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高考数学一轮复习讲义—4.基本初等函数(知识点+9题型)

时间:2014-06-30


高三数学第一轮复习资料

第4讲
一. 【课标要求】 1.指数函数

基本初等函数

(1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 14C 的衰减,药物在人体内残留 量的变化等) ,了解指数函数模型的实际背景; (2) 理解有理指数幂的含义, 通过具体实例了解实数指数幂的意义, 掌握幂的运算。 (3) 理解指数函数的概念和意义, 能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数 的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函 数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3.知道指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x 互为反函数(a>0,a≠1) 。 4.幂函数 (1)了解幂函数的概念 (2)结合函数 y=x, ,y=

x

2

, y=

x

3

,y=

x

1 2

,y=

1 的图象,了解它们的变化情况 x

二. 【命题走向】 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着 重要的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多 以基本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我 们要熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进 行变形处理。 预测 2010 年对本节的考察是: 1.题型有两个选择题和一个解答题; 2. 题目形式多以指数函数、 对数函数、 幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。 同时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加大

三. 【要点精讲】 1.指数与对数运算 (1)根式的概念: ①定义:若一个数的 n 次方等于 a(n ? 1, 且n ? N ) ,则这个数称 a 的 n 次方根。即
? 若 x ? a ,则 x 称 a 的 n 次方根 n ? 1且n ? N ) ,
n

?

1)当 n 为奇数时, a的n 次方根记作 n a ; 2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数, 记作 ? n a (a ? 0)

②性质:1) (n a ) n ? a ;2)当 n 为奇数时, n a n ? a ; 3)当 n 为偶数时, n a ?| a |? ? (2) .幂的有关概念 ①规定:1) a n ? a ? a ? ?? a(n ? N*;2) a 0 ? 1(a ? 0) ; n个 3) a
?p

?a(a ? 0) 。 ?? a(a ? 0)

1 ? p ( p ?Q,4) a n ? n a m (a ? 0, m 、 n ?N* 且 n ? 1) a
r s r ?s

m

②性质:1) a ? a ? a
r s r ?s

; (a ? 0, r 、 s ?Q)

2) (a ) ? a (a ? 0, r 、 s ? Q) ; 3) (a ? b) ? a ? b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) 。
r r r

(注)上述性质对 r、 s ?R 均适用。 (3) .对数的概念 ①定义:如果 a(a ? 0, 且a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a ? N ,那么数 b 称以 a 为
b

底 N 的对数,记作 loga N ? b, 其中 a 称对数的底,N 称真数 1)以 10 为底的对数称常用对数, log10 N 记作 lg N ;

?) 为底的对数称自然对数, loge N ,记作 ln N ; 2)以无理数 e(e ? 2.71828
②基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数) ;2) loga 1 ? 0 ; 3) loga a ? 1 ;4)对数恒等式: a
loga N

? N。

③运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则

1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; 2) log a

M ? log a M ? log a N ; N

3) loga M n ? n loga M (n ?R) ④换底公式: loga N ?

logm N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), logm a
n

1) loga b ? logb a ? 1 ;2) log a m b ? 2.指数函数与对数函数 (1)指数函数:

n log a b 。 m

①定义:函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数,
x

1)函数的定义域为 R;2)函数的值域为 (0,??) ; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数。 ②函数图像:

1)指数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、二象限; 2)指数函数都以 x 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向左无限接近 x 轴,当 a ? 1 时,图象向右无限接近 x 轴) ; 3)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? a x与y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称 ③函数值的变化特征:

0 ? a ?1
① x ? 0时0 ? y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 , ③ x ? 0时y ? 1

a ?1
① x ? 0时y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 , ③ x ? 0时0 ? y ? 1 ,

(2)对数函数: ①定义:函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 称对数函数, 1)函数的定义域为 (0,??) ;2)函数的值域为 R; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数; 4)对数函数 y ? loga x 与指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数 ②函数图像:

1)对数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、四象限; 2)对数函数都以 y 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向上无限接近 y 轴;当 a ? 1 时,图象向下无限接近 y 轴) ; 4)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? loga x与y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对
a

称。 ③函数值的变化特征:

0 ? a ?1
① x ?1 时y ? 0 , ② x ? 1时y ? 0 ,

a ?1
① x ? 1时y ? 0 , ② x ? 1时y ? 0 , ③ x ? 0时0 ? y ? 1 .

时y ? 0 . ③0 ? x ?1

(3)幂函数 1)掌握 5 个幂函数的图像特点 2)a>0 时,幂函数在第一象限内恒为增函数,a<0 时在第一象限恒为减函数 3)过定点(1,1)当幂函数为偶函数过(-1,1),当幂函数为奇函数时过(-1,-1) 当 a>0 时过(0,0) 4)幂函数一定不经过第四象限

四. 【典例解析】 题型 1:指数运算
? ? 3 ? 4 0.5 0.25 例 1. (1)计算: [(3 ) 3 (5 ) ? (0.008) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.0625 ; 8 9 2 2 1 1

4

1

(2)化简:

a 3 ? 8a 3 b 4b ? 2 ab ? a
3
2

2 3

2 3

? (a

?

2 3

?

23 b a ? 3 a2 )? 。 5 a a ?3 a
2 1

解: (1)原式= [(

8 3 49 1000 3 4 2 625 4 ) ? ( )2 ? ( ) ? 50 ? ]?( ) 27 9 8 10 10000

1

4 7 1 4 2 1 17 2 ? [ ? ? 25? ? ] ? ? (? ? 2) ? 2 ? ; 9 3 2 9 9 5 2 10

(2)原式=

a [(a ) ? (2b ) ] (a ) ? a ? (2b ) ? (2b )
1 3 2 1 3 1 3 1 3 2

1 3

1 3 3

1 3 3

?

a ? 2b (a ? a ) ? 1 1 1 a (a 2 ? a 3 ) 5
2 3

1 3

1 3

2 3

1 2

? a (a ? 2b ) ?

1 3

1 3

1 3

a a ? 2b
1 3 1 3

?

a a

5 6 1 6

? a ? a ? a ? a2 。

1 3

点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数 幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指 数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾 运算的顺序。 例 2. (1)已知 x 2 ? x
1 2 1 2 1 ? 1 2

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值

?3

解:∵ x ? x
1 2 ?

?

? 3,

∴ (x ? x ) ? 9 , ∴ x?2? x ∴x?x
?1 ?1

1 2 2

? 9,

? 7,

∴ ( x ? x ?1 )2 ? 49 , ∴x ?x
2 ?2

? 47 ,
? 3 2

又∵ x ? x ∴

3 2

? ( x ? x ) ? ( x ? 1 ? x ?1 ) ? 3 ? (7 ? 1) ? 18 ,
? 47 ? 2 ? 3。 18 ? 3

1 2

?

1 2

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

?3

点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。 题型 2:对数运算 ( 2 ) .( 江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试 ) 幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点

(?2, ? 1 ) ,则满足 f ( x) =27 的 x 的值是 8

.

答案

1 3

例 3.计算 (1) (lg 2) ? lg 2 ? lg50 ? lg 25 ; (2) (log3 2 ? log9 2) ? (log4 3 ? log8 3) ;
2

(3)

lg 5 ? lg 8000? (lg 2 3 ) 2 1 1 lg 600 ? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2

解: (1)原式 ? (lg 2)2 ? (1 ? lg5)lg 2 ? lg52 ? (lg 2 ? lg5 ? 1)lg 2 ? 2lg5

? (1 ? 1) lg 2 ? 2lg 5 ? 2(lg 2 ? lg 5) ? 2 ;
(2)原式 ? (

lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ? )?( ? )?( ? )?( ? ) lg 3 lg 9 lg 4 lg8 lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2 3lg 2 5lg 3 5 ? ? ; 2lg 3 6lg 2 4
2

?

(3)分子= lg 5(3 ? 3 lg 2) ? 3(lg 2) ? 3 lg 5 ? 3 lg 2(lg 5 ? lg 2) ? 3; 分母= (lg 6 ? 2) ? lg

36 1 6 ? ? lg 6 ? 2 ? lg ? 4; 1000 10 100

3 ? 原式= 。 4
点评:这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高, 但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以 及学习数式变换的各种技巧 例 4.设 a 、 b 、 c 为正数,且满足 a ? b ? c
2 2 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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特级教师 王新敞
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b?c a?c ) ? log 2 (1 ? ) ? 1; a b b?c 2 ) ? 1 , log8 (a ? b ? c) ? ,求 a 、 b 、 c 的值。 (2)若 log 4 (1 ? a 3 a?b?c a?b?c a?b?c a?b?c ? log 2 ? log 2 ( ? ) 证明: (1)左边 ? log 2 a b a b
(1)求证: log 2 (1 ?

? log 2

( a ? b) 2 ? c 2 a 2 ? 2ab ? b2 ? c 2 2ab ? c 2 ? c 2 ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 ? 1 ; ab ab ab
b?c b?c ) ? 1 得1 ? ? 4, a a

解: (2)由 log 4 (1 ?

∴ ?3a ? b ? c ? 0 ……………①
2 2 由 log8 (a ? b ? c) ? 得 a ? b ? c ? 8 3 ? 4 ………… ……………② 3

由① ? ②得 b ? a ? 2 ……………………………………③ 由①得 c ? 3a ? b ,代入 a ? b ? c 得 2a(4a ? 3b) ? 0 ,
2 2 2

∵ a ? 0 , ∴ 4a ? 3b ? 0 ………………………………④ 由③、④解得 a ? 6 , b ? 8 ,从而 c ? 10 。 点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化 简到最见形式再来处理即可。 题型 3:指数、对数方程 例 5.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a,b 的值; (2) 若对任意的 t ? R , 不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立, 求 k 的取值范围.
2 2

? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

解 (1) 因为 f ( x) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0, 即

?1? b ? 0, 解得 b ? 1 2?a

1 ? ?1 ? 2x ?1 ? 2 ?1 . 又由 f (1) ? ? f (?1)知 从而有 f ( x) ? x ?1 ,解得 a ? 2 ?? 2 2 ?a 4?a 1? a ? 2x ?1 1 1 ?? ? x , (2)解法一:由(1)知 f ( x) ? x ?1 2 2 ?1 2 ?2 由上式易知 f ( x) 在 R 上为减函数,又因 f ( x) 是奇函数,从而不等式
f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ). 2 2 因 f ( x) 是 R 上的减函数,由上式推得 t ? 2t ? ?2t ? k. 1 即对一切 t ? R有3t 2 ? 2t ? k ? 0, 从而 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得 k ? ? 3 x ?2 ?1 , 解法二:由(1)知 f ( x) ? x ?1 2 ?2 2 2 ?2 t ?2t ?1 ? 2 2t ?k ? 1 又由题设条件得 2 ? 2 ?0 2 t ?2t ?1 ? 2 2 2t ?k ?1 ? 2 2 2 2 2 即 (22t ?k ?1 ? 2)(?2t ?2t ? 1) ? (2t ?2t ?1 ? 2)(?22t ?k ? 1) ? 0
整理得 2
3t 2 ?2t ?k

? 1 ,因底数 2>1,故 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得 k ? ? .

例 6. (2008 广东 理 7) 设 a ? R ,若函数 y ? e ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( B )
ax

1 3 ax 【解析】 f '( x) ? 3 ? ae , 若函数在 x ? R 上有大于零的极值点, 即 f '( x) ? 3 ? aeax ? 0 1 3 ax 有正根。 当有 f '( x) ? 3 ? ae ? 0 成立时,显然有 a ? 0 ,此时 x ? ln(? ) , 由x ? 0我 a a 们马上就能得到参数 a 的范围为 a ? ?3 .
A. a ? ? 3 B . a ? ?3 C. a ? ? D. a ? ? 点评:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不含指数、 对数因式的普通等式或方程的形式,再来求解。 题型 4:指数函数的概念与性质 例 7.设 f ( x) ? ?
x ?1 ? ?2e , x<2, 则f ( f (2))的值为 ( 2 log ( x ? 1) , x ? 2. ? ? 3

1 3



A.0

B.1

C .2
0 ?1

D.3

解:C; f (2) ? log3 (2 2 ? 1) ? 1, f ( f (2)) ? 2e

?

2 。 e

点评:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值 例 8.已知 f (loga x) ? x ? x (a ? 0, 且a ? 1) 试求函数 f(x)的单调区间。
t 解:令 loga x ? t ,则 x= a ,t∈R。

?1

所以 f (t ) ? a? ? a 即 f ( x) ? a ? a
?t x

?x

, (x∈R) 。

因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数,故只需讨论 f(x)在[0,+∞)上的单调性。 任取 x1 , x2 ,且使 0 ? x1 ? x2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 )
? (a x2 ? a ? x2 ) ? (a x1 ? a ? x1 )
? (a x1 ? a x2 )(1 ? a x1 ? x2 ) a x1 ? x2

x1 x2 x1 ? x2 ?1 , 所 以 ( 1 ) 当 a>1 时 , 由 0 ? x1 ? x2 , 有 0 ? a ? a , a

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f(x)在[0,+∞]上单调递增。
x1 x2 x1 ? x2 ?1 , 所 以 ( 2 ) 当 0<a<1 时 , 由 0 ? x1 ? x2 , 有 0 ? a ? a , a

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f(x)在[0,+∞]上单调递增。
综合所述,[0,+∞]是 f(x)的单调增区间, (-∞,0)是 f(x)的单调区间。 点评:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的性质都需要借助指 数函数的性质来处理。特别是分 a ? 1,0 ? a ? 1 两种情况来处理。 题型 5:指数函数的图像与应用 例 9.若函数 y ? ( )

1 2

|1? x|

? m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是(
C.m≥1 D.0<m≤1



A.m≤-1

B.-1≤m<0

? 1 x ?1 1 |1? x| ?( 2 ) 解:? y ? ( ) ?? 2 ?2 x ?1 ?
画图象可知-1≤m<0。 答案为 B。

( x ? 1) ( x ? 1)



点评:本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征,解题的出发点仍然是

a ? 1,0, a ? 1两种情况下函数 y ? a x 的图像特征。
例 10.设函数 f ( x) ? 2| x?1|?| x?1| , 求使f ( x) ? 2 2x 的取值范围。 解:由于 y ? 2x 是增函数, f ( x) ? 2 2 等价于 | x ? 1| ? | x ? 1|? 1)当 x ? 1 时, | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 ,? ①式恒成立; 2)当 ?1 ? x ? 1 时, | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 x ,①式化为 2 x ? 3)当 x ? ?1 时, | x ? 1| ? | x ? 1|? ?2 ,①式无解; 综上 x 的取值范围是 ? , ?? ? 。 点评:处理含有指数式的不等式问题,借助指数函数的性质将含有指数式的不等式 转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理 题型 6:对数函数的概念与性质 例 11. (1)函数 y ?

3 2



3 3 ,即 ? x ? 1 ; 2 4

?3 ?4

? ?

log2 x ? 2 的定义域是(
B. [3,??)



A. (3,??)

C. (4,??)

D. [4,??)


(2) (2006 湖北)设 f(x)= lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为( 2? x 2 x
B.(-4,-1) ? (1,4)

(-4, 0) ? (0, 4) A.

C.(-2,-1) ? (1,2)
解: (1)D(2)B。

D.(-4,-2) ? (2,4)

点评:求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围,在对数函数中只 有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。 例 12. (2009 广东三校一模)设函数 f ?x? ? ?1 ? x? ? 2 ln?1 ? x? .
2

(1)求 f ?x ? 的单调区间; (2) 若当 x ? ? ? 1, e ? 1? 时 ,( 其中 e ? 2.718 ? ) 不等式 f ?x ? ? m 恒成立 , 求实数 m 的取值范围; (3)试讨论关于 x 的方程: f ?x ? ? x ? x ? a 在区间 ?0,2? 上的根的个数.
2

?1 ?e

? ?



( 1 )函数的定义域为 ?? 1,???, f ??x ? ? 2??x ? 1? ?

? ?

1 ? 2 x? x ? 2 ? . ? x ? 1? x ?1 ?

1

分 由 f ??x ? ? 0 得 x ? 0 ; 分 由 f ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 , 分 则增区间为 ?0,??? ,减区间为 ?? 1,0? . 分 (2) 令 f ?? x ? ? 4 3 2

2 x? x ? 2 ? ?1 ? ? 0, 得 x ? 0 , 由 (1) 知 f ?x ? 在 ? ? 1,0? 上递减 , 在 ?0, e ? 1? x ?1 ?e ?

上递增, 分 由 f? 分

6

1 ?1 ? 1 ? 1? ? 2 ? 2, f ?e ? 1? ? e 2 ? 2 ,且 e 2 ? 2 ? 2 ? 2 , e ?e ? e

8

?1 ? ? x ? ? ? 1, e ? 1? 时, f ?x ? 的最大值为 e 2 ? 2 ,故 m ? e 2 ? 2 时,不等式 f ?x? ? m ?e ?
恒成立. 分 (3)方程 f ?x ? ? x ? x ? a, 即 x ? 1 ? 2 ln?1 ? x ? ? a .记 g ?x ? ? x ? 1 ? 2 ln?1 ? x ? ,则
2

9

g ??x ? ? 1 ?

2 x ?1 ? .由 g ??x ? ? 0 得 x ? 1 ;由 g ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 . 1? x x ?1

所以 g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增. 而 g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1) 所以,当 a>1 时,方程无解; 当 3-2ln3<a≤1 时,方程有一个解, 当 2-2ln2<a≤a≤3-2ln3 时,方程有两个解; 当 a=2-2ln2 时,方程有一个解; 当 a<2-2ln2 时,方程无解. 分 字上所述,a ? (1,?? ) ? (?? ,2 ? 2 ln 2) 时,方程无解;
a ? (3 ? 2 ln 3,1] 或

10 分

13

a=2-2ln2 时,方程有唯一解;

a ? (2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3] 时,方程有两个不等的解.

14 分

例 13.当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是(

)

y
o
1

y
x A
o
1

y

y
o
1

x B

x C

o

1

x D

解:当 a>1 时,函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选, 又 a>1 时,y=(1-a)x 为减函数。 答案:B 点评:要正确识别函数图像,一是熟悉各种基本函数的图像,二是把握图像的性质, 根据图像的性质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性 例 14. 设 A、 B 是函数 y= log2x 图象上两点, 其横坐标分别为 a 和 a+4, 直线 l: x=a+2 与函数 y= log2x 图象交于点 C, 与直线 AB 交于点 D。 (1)求点 D 的坐标; (2)当△ABC 的面积大于 1 时, 求实数 a 的取值范围 解: (1)易知 D 为线段 AB 的中点, 因 A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)), 所以由中点公式得 D(a+2, log2 a(a ? 4) )。 (2)S△ABC=S 梯形 AA′CC′+S 梯形 CC′B′B- S 梯形 AA′B′B=…= log2 其中 A′,B′,C′为 A,B,C 在 x 轴上的射影。 由 S△ABC= log2

(a ? 2) 2 , a(a ? 4)

(a ? 2) 2 >1, 得 0< a<2 2 -2。 a(a ? 4)

点评:解题过程中用到了对数函数性质,注意底数分类来处理,根据函数的性质来

处理复杂问题。 题型 8:指数函数、对数函数综合问题 例 15.在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数 n 点 Pn 位于函数 y=2000(

a x ) (0<a<1)的图象上,且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 10

Pn 为顶点的等腰三角形。
(1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (2)若对于每个自然数 n, 以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形, 求 a 的取值范围; (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数, 问数列{Cn}前多少项的 和最大?试说明理由 解:(1)由题意知:an=n+ (2)∵函数 y=2000(

1 a n? ,∴bn=2000( ) 2 。 2 10

1

a x ) (0<a<10)递减, 10

∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2。 则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn, 即(

a 2 a ) +( )-1>0, 10 10

解得 a<-5(1+ 2 )或 a>5( 5 -1)。 ∴5( 5 -1)<a<10。 (3)∵5( 5 -1)<a<10,∴a=7

7 n? ∴bn=2000( ) 2 。数列{bn}是一个递减的正数数列, 10
对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn-1。

1

于是当 bn≥1 时,Bn<Bn-1,当 bn<1 时,Bn≤Bn-1, 因此数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥1 且 bn+1<1,

7 n? 由 bn=2000( ) 2 ≥1 得:n≤20。 10
∴n=20。 点评:本题题设从函数图像入手,体现数形结合的优越性,最终还是根据函数性质 结合数列知识,以及三角形的面积解决了实际问题。 例 16.已知函数 f ( x) ? loga (ax ? x )(a ? 0, a ? 1为常数) (1)求函数 f(x)的定义域;

1

(2)若 a=2,试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性

(3)若函数 y=f(x)是增函数,求 a 的取值范围。 解: (1)由 ax ? ∵a>0,x≥0
?x ? 0 1 ?? ?x? 2 2 2 a ?x ? a x

x ?0

得 x ? ax

∴f(x)的定义域是 x ? (

1 ,?? ) 。 a2

(2)若 a=2,则 f ( x) ? log2 (2x ? x ) 设 x1 ? x 2 ?

1 , 则 4

(2x1 ? x1 ) ? (2x2 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[2( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 )

故 f(x)为增函数。

(3)设 x1 ? x 2 ?

1 a2

则a x1 ? a x 2 ? 1

?(ax1 ? x1 ) ? (ax2 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? 1] ? 0

? ax1 ? x1 ? ax2 ? x2
∵f(x)是增函数, ∴f(x1)>f(x2)



即 loga (ax1 ? x1 ) ? loga (ax2 ? x2 )



联立①、②知 a>1,

∴a∈(1,+∞)。 点评:该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题,我们抓住对数函数的特点,结 合一般函数求定义域、单调性的解题思路,对“路”处理即可 题型 9:课标创新题 例 17. 对于在区间 ?m, n ? 上有意义的两个函数 f(x)与 g(x), 如果对任意的 x ? ?m, n ? , 均有 f ( x) ? g ( x) ? 1,则称 f(x)与 g(x)在 ?m, n ? 上是接近的,否则称 f(x)与 g(x)在 ?m, n ? 上是非接近的, 现有两个函数 f1 ( x) ? loga ( x ? 3a) 与 f 2( x) ? log a 给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 。 (1)若 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上都有意义,求 a 的取值范围; (2)讨论 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x) 在给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是否是接近的。

1 (a ? 0, a ? 1) , x?a

解: (1)两个函数 f1 ( x) ? loga ( x ? 3a) 与 f 2( x) ? log a

1 (a ? 0, a ? 1) 在给 x?a

定区间 ?a ? 2, a ? 3? 有意义,因为函数 y ? x ? 3a 给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上单调递增,函 数在 y ?

1 给定区间 ?a ? 2, a ? 3? 上恒为正数, x?a

?a ? 0 ? ? 0 ? a ? 1; 故有意义当且仅当 ?a ? 1 ?(a ? 2) ? 3a ? 0 ?
(2)构造函数 F ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? loga ( x ? a)(x ? 3a) , 对于函数 t ? ( x ? a)(x ? 3a) 来讲, 显然其在 (??,2a] 上单调递减,在 [2a,??) 上单调递增。 且 y ? loga t 在其定义域内一定是减函数 由于 0 ? a ? 1 ,得 0 ? 2a ? 2 ? a ? 2 所以原函数在区间 [a ? 2, a ? 3] 内单调递减,只需保证

?| F (a ? 2) |?| loga 4(1 ? a) |? 1 ? ?| F (a ? 3) |?| loga 3(3 ? 2a) |? 1
1 ? a ? 4(1 ? a ) ? ? ? a ?? ?3(3 ? 2a ) ? 1 ? a ?
当0 ? a ?

9 ? 57 时, f 1 ( x ) 与 f 2 ( x) 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是接近的; 12
时, f 1 ( x ) 与 f 2 ( x) 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是非接近的

当a ?

9 ? 57 12

点评:该题属于信息给予的题目,考生首先理解“接近”与“非接近”的含义,再对含有 对数式的函数的是否“接近”进行研究, 转化成含有对数因式的不等式问题, 解不等式即可。

例 18.设 x ? 1 , y ? 1 ,且 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 ,求 T ? x 2 ? 4 y 2 的最小值。 解:令 t ? log x y , ∵ x ? 1 , y ? 1 ,∴ t ? 0 。 由 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 得 2t ? ∴ (2t ? 1)(t ? 2) ? 0 ,∵ t ? 0 ,∴ t ?
2 2 2 2

2 ? 3 ? 0 ,∴ 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , t
1 1 1 ,即 log x y ? ,∴ y ? x 2 , 2 2

∴ T ? x ? 4 y ? x ? 4x ? ( x ? 2) ? 4 , ∵ x ? 1 ,∴当 x ? 2 时, Tmin ? ?4 。 点评:对数函数结合不等式知识处理最值问题,这是出题的一个亮点。同时考察了 学生的变形能力。 例 19.(2009 陕西卷文)设曲线 y ? x 的横坐标为 xn ,则 x1 ? x2 ? A.
n?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点

? xn 的值为
C.

1 n
B

B.

1 n ?1

n n ?1

D.1

答案

解析 对 y ? x

n?1

(n ? N * )求导得y' ? (n ? 1) xn ,令 x ? 1 得在点(1,1)处的切线的斜

率 k ? n ? 1 ,在点 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 y ?1 ? k ( xn ?1) ? (n ? 1)( xn ?1) , 不 妨 设

y ? 0,

xn ?

n n ?1

则 x1 ? x2 ?

1 2 3 n ?1 n 1 ? xn ? ? ? ? ... ? ? ? , 故选 B. 2 3 4 n n ?1 n ?1

五. 【思维总结】

1. n N ? a, a b ? N , loga N ? b (其中 N ? 0, a ? 0, a ? 1 )是同一数量关系的三 种不同表示形式,因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化,选择最好的形 式进行运算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同 底; 2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变 换技巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母) 、拆项、添项、换元等等,这些都是 经常使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验; 3. 解决含指数式或对数式的各种问题, 要熟练运用指数、 对数运算法则及运算性质, 更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识; 4.指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的 12 个小点)是解决含指数、 对数式的问题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常 常还要结合指数、对数的特殊值共同分析; 5.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分 类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类; 6.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它 函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各 类综合问题等等,因此要努力提高综合能力


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