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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)


2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)

1.

众数、中位数、平均数

一 众数、中位数、平均数的概念
众数、中位数、平均数都是描述一组 数据的集中趋势的特征数,只是描述的角 度不同,其中以平均数的应用最为广泛. 众数:在一组数据中,出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数.
中数:将

一组数据按大小依次排列, 把处在最中间位置的一个数据(或最中 间两个数据的平均数)叫做这组数据的 中位数.

平均数: 一组数据的算术平均数,即

x= x= 练习: 在一次中学生田径运动会上, 参加男子跳高的17名运动员的成绩如下 表所示:
成绩(单 位: 米)

1 ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) n

1.50 1.60 1.65 2 3 2

1.70 3

1.75 4

1.80 1

1.85 1

1.90 1

人数

分别求这些运动员成绩的众数,中位数与 平均数

解:在17个数据中,1.75出现了4次,出现的 次数最多,即这组数据的众数是1.75. 上面表里的17个数据可看成是按从小到大 的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的 一个数据,即这组数据的中位数是1.70; 这组数据的平均数是

答:17名运动员成绩的众数、中位数、平均数 依次是1.75(米)、1.70(米)、1.69(米).

二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图 中,就是最高矩形的中点的横坐标。 例如,在上一节调查的100位居民的月 均用水量的问题中,从这些样本数据的频 率分布直方图可以看出,月均用水量的众 数是2.25t.如图所示:

频率 组距

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

O

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

月平均用水量(t)

2、在样本中,有50%的个体小于或等于 中位数,也有50%的个体大于或等于中位 数,因此,在频率分布直方图中,中位数 左边和右边的直方图的面积应该相等,由 此可以估计中位数的值。下图中虚线代表 居民月均用水量的中位数的估计值,此数 据值为2.03t.

频率 组距

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)

说明:

2.03这个中位数的估计值,与样本 的中位数值2.0不一样,这是因为样本数 据的频率分布直方图,只是直观地表明 分布的形状,但是从直方图本身得不出 原始的数据内容,所以由频率分布直方 图得到的中位数估计值往往与样本的 实际中位数值不一致.

3、平均数是频率分布直方图的“重 心”. 是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均 数由公式: 1 X= n ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) 给出.下图显示了居民月均用水量的平 均数: x=1.973

频率 组距

0.5 0.4 0.3

0.2
0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)



三种数字特征的优缺点

1、众数体现了样本数据的最大集中 点,但它对其它数据信息的忽视使得无 法客观地反映总体特征.如上例中众数是 2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的 居民数比月均用水量为其它数值的居民 数多,但它并没有告诉我们多多少.

2、中位数是样本数据所占频率 的等分线,它不受少数几个极端值的 影响,这在某些情况下是优点,但它 对极端值的不敏感有时也会成为缺点。 如上例中假设有某一用户月均用水量 为10t,那么它所占频率为0.01,几乎 不影响中位数,但显然这一极端值是不 能忽视的。

3、由于平均数与每一个样本的 数据有关,所以任何一个样本数据的 改变都会引起平均数的改变,这是众 数、中位数都不具有的性质。也正因 如此 ,与众数、中位数比较起来,平 均数可以反映出更多的关于样本数据 全体的信息,但平均数受数据中的极 端值的影响较大,使平均数在估计时 可靠性降低。

众数、中位数、平均数的 简单应用 例 某工厂人员及工资构成如下:
人员 周工资 人数 合计 经理 2200 1 2200 管理人员 250 6 1500 高级技工 220 5 1100 工人 200 10 2000 学徒 合计 100 1 23 100 6900



(1)指出这个问题中周工资的众数、中 位数、平均数 (2)这个问题中,工资的平均数能客观 地反映该厂的工资水平吗?为什么?

分析:众数为200,中位数为220,
平均数为300。

因平均数为300,由表格中所列 出的数据可见,只有经理在平均数以 上,其余的人都在平均数以下,故用 平均数不能客观真实地反映该工厂的 工资水平。


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