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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】3.2.5精要课件 距离(选学)


3.2.5

3.2.5 距离(选学)
【学习要求】
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掌握向量长度计算公式,会用向量方法求两点间的距离、点到 平面的距离、线面距和面到面的距离. 【学法指导】 空间距离是学习的难点,用向量求距离是一种有效的方法,回 避了作图,再次显现向量的威力.

填一填·知识要点、记

下疑难点

3.2.5

1.图形与图形的距离

任一点 任一点 一个图形内的____________与另一图形内的__________的
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最小值 距离中的__________,叫做图形与图形的距离.
2.点到平面的距离

正射影 一点到它在一个平面内__________的距离,叫做点到这个平
面的距离. 3.直线与它的平行平面的距离

任一点 一条直线上的__________到与它平行的平面的距离,叫做直
线与平面的距离.

填一填·知识要点、记下疑难点
4.两个平行平面的距离

3.2.5

垂直 (1)和两个平行平面同时________的直线,叫做两个平面的
公垂线.

公垂线 (2)__________夹在平行平面间的部分,叫做两个平面的公
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垂线段.

公垂线段的长度 (3)两平行平面的____________________,叫做两平行平面
的距离. 5.四种距离的关系

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3.2.5

探究点一 两点间的距离 问题 1 怎样理解两个图形之间的距离?
本 答案 两个图形之间的距离是指一个图形内的任一点与另一 专 题 图形内的任一点距离中的最小值. 栏 目 问题 2 几何度量中最基本的距离是什么? 开 答案 两点之间的距离是几何度量中最基本的距离, 计算任何 关

图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.

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3.2.5

问题 3

怎样利用向量求两点间的距离?

答案 利用基向量或坐标表示向量后,两点间的距离就转化
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为向量的模,可以利用向量的数量积进行计算.
2 设 a=(a1,a2,a3),则|a|= a2+a2+a2,若 A(x1,y1,z1), 1 3

B(x2,y2,z2),则 → dAB=|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2.

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例 1 如图,平行六面体 ABCD—A′B′C′D′ 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 AA′的长为 b, 且∠A′AB=∠A′AD=120° .
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3.2.5

求:AC′的长. → → → → 解 ∵AC′=AB+AD+AA′, → → → → ∴|AC′|2=(AB+AD+AA′)2 → → → → → → → → → =AB2+AD2+AA′2+2(AB· +AB· AD AA′+AD· AA′) 1 1 2 2 2 =a +a +b +2(0-2ab-2ab)
=2a2+b2-2ab → ∴|AC′|= 2a2+b2-2ab.

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3.2.5

小结
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计算两点间的距离的基本方法:

(1)把线段用向量表示, 然后利用|a|2=a· 通过向量运算求|a|. a, (2)求解的图形适宜建立空间直角坐标系时,可用坐标法求向 量的长度(或两点间距离).

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3.2.5

跟踪训练 1 已知矩形 ABCD 中,AB=4,AD=3.沿对角线 AC 折叠,使面 ABC 与面 ADC 垂直,求 B、D 间的距离.

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过 D 和 B 分别作 DE⊥AC 于 E,BF⊥AC

于 F, 则由已知条件可知 AC=5, 3×4 12 3×4 12 ∴DE= = ,BF= = . 5 5 5 5

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3.2.5

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AD2 9 ∵AE= = =CF, AC 5 9 7 ∴EF=5-2× = , 5 5 → → → → ∵DB=DE+EF+FB. → → → → ∴|DB|2=(DE+EF+FB)2 → → → → → → → → → =DE2+EF2+FB2+2DE· +2DE· +2EF· . EF FB FB

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3.2.5

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∵面 ADC⊥面 ABC,DE⊥AC,∴DE⊥面 ABC, → → ∴DE⊥BF,即DE⊥FB, → 2 → 2 → 2 → 2 144 49 144 337 ∴|DB| =DE +EF +FB = + + = , 25 25 25 25 337 337 → ∴|DB|= .故 B、D 间的距离是 . 5 5

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3.2.5

探究点二 问题 1
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点到平面的距离

什么叫点到平面的距离?
一点到它在一个平面内正射影的距离叫做

答案

点到这个平面的距离. 如图,PA⊥α 垂足为 A,PB 和 α 交于点 B,易知 PA<PB.

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3.2.5

问题 2
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怎样利用向量求点到平面的距离?

答案 如图所示,设 n 是平面 α 的法向量,AB 是平面 α 的一条斜线, 则点 B 到平面 α 的距离 d → |AB· n| → = .若 n0 是平面 α 的单位向量, d=|AB·0|. 则 n |n|

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例2 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的 长方体被截面 AEC1F 所截而得到的,其 中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. 求点 C 到平面 AEC1F 的距离.
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3.2.5

解 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 D(0,0,0), B(2,4,0), A(2,0,0), C(0,4,0), E(2,4,1),C1(0,4,3). 设 n1 为平面 AEC1F 的法向量, 显然 n1 不垂直于平面 ADF,故可设 n1=(x,y,1).

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? → ?n1· =0 AE 由? → ?n1· 1=0, EC ?
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?0· y+1=0, ? x+4· 得? ?-2· x+0· y+2=0, ?

3.2.5

?x=1, ? ∴? 1 ?y=-4. ? ? ? 1 → 即 n1=?1,- ,1?.又CC1=(0,0,3). 4 ? ?
?4y+1=0, ? 即? ?-2x+2=0, ?

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→ 设CC1与 n1 的夹角为 α, → CC1·1 n 3 4 33 则 cos α= = = . 33 → 1 |CC1||n1| 3× 1+ +1 16
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3.2.5

∴C 到平面 AEC1F 的距离为 4 33 4 33 → d=|CC1|cos α=3× = . 33 11

小结 利用向量求点到平面的距离就是求从该点出发的平 面任一条斜线段对应的向量在平面的法向量的投影的绝对 值.

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跟踪训练 2 如图, 四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥平 面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB、PD 的中点,若 PA=AD=3,CD= 6.求
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3.2.5

点 F 到平面 PCE 的距离.
解 如图建立空间直角坐标系 A—xyz. A(0,0,0),P(0,0,3),D(0,3,0), ? 6 ? ? 3 3? ? ? E? ,0,0?,F?0, , ?, 2 2? ? ? 2 ? ? ? ? 6,3,0?. C? ?

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3.2.5

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设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z), ? → ? 6 ? EP=?- ,0,3?, ? 2 ? ? ? → ? 6 ? EC=? ,3,0?. ? ?2 ? ? ?- 6x+3z=0, ? → ?n· =0, EP ? 2 ? 即? → ? 6x+3y=0. ?n· =0, EC ? ?2 ? 3? → ? 3 取 y=-1,得 n=( 6,-1,1),又PF=?0, ,- ?, 2 2? ? 故点 F 到平面 PCE 的距离为 ? 3 3? ?- - ? → |PF· ? 2 2 ? 3 2 n| d= = = . |n| 4 2 2

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探究点三

线面和面面距离

例 3 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1,∠BCA=
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90° ,AC=BC=2,A1 在底面 ABC 上的射影 恰为 AC 的中点 D,又知 BA1⊥AC1. (1)求证:AC1⊥平面 A1BC; (2)求 CC1 到平面 A1AB 的距离.

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(1)证明 如图所示,取 AB 的中点 E,则 DE∥BC, 因为 BC⊥AC,所以 DE⊥AC,又 A1D⊥平面 ABC,
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3.2.5

以 DE,DC,DA1 所在直线为 x,y,z 轴建立 空间直角坐标系, 则 A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t), → → → → → AC1=(0,3,t),BA1=(-2,-1,t),CB=(2,0,0),由AC1· CB =0, 知 AC1⊥CB,又 BA1⊥AC1, 且 CB∩BA1=B,从而 AC1⊥平面 A1BC.

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3.2.5

(2)解

→ → 由AC1· 1=-3+t2=0,得 t= 3. BA

设平面 A1AB 的法向量为 n=(x,y,z), → → AA1=(0,1, 3),AB=(2,2,0),
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? → ?n· 1=y+ 3z=0 AA 所以? → ?n· =2x+2y=0 ? AB



设 z=1,则 n=( 3,- 3,1). → |AC1· 2 21 n| 所以点 C1 到平面 A1AB 的距离 d= = . |n| 7 又∵CC1∥平面 A1AB. 2 21 ∴CC1 到平面 A1AB 的距离为 . 7

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小结

直线到平面的距离、平面到平面的距离常转化为点

到平面的距离,利用向量来求.

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跟踪训练 3 已知正方形 ABCD 的边长为 1,

3.2.5

PD⊥平面 ABCD,且 PD=1,E、F 分别为 AB、BC 的中 点.求直线 AC 到平面 PEF 的距离.
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建立如图所示的空间直角坐标系,则

D(0,0,0) , P(0,0,1) , A(1,0,0) , C(0,1,0) , ? ? ?1 ? 1 E?1, ,0?,F? ,1,0?. 2 ? ? ?2 ?

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3.2.5

∵AC∥EF,AC?平面 PEF,EF?平面 PEF, ∴AC∥平面 PEF.
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∴AC 到平面 PEF 的距离即为点 A 到平面 PEF 的距离.
? → ? 1 又AE=?0, ,0?,平面 PEF 的一个法向量为 n=(2,2,3), 2 ? ?

则点 A 到平面 PEF 的距离为 ?? ? ? 1 ??0, ,0?· → ?2,2,3?? |AE· ?? 2 n| 17 ? ? d= = = 17 . |n| 17

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3.2.5

1. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 棱长为 2, A1A 到平面 B1D1DB 则 的距离为
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( A )

2 3 2 A. 2 B.2 C. D. 2 2 解析 由题意可知, 1A∥平面 B1D1DB, 1A 到平面 B1D1DB A A

的距离就是 A1 点到平面的距离.连接 A1C1,交 B1D1 于 O1, 1 A1O1 即为所求.由题意可得 A1O1= A1C1= 2. 2

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3.2.5

2.已知平面 α 的一个法向量 n=(-2,-2,1),点 A(-1,3,0) 在 α 内,则 P(-2,1,4)到 α 的距离为 8 10 A.10 B.3 C. D. 3 3 ( D)

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3.2.5

→ → → 3. O 为坐标原点, =(1,1, 若 OA -2), =(3,2,8), =(0,1,0), OB OC 则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为 165 53 A. B.2 14 C. 53 D. 2 2 3 → 1 → → 解析 由题意得OP=2(OA+OB)=(2,2,3), 1 → → → PC=OC-OP=(-2,- ,-3), 2 1 53 → PC=|PC|= 4+4+9= 2 . ( D )

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4. 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AB=1.若二面角 C—AB—C1
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的大小为 60° ,则点 C 到平面 ABC1 的距离为________. 3 答案 4

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1.两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得. 2.点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得,线面 距、面面距可转化为点面距计算.


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