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北京西城区2013届高三上学期期末考试数学(理科)试题

时间:2013-01-19


北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷

高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2013.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1.已知集合 A ? {x ? R | 0 ? x ?

1} , B ? {x ? R | (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0},则 A ? B ? ( (A) (0, ) (C) (??, ?1) ? ( , ??) 2.在复平面内,复数 (A)第一象限 )

1 2

(B) (?1,1)

1 2

(D) (??, ?1) ? (0, ??) ) (C)第三象限 (D)第四象限 )

5i 的对应点位于( 2?i
(B)第二象限

3.在极坐标系中,已知点 P (2, ) ,则过点 P 且平行于极轴的直线的方程是( (A) ? sin ? ? 1 (B) ? sin ? ? 3 (C) ? cos ? ? 1

? 6

(D) ? cos? ? 3

4.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 15 , 则框图中 ① 处可以填入( (A) k ? 2 (B) k ? 3 (C) k ? 4 (D) k ? 5 5.已知函数 f ( x) ? x ? b cos x ,其中 b 为常数.那么“ b ? 0 ”是“ f ( x ) 为奇函数”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
2 2





6.已知 a , b 是正数,且满足 2 ? a ? 2b ? 4 .那么 a ? b 的取值范围是( (A) ( ,



4 16 ) 5 5

(B) ( ,16)

4 5

(C) (1,16)

(D) (

16 , 4) 5

7.某四面体的三视图如图所示.该四面体的 六条棱的长度中,最大的是( (A) 2 5 (B) 2 6 (C) 2 7 (D) 4 2 8.将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是 ( (A) ) )

2 21

(B)

4 63

(C)

1 21
共 110 分)

(D)

2 63

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

已知向量 a ? (1,3) , b ? (?2,1) , c ? (3, 2) .若向量 c 与向量 ka ? b 共线,则实数 k ? _____.

? 10.如图, Rt △ ABC 中, ?ACB ? 90 , AC ? 3 ,

BC ? 4 .以 AC 为直径的圆交 AB 于点 D ,则
BD ?
; CD ? ______.

11.设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn .若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , Sk ? 63 , 则 k ? ______. 12.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的 两个焦点是 F1 , F2 ,点 P 在该椭圆上.若 | PF1 | ? | PF2 | ? 2 ,则△ PF1F2 的 4 2

面积是______. 13.已 知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 是 [?

π π ? ) ,其中 x ? [? , a] .当 a ? 时, f ( x) 的值域是______;若 f ( x) 的值域 3 6 6

1 ,1] ,则 a 的取值范围是______. 2

14.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R .若 ? 常数 c ? 0 ,对 ?x ? R ,有 f (x ?c ) ? f (x ?c ) ,则称函数 f ( x ) 具 有性质 P .给定下列三个函数: ① f ( x) ? 2 ;
x

② f ( x) ? sin x ;

③ f ( x) ? x ? x .
3

其中,具有性质 P 的函数 的序号是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,已知 3sin 2B ? 1 ? cos 2B . (Ⅰ )求角 B 的值; (Ⅱ )若 BC ? 2 , A ?

? ,求△ ABC 的面积. 4

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC ,

E 为棱 PD 的中点.
(Ⅰ )求证: PB // 平面 EAC ; (Ⅱ )求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值.

17. (本小题满分 13 分) 生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品.现随机 抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件 A 元件 B

[70,76)
8
7

[76,82)
12

[82,88)
40
40

[88,94)
32
29

[94,100]
8
6

18

(Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元 .在(Ⅰ)的前提下, (ⅰ)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率. 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

x ,其中 b ? R . x ?b
2

(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)设 b ? 0 .若 ? x ? [ , ] ,使 f ( x) ? 1 ,求 b 的取值范围.

1 3 4 4

19. (本小题满分 14 分) 如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F .过点 P(2,0) 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 ) 两点,直线 AF , BF 分别与抛物线交于点 M , N .
(Ⅰ)求 y1 y2 的值; (Ⅱ)记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线 AB 的斜率为 k2 .证明:

k1 为定值. k2

20. (本小题满分 13 分) 如图,设 A 是由 n ? n 个实数组成的 n 行 n 列的数表,其中 aij (i, j ? 1, 2,3, ?, n) 表示位于第 i 行第 j 列 的实数,且 aij ?{1, ?1} .记 S ( n, n ) 为所有这样的数表构成的集合.

, 对 于 A ? S( n n), 记 ri ( A) 为 A 的 第 i 行 各 数 之 积 , c j ( A) 为 A 的 第 j 列 各 数 之 积 . 令

l ( A) ? ? ri ( A) ? ? c j ( A) .
i ?1 j ?1

n

n

(Ⅰ)请写出一个 A ? S ( 4, 4) ,使得 l ( A) ? 0 ; (Ⅱ)是否存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 ?说明理由; (Ⅲ)给定正整数 n ,对于所有的 A ? S ( n, n ) ,求 l ( A) 的取值集合.

北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末

高三数学(理科)参考答案及评分标准
2013.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D; 2.B; 3.A; 4.C; 5.C; 6.B; 7.C; 8.B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?1 ; 12. 2 ;

10.

16 12 , ; 5 5 1 ? ? 13. [ ? ,1] , [ , ] ; 2 6 2

11. 6 ; 14.①③.

注:10、13 题第一问 2 分,第二问 3 分;14 题结论完全正确才给分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解法一:因为 3sin 2B ? 1 ? cos 2B , 因为 0 ? B ? ? , 所以 sin B ? 0 , 所以 B ? 所以 2 3 sin B cos B ? 2sin B .?????3 分
2

从而 tan B ? 3 ,????5 分

π . 3

??????6 分

解法二: 依题意得 分

? ? 1 3 sin 2B ? cos 2B ? 1 ,所以 2sin(2 B ? ) ? 1 ,即 sin(2 B ? ) ? .?3 6 6 2

因为 0 ? B ? ? , 所以 所以 B ?

? ? 13? ? 5? ? 2B ? ? ,所以 2 B ? ? .????5 分 6 6 6 6 6

π . 3

??????6 分

(Ⅱ)解法一:因为 A ?

? π AC BC ? , B ? ,根据正弦定理得 , ???7 分 4 3 sin B sin A BC ? sin B ? 6. 所以 AC ? ??????8 分 sin A 5? 因为 C ? ? ? A ? B ? , ??????9 分 12
所以 sin C ? sin

5? ? ? 6? 2 ? sin( ? ) ? , 12 4 6 4 1 3? 3 AC ? BC sin C ? . 2 2

??????11 分

所以 △ ABC 的面积 S ?

??????13 分

? π ,B ? , 4 3 AC BC ? 根据正弦定理得 , sin B sin A BC ? sin B ? 6. 所以 AC ? sin A
解法二:因为 A ? 根据余弦定理得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ,
2 2 2

??????7 分 ??????8 分 ??????9 分 ??????11 分

化简为 AB ? 2 AB ? 2 ? 0 ,解得 AB ? 1 ? 3 .
2

所以 △ ABC 的面积 S ? 16. (本小题满分 14 分)

1 3? 3 . AB ? BC sin B ? 2 2

??????13 分

(Ⅰ)证明:连接 BD 与 AC 相交于点 O ,连结 EO . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 中点.
P z

因为 E 为棱 PD 中点.所以 PB // EO . ????3 分 因为 PB ? 平面 EAC , EO ? 平面 EAC , 所以直线 PB //平面 EAC . ??????4 分 (Ⅱ)证明:因为 PA ? 平面 PDC ,所以 PA ? CD .
x A

E D O B y C

??????5 分 ??7 分

因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD , 所以 CD ? 平面 PAD . 所以平面 PAD ? 平面 ABCD . (Ⅲ)解法一:在平面 PAD 内过 D 作直线 Dz ? AD . 因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 Dz ? 平面 ABCD .

??? ???8 分

由 Dz, DA, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . ????9 分 设 AB ? 4 ,则 D(0,0,0), A(4,0,0), B(4, 4,0), C (0, 4,0), P(2,0, 2), E (1,0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ?n ? AC ? 0. ?
所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0, 0,1) . 所以 | cos n, v | ? 〈 〉

? 3x ? z ? 0,

??????11 分

??????12 分

| n ? v | 3 11 . ? | n || v | 11

??????13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 11 . 11

??????14 分

解法二:取 AD 中点 M , BC 中点 N ,连结 PM , MN . 因为 ABCD 为正方形,所以 MN // CD . 由(Ⅱ)可得 MN ? 平面 PAD . 因为 PA ? PD ,所以 PM ? AD . 由 MP, MA, MN 两两垂直,建立如图所示 的空间直角坐标系 M ? xyz .
x A P E D
M

z

C O B
N

y

??????9 分

设 AB ? 4 ,则 A(2,0,0), B(2, 4,0), C(?2, 4,0), D(?2,0,0), P(0,0, 2), E (?1,0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ?n ? AC ? 0. ?
所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0,0,1) . 所以 | cos n, v | ? 〈 〉

? 3x ? z ? 0,

??????11 分

??????12 分

| n ? v | 3 11 . ? | n || v | 11

??????13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ? 17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:元件 A 为正品的概率约为

3 11 . 11

??????14 分

40 ? 32 ? 8 4 ? . 100 5 40 ? 29 ? 6 3 ? . 元件 B 为正品的概率约为 100 4

??????1 分 ??????2 分 ??????3 分

(Ⅱ)解: (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90, 45,30, ?15 .

4 3 3 P( X ? 9 0 ) ? ? ; ? 5 4 5 4 1 1 P( X ? 30) ? ? ? ; 5 4 5
所以,随机变量 X 的分布列为:

1 3 3 P( X ? 45) ? ? ? ; 5 4 20 1 1 1 P( X ? ?15) ? ? ? . 5 4 20

??????7 分

X P

90

45

30

?15

3 5

3 20

1 5

1 20
??????8 分

3 3 1 1 EX ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? ? (?15) ? ? 66 . 5 20 5 20
(ⅱ)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5 ? n 件. 依题意,得 50n ? 10(5 ? n) ? 140 , 解得 n ?

??????9 分

19 . 6

所以 n ? 4 ,或 n ? 5 .???11 分

设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A , 则 P ( A) ? C5 ( ) ?
4 4

3 4

1 3 5 81 ?( ) ? . 4 4 128

??????13 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:① 当 b ? 0 时, f ( x) ? 分 ② 当 b ? 0 时, f ?( x) ?

1 . 故 f ( x ) 的单调减区间为 ( ??, 0) , (0, ??) ;无单调增区间.?1 x

b ? x2 . ( x 2 ? b)2

??????3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? b , x2 ? ? b .

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x)

(??, ? b )
?

? b
0

(? b , b )

b
0

( b , ? ?)
?

?


f ( x)





故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? b ) , ( b , ??) ;单调增区间为 (? b , b ) . ??????5 分 ③ 当 b ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 D ? {x ? R | x ? ? ?b}. 因为 f ?( x) ?

b ? x2 ? 0 在 D 上恒成立, ( x 2 ? b) 2

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? ?b ) , (? ?b , ?b ) , ( ?b , ??) ;无单调增区间. ??????7 分
2 (Ⅱ)解:因为 b ? 0 , x ? [ , ] ,所以 f ( x) ? 1 等价于 b ? ? x ? x ,其中 x ? [ , ] .??9 分

1 3 4 4

1 3 4 4

设 g ( x) ? ? x2 ? x , g ( x) 在区间 [ , ] 上的最大值为 g ( ) ?
2 则“ ? x ? [ , ] ,使得 b ? ? x ? x ”等价于 b ?

1 3 4 4

1 2

1 .??????11 分 4

1 3 4 4

1 . 4
??????13 分

所以, b 的取值范围是 (0, ] . 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:依题意,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 . 将其代入 y 2 ? 4 x ,消去 x ,整理得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 . 从而 y1 y2 ? ?8 . (Ⅱ)证明:设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y4 ) .

1 4

??????1 分 ??????4 分 ??????5 分

y12 y2 2 ? y ? y4 x1 ? x2 y3 ? y4 k 4 ? y1 ? y2 . 则 1 ? 3 ? ? 2 ? 4 2 k2 x3 ? x4 y1 ? y2 y3 y1 ? y2 y3 ? y4 y ? 4 4 4
设直线 AM 的方程为 x ? ny ? 1 ,将其代入 y 2 ? 4 x ,消去 x , 整理得 y 2 ? 4ny ? 4 ? 0 . 所以 y1 y3 ? ?4 . 同理可得 y2 y4 ? ?4 . 故 ??????9 分 ??????10 分 ??????11 分

??????7 分

k1 y1 ? y2 y ? y2 yy ? ? 1 ? 1 2. k2 y3 ? y4 ?4 ? ?4 ?4 y1 y2

??????13 分

由(Ⅰ)得

k1 ? 2 ,为定值. k2

??????14 分

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:答案不唯一,如图所示数表符合要求.

?1 1 1 1

?1 1 1 1

?1 1 1 1

?1 1 1 1
??????3 分 ??????4 分

(Ⅱ)解:不存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 . 证明如下: 假设存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 .

因为 ri ( A) ?{1, ?1} , c j ( A) ?{1, ?1} (1 ? i ? 9,1 ? j ? 9) , 所以 r1 ( A) , r2 ( A) , ? , r9 ( A) , c1 ( A) , c2 ( A) , ? , c9 ( A) 这 18 个数中有 9 个 1 , 9 个 ?1 . 令 M ? r ( A) ? r2 ( A) ??? r9 ( A) ? c1 ( A) ? c2 ( A) ??? c9 ( A) . 1 一方面,由于这 18 个数中有 9 个 1 , 9 个 ?1 ,从而 M ? (?1)9 ? ?1 . ①

另 一 方 面 , r ( A) ? r2 ( A) ??? r9 ( A) 表 示 数 表 中 所 有 元 素 之 积 ( 记 这 8 1 个 实 数 之 积 为 m ) ; 1

c1 ( ) c 2( ) ? ?(9 ) A ? A c A ?

也表示 m , 从而 M ? m ? 1 .
2

② ??????8 分

①、②相矛盾,从而不存在 A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 .
2 (Ⅲ)解:记这 n 个实数之积为 p .

一方面,从“行”的角度看,有 p ? r ( A) ? r2 ( A) ??? rn ( A) ; 1 另一方面,从“列”的角度看,有 p ? c1 ( A) ? c2 ( A) ??? cn ( A) . 从而有 r ( A) ? r2 ( A) ??? rn ( A) ? c1 ( A) ? c2 ( A) ??? cn ( A) . 1 ③ ??????10 分

注意到 ri ( A) ?{1, ?1} , c j ( A) ?{1, ?1} (1 ? i ? n,1 ? j ? n) . 下面考虑 r1 ( A) , r2 ( A) , ? , rn ( A) , c1 ( A) , c2 ( A) , ? , cn ( A) 中 ?1 的个数: 由③知, 上述 2n 个实数中,?1 的个数一定为偶数, 该偶数记为 2k (0 ? k ? n) ; 1 的个数为 2n ? 2k , 则 所以 l ( A) ? (?1) ? 2k ? 1? (2n ? 2k ) ? 2(n ? 2k ) . 对数表 A0 : aij ? 1 (i, j ? 1, 2,3, ?, n) ,显然 l ( A0 ) ? 2n . 将数表 A0 中的 a11 由 1 变为 ?1 ,得到数表 A ,显然 l ( A ) ? 2n ? 4 . 1 1 将数表 A 中的 a22 由 1 变为 ?1 ,得到数表 A2 ,显然 l ( A2 ) ? 2n ? 8 . 1 依此类推,将数表 Ak ?1 中的 akk 由 1 变为 ?1 ,得到数表 Ak . 即数表 Ak 满足: a11 ? a22 ? ? ? akk ? ?1(1 ? k ? n) ,其余 aij ? 1 . 所以 r ( A) ? r2 ( A) ? ? ? rk ( A) ? ?1 , c1 ( A) ? c2 ( A) ? ? ? ck ( A) ? ?1 . 1 所以 l ( Ak ) ? 2[(?1) ? k ? (n ? k )] ? 2n ? 4k . 由 k 的任意性知, l ( A) 的取值集合为 {2(n ? 2k ) | k ? 0,1, 2,?, n} .?????13 分 ??????12 分


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