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《导数及其应用》单元测试题(文科)


髙三第二次月考数学试题
(满分:150 分 时间:120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题,共 60 分,只有一个答案正确) 1、下列各三角函数值中,取负值的是( ); A.sin(-6600) B.tan(-1600) C.cos(-7400) D.sin(-4200)cos570 2、α 角是第二象限的角,│ cos

?

r />2

│= ? cos

?

2

,则角

? 属于: 2





A. 第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限. 3 已知 ? 是钝角,则 A, 第四象限角

? 是 2

(

) C, 第一、三象限角 D, 锐角 )

B, 第二象限角

4、已知 ? 、 ? 是第二象限的角,且 cos? ? cos ? ,则 (

A. ? ? ? ; B. sin? ? sin ? ; C. tan? ? tan ? ;D.以上都不对. 5、已知-

?
6

? x<

? m ?1 ,cosx= ,则 m 的取值范围是( m ?1 3

)

A.m<-1

B. 3<m≤7+4 3
2

C. m>3 D. 3<m≤7+4 3 或 m<-1 )
2

6.函数 f ( x) ? ?2?x ? 的导数是( (A) f ?( x) ? 4?x

(B) f ?( x) ? 4? x

(C) f ?( x) ? 8? x
2

(D) f ?( x) ? 16?x

7 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f ( ? x) ? ? f ( , x)

, 且 g? ( x)? g ( x ) x?0 时 ,

f ?( x)? , 0 ?g (? x ) ,则 0 x ? 0 时(
A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
3



B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ) (D) b ?

8.若函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 ?0,1? 内有极小值,则( (A) 0 ? b ? 1
x

(B) b ? 1
2

(C) b ? 0

1 2


9.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

9 2 A. e 4

B. 2e

2

C. e

2

e2 D. 2

10.设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标

系中,不可能正确的是( )

11.设 p : f (x) ? e ? ln x ? 2 x ?mx ? 1
x 2

在 (0, ? ?) 内单调递增,q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的



) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

12.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x <0 时, f ( x) 是单调递减的,则不等式

f (2 x ? 1) > f (7 ? x) 的解集是
(A).(- ? ,0) ? (2, +?) (B)(0, +?) 二.填空题(本大题共 4 小题,共 20 分) (C)(- ? ,-8)
2

(D)(- ? ,-8) ? (2, +?) 。

13.已知 tan ? ? ? ,则 2sin ? cos ? ? cos ? ? 14.若 f (? ) ?

1 3

? 3 cos(1800 ? ? )sin(3? ? ? )sin(?? ? ) 2 2 3 15.点 P 在曲线 y ? x ? x ? 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ? ,则 ? 的取值 3
范围是 16.已知函数 y ? 范围是

sin(2? ? ? ) cos(? ? ? )

则 f( )?

?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值 3
.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 10+12+12+12+12+12=70 分) 17.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围.
2

18、当 2k? ?

?
4

? ? ? 2k? ?

?
4

?k ? Z ? 时,化简:

1 ? 2 sin ? ? cos? ? 1 ? 2 sin ? ? cos?

19、已知 sin ? 、 cos? 是方程 4 x ? 2 6 x ? m ? 0 的两实根,求:
2

(1) m 的值; (2) sin ? ? cos ? 的值.
3 3

20(本小题共 13 分) 已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。 (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值范围。

21. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 3.
3 2

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围.

a2 22.已知函数 f ? x ? ? x ? , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;
,e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求 (2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1
实数 a 的取值范围.

【文科测试解答】 一、选择题
DCDBC CBADD AD 二.填空题

13.? 3

1 5

14. 2

? ? ? 3? ? 15.? ?0, ? ? ? , ? ?
? 2? ? 4 ?

16. a ? ?3.

三、解答题
2 17.解:(1) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,

因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 8c ,
3 2

f ?( x) ? 6 x 2 ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) .
当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1 , 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .

3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ? ? 0, 3? ,有 f ( x) ? c 恒成立, 因为对于任意的 x ? ? 0,
2

所以 解得

9 ? 8c ? c2 ,

c ? ?1 或 c ? 9 ,

因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) . 18、2cos ? 19、(1)m=1 , (2) ? 20【答案】

3 6 8

21.解(1) f ?( x) ? 6 x ? 6 x, f ?(2) ? 12, f (2) ? 7,
2 3 2 2

………………………2 分

∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 ? 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ? 17 ? 0 ;……4 分 (2)记 g ( x) ? 2 x ? 3x ? m ? 3, g ?( x) ? 6 x ? 6 x ? 6 x( x ?1) 令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1. …………………………………………………………6 分 则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x (??,0) 0 (0,1) (1, ??) 1 ? g ?( x) ? ? 0 0 g ( x) 极大 极小 ? ? ? 当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . ………………………10 分 ? g (0) ? 0 , 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ? ? g (1) ? 0 ?m ? 3 ? 0 , ? 3 ? m ? ?2 时, 即? ?m ? 2 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .…………14 分

22.(1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0,? ? ? , x

a2 1 ? . x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点, ∴a ? 3. 解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ?? , ? ln x ,其定义域为 ? 0, x

a2 1 ? . x2 x a2 1 2 2 ? 令 h ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去), x2 ? , 4 4

x
h? ? x ? h ? x?
依题意,

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ?? ?


?

?

?1 ? 1 ? 8 a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4 ∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . ,e? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的 ( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1 , x2 ? ?1
x1 , x2 ? ?1,e? 都有 ? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max .

当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ?

∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1,e ? 上是增函数. ∴? ? g ? x ?? ?

1 ? 0. x

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ,且 x ? ?1, e ? , a ? 0 . ? x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x
∵ f ?? x? ? 1? ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .
2

max

? g ?e? ? e ?1 .

由 1 ? a ≥ e ? 1,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1,∴ a 不合题意.
2

②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2 ? x ? a ?? x ? a ? x2 ?0.

若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴? ? f ? x ?? ? min

a2 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e ? 上是增函数. x ? f ? a ? ? 2a .

由 2a ≥ e ? 1,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

e ?1 ≤a≤e. 2

e ?1 , 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴? ? f ? x ?? ? min 由e?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1,e ? 上是减函数. x a2 ? f ?e? ? e ? . e

a2 ≥ e ? 1,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴ a ? e . ? e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?

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