知最大边为 c,

a2+b2-c2 1 ∴最大角为 C,设 a=3k,b=5k,c=7k(k>0),则 cosC= 2ab =-2,又 0° <C<180° ,∴C=120° . 答案 D )

?

?

1 ∴1-2sin2A=3. 1 3 ∴sin2A=3,∴sinA= 3 . 6 (2)由(1)知,A 为锐角,∴cosA= , 3 π 6 sinC=sin?2+A?=cosA= , 3 ? ? AC· sinC 由正弦定理得 AB= sinB = 6 6·3 1 =6. 3

→ → 12.△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则AB· BC的值为( A.19 C.-18 解析 = B.14 D.-19

AB2+BC2-CA2 由余弦定理,得 cosB= 2· AB· BC

72+52-62 19 2· 7· 5 =35.

→ → → → → → 19 ∴AB· BC=|AB||BC|cos〈AB,BC〉=7×5×?-35?=-19.

?

?

答案

D

1 1 3 S△ABC= AB· AC· sinA= ×6× 6× =3 2. 2 2 3

13.在△ABC 中,已知 a,b 是方程 x2-5x+2=0 的两根,C=120° ,则边 c=____________. 解析 由韦达定理,得 a+b=5,ab=2.

双基限时练(二)
9.在△ABC 中,a2+b2<c2,则这个三角形一定是( A.锐角三角形 C.等腰三角形 解析
2 2 2

由(a+b)2=a2+b2+2ab, 得 a2+b2=52-2×2=21. ∴c2=a2+b2-2abcos120° =23. ∴c= 23. 答案 23

)

B.钝角三角形 D.等边三角形

a2+b2-c2 由 a +b <c ,知 cosC= 2ab <0,

又 0<C<π,∴C 为钝角.故△ABC 为钝角三角形. 答案 B )

13 14.在△ABC 中,若 a=7,b=8,cosC=14,则最大角的余弦值为____________. 解析 13 c2=a2+b2-2abcosC=72+82-2×7×8× =9. 14

10.在△ABC 中,已知 a2+b2-c2=ab,则 C=( A.60° C.30° 解析 a2+b2-c2 ab 1 由 cosC= 2ab =2ab=2, B.120°

∴c=3,因此最大角为 B,由余弦定理,得 a2+c2-b2 1 cosB= 2ac =-7. 答案 1 -7

D.45° 或 135°

又 0° <C<180° ,∴C=60° . 答案 A )

15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2b· cosA=c· cosA+a· cosC. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 7,b+c=4,求 bc 的值. 解
2

11.在△ABC 中,a:b:c=3:5:7,则△ABC 的最大角是( A.30° B.60°

(1)根据正弦定理及 2b· cosA=c· cosA+a· cosC,

得 2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB.

1 ∵sinB≠0,∴cosA= . 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3

1 2 2 ∴4 3=2×2 3×b× 3 ,∴b=3 2. 答案 3 2

双基限时练(三)
16.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a +c -b = 3ac,则角 B 的值为( π A.6 π 5π C. ,或 6 6 解析 答案 π B.3 π 2π D. ,或 3 3
2 2 2

20.在△ABC 中,如果 lga-lgc=lgsinB=-lg 2,且 B 为锐角,试判断此三角形的形状. ) 解 ∵lgsinB=-lg 2,∴sinB= 2 a 2 .又∵B 为锐角,∴B=45° .∵lga-lgc=-lg 2,∴ = . 2 c 2

sinA 2 由正弦定理,得sinC= 2 . 即 2sin(135° -C)= 2sinC. ∴2(sin135° cosC-cos135° sinC)= 2sinC. ∴cosC=0,∴C=90° ,∴A=B=45° . ∴△ABC 是等腰直角三角形. ) 18 21.a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 的对边,且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)= 5 sinBsinC,边 b 和 c 是关于 x 的方程 x2-9x+25cosA=0 的两根(b>c). (1)求角 A 的正弦值; (2)求边 a,b,c; (3)判断△ABC 的形状. 解 18 (1)∵(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)= sinBsinC, 5

a2+c2-b2 3ac 3 π 由余弦定理,得 cosB= 2ac = 2ac = 2 ,又 0<B<π,∴B=6. A

17.已知三角形的三边之比为 a:b:c=2:3:4,则此三角形的形状为( A.锐角三角形 C.直角三角形 解析 B.钝角三角形 D.等腰直角三角形

设三边长为 2a,3a,4a(a>0),它们所对的三角形内角依次为 A,B,C.

?2a?2+?3a?2-?4a?2 1 则 cosC= =-4<0, 2×2a×3a ∴C 为钝角.故该三角形为钝角三角形. 答案 B
2

18.△ABC 中,已知 2A=B+C,且 a =bc,则△ABC 的形状是( A.两直角边不等的直角三角形 B.顶角不等于 90° ,或 60° 的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析 解法 1:由 2A=B+C,知 A=60° .

)

18 由正弦定理,得(b+c+a)(b+c-a)= 5 bc, 8 整理,得 b2+c2-a2=5bc. b2+c2-a2 4 3 由余弦定理,得 cosA= 2bc =5,∴sinA=5. (2)由(1)知方程 x2-9x+25cosA=0 可化为 x2-9x+20=0, 解之得 x=5 或 x=4,∵b>c,∴b=5,c=4. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,∴a=3. (3)∵a2+c2=b2,∴△ABC 为直角三角形.

2 2 b2+c2-a2 1 b +c -bc 又 cosA= 2bc ,∴2= 2bc

∴b +c -2bc=0.即(b-c) =0,∴b=c. 故△ABC 为等边三角形. 解法 2:验证四个选项知 C 成立. 答案 C A.4:3,或 16:9 C.16:9 解析
3

2

2

2

双基限时练(四)
22.在△ABC 中,若 sinB:sinC=3:4,则边 c b 等于( B.3:4 D.4:3 c b c sinC 4 = ,得 = = . sinC sinB b sinB 3 )

1 19.在△ABC 中,a=2 3,cosC=3,S△ABC=4 3,则 b=________. 解析 1 2 2 1 ∵cosC=3,∴sinC= 3 .又 S△ABC=2absinC,

由正弦定理

答案

D )

a b c 23.在△ABC 中,若cosA=cosB=cosC,则△ABC 是( A.直角三角形 C.钝角三角形 解析

1 又 cos120° =- ,∴C>120° ,故△ABC 为钝角三角形. 2 答案 A )

B.等边三角形 D.等腰直角三角形

π 3 27.在△ABC 中,BC=2,B=3,若△ABC 的面积为 2 ,则 tanC 为( A. 3 3 C. 3 解析 ) B.1 3 D. 2 1 3 由 S△ABC=2BC· BAsinB= 2 ,得 BA=1,

sinA sinB sinC sinA sinB 由正弦定理及题设条件,知cosA=cosB=cosC.由cosA=cosB,得 sin(A-B)=0.∵0<A<π,0<B<π,得-π<A

-B<π,∴A-B=0.∴A=B.同理 B=C,∴△ABC 是等边三角形. 答案 B

1 24.在△ABC 中,如果 BC=6,AB=4,cosB= ,那么 AC 等于( 3 A.6 C.3 6 解析 由余弦定理,得 B.2 6 D.4 6

由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB. ∴AC= 3,∴AC2+BA2=BC2. ∴△ABC 为直角三角形,其中 A 为直角. AB 3 ∴tanC=AC= 3 . 答案 C )

AC2=BC2+AB2-2· AB· BC· cosB 1 =62+42-2×6×4×3 =36,∴AC=6. 答案 A

28.三角形的两边长为 3 和 5,其夹角的余弦值是方程 5x2-7x-6=0 的根,则该三角形的面积是( A.6 15 B. 2 D.10 3 3 4 1 4 由 5x2-7x-6=0,得 x=-5,或 x=2(舍去).∴cosα=-5,sinα=5,∴S△=2×3×5×5=6. A )

双基限时练(六)
25.在△ABC 中,已知 BC=6,A=30° ,B=120° ,则△ABC 的面积等于( A.9 C.9 3 解析 AC BC 由正弦定理得sinB=sinA, B.18 D.18 3 )

C.8 解析 答案

29.△ABC 中,A=60° ,b=16,此三角形的面积 S=220 3,则 a 的值为( A.7 C.55 解析 由 S=220 1 3,得2bcsinA=220 3,∴c=55. 3. B.25 D.49

BC· sinB 6×sin120° ∴AC= sinA = sin30° =6 3. 又∠ACB=180° -120° -30° =30° , 1 1 ∴S△ABC=2×6 3×6×2=9 3. 答案 C )

1 3 即2×16×c× 2 =220 ∴a2=b2+c2-2bccos60°

26.在△ABC 中,若 a2+b2+ab<c2,则△ABC 是( A.钝角三角形 C.直角三角形 解析

B.锐角三角形 D.形状无法判定

1 =162+552-2×16×55× =2401. 2 ∴a=49. 答案 D

由 a2+b2+ab<c2,得 a2+b2-c2<-ab.

a2+b2-c2 1 又 cosC= 2ab <-2.
4

30.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 a= 3,b=3,C=30° ,则 A=________.

解析

3 c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2× 3×3× 2 =3,

(2)由余弦定理,可知 c2=a2+b2-2abcosC, 1 则( 21)2=42+a2-2×4×a×2,即 a2-4a-5=0. 所以 a=5,或 a=-1(舍). 因此所求角 C=60° ,边 a 长为 5. π 34.在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C=3. (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积. 解 (1)由余弦定理及已知条件,得

∴c= 3. a c asinC 又sinA=sinC,∴sinA= c = ∴a<b,∴A<B,∴A=30° . 答案 30° 1 3· 2 1 = , 3 2

31.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若( 3b-c)cosA=acosC,则 cosA=______. 解析 ∵( 3b-c)cosA=acosC,

∴由正弦定理,得 ( 3sinB-sinC)cosA=sinAcosC. 3 ∴ 3sinBcosA=sin(A+C)=sinB.∴cosA= 3 . 答案 3 3

a2+b2-ab=4. 又因为△ABC 的面积等于 3, 1 所以 absinC= 3得 ab=4, 2
2 2 ?a +b -ab=4, 联立方程组? 解得 a=2,b=2. ?ab=4,

a+b+c 32.在△ABC 中,A=60° ,b=1,c=4,则 的值为________. sinA+sinB+sinC 解析 a b c 在△ABC 中,由正弦定理得 = = =2R,得 a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC). sinA sinB sinC

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即 sinBcosA=2sinAcosA. π π 当 cosA=0 时,A=2,B=6, 4 3 2 3 ∴a= ,b= . 3 3 1 2 ∴△ABC 的面积 S=2· a2-b2· b=3 3. 当 cosA≠0 时,sinB=2sinA, 由正弦定理,知 b=2a,

1 又 a2=b2+c2-2bccosA=1+16-2×1×4×2=13, ∴a= 13, ∴ a+b+c a 13 2 39 =2R=sinA=sin60° = 3 . sinA+sinB+sinC 2 39 3

答案

33.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,又 c= 21,b=4,且 BC 边上的高 h=2 3. (1)求角 C; (2)求边 a 的长. 解 (1)由于△ABC 为锐角三角形,过 A 作 AD⊥BC 于 D 点,

?a +b -ab=4, 联立方程组? ?b=2a,

2

2

2 3 ? ?a= 3 , 解得? 4 3 ?b= 3 . ?

1 2 3 ∴△ABC 的面积 S=2absinC= 3 . 35.△ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,cosA= → → (1)求AB· AC; (2)若 c-b=1,求 a 的值.
5

12 . 13

2 3 3 sinC= = ,则 C=60° . 4 2



12 5 (1)在△ABC 中,∵cosA= ,∴sinA= . 13 13

1 又 S△ABC= bcsinA=30,∴bc=12×13. 2 → → → → ∴AB· AC=|AB||AC|cosA=bccosA=144. (2)由(1)知 bc=12×13,又 c-b=1, ∴b=12,c=13. 在△ABC 中,由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA 12 =122+132-2×12×13×13=25, ∴a=5.

6


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