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第三章第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例

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第 8 讲 正弦定理和余弦定理的应用举例

1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角 (如图①).

2.方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②,B 点的方位角为 α). 3.方向角 相对于某一正方向的角(如图③).

(1)北偏东 α:指从正北方向顺时针旋转 α 到达目标方向. (2)东北方向:指北偏东 45°. (3)其他方向角类似. [做一做] 1.在某次测量中,在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60°,C 点的俯角为 70°,则∠BAC 等于( ) A.10° B.50° C.120° D.130° 答案:D

1.辨明两个易误点 (1)易混淆方位角与方向角概念: 方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹 角,而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角. (2)解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据),少用间接求出

的量. 2.解三角形应用题的一般步骤

[做一做] 2.若点 A 在点 C 的北偏东 30°,点 B 在点 C 的南偏东 60°,且 AC=BC,则点 A 在 点 B 的( ) A.北偏东 15° B.北偏西 15° C.北偏东 10° D.北偏西 10°

解析:选 B.如图所示,∠ACB=90°, 又 AC=BC, ∴∠CBA=45°, 而β=30°, ∴α=90°-45°-30°=15°. ∴点 A 在点 B 的北偏西 15°. 3.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的距 离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则 A,B 两点间的距离为________.

解析:由正弦定理得 AC·sin∠ACB AB= = sin B 答案:50 2 m 50× 1 2 2 2 =50 2(m).

,[学生用书 P73~P74]) 考点一__测量距离____________________________ 如图,隔河看两目标 A 与 B,但不能到达,在岸边先选取相距 3千米的 C,D 两点,同时,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C, D 在同一平面内),求两目标 A,B 之间的距离.

[解] 在△ACD 中, ∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°. ∴BC= 3sin 75° 6+ 2 = . 2 sin 60°
2 ? 6+ 2? -2× 3× 6+ 2×cos 75° ? 2 ? 2 ?

在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=( 3)2+?

=3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5(km), ∴A,B 之间的距离为 5 km. [规律方法] 求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要求距离问题的注意事项求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其 他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 1.如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,其方法为:先选定 适当的位置 C,用经纬仪测出角 α,再分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可求出 A,B 两点间 的距离,即 AB= a2+b2-2abcos α .若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,试 计算 AB 的长.

解:在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos ∠ACB, 2 2 2 ∴AB =400 +600 -2×400×600cos 60°=280 000. ∴AB=200 7 m. 即 A,B 两点间的距离为 200 7 m. 考点二__测量高度____________________________ (2014· 高考课标全国卷Ⅰ)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C

为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°, C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC =75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m.

[解析] 根据题图,AC=100 2 m. 在△MAC 中,∠CMA=180°-75°-60°=45°. AC AM 由正弦定理得 = ?AM=100 3 m. sin 45° sin 60° MN 在△AMN 中, =sin 60°, AM ∴MN=100 3× 3 =150(m). 2

[答案] 150 [规律方法] 求解高度问题的注意事项: (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线 与水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想 的运用. 2.(2015· 吉安模拟)要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度, 在 C 点测得塔 顶 A 的仰角是 45°, 在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°, 并测得水平面上的∠BCD=120°, CD=40 m,则电视塔的高度为________m. 解析:如图,设电视塔 AB 高为 x m, 则在 Rt△ABC 中, 由∠ACB=45°得 BC=x.在 Rt△ABD 中, ∠ADB=30°, 则 BD= 3 x. 在△BDC 中,由余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC· CD· cos 120°, 即( 3x)2=x2+402-2· x· 40· cos 120°, 解得 x=40, 所以电视塔高为 40 m.

答案:40 考点三__测量角度____________________________ 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前进, 若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度, 沿北偏东 45°+α 方向拦截蓝方的小艇, 若要在 最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α 的正弦值.

[解] 如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇,

则 AC=14x,BC=10 x,∠ABC=120°. 根据余弦定理得 (14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°, 解得 x=2. 故 AC=28,BC=20. BC AC 根据正弦定理得 = , sin α sin 120° 20sin 120° 5 3 解得 sin α= = . 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 α 的正弦值为 . 14 [规律方法] 解决测量角度问题的注意事项: (1)首先应明确方位角或方向角的含义. (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要 的一步. (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用. 3. 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向 匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船 相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问:乙船每小时航行多少海里?

解:如图,连接 A1B2. 由已知 A2B2=10 2, A1A2=30 2× 20 =10 2, 60

∴A1A2=A2B2. 又∠A1A2B2=180°-120°=60°, ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2.由已知,A1B1=20, ∠B1A1B2=105°-60°=45°. 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 2 2 B1B2 2=A1B1+A1B2-2A1B1·A1B2·cos 45° =202+(10 2)2-2×20×10 2× ∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船每小时航行 ×60=30 2海里. 20 2 =200, 2

方法思想——函数思想在解三角形中的应用 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇 出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小 时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速 行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值. [解] (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos(90°-30°) 2 = 900t -600t+400 = 1 2 t- ? +300, 900? ? 3?

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,v= =30 3, 3 1 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2) 设 小 艇 与 轮 船 在 B 处 相 遇 , 如 图 所 示 , 由 题 意 可 得 : (vt)2 = 202 + (30t)2 - 2· 20· 30t· cos(90°-30°),化简得: 1 3?2 400 600 v2= 2 - +900=400? ? t -4? +675. t t 1 1 1 由于 0<t≤ ,即 ≥2,所以当 =2 时,v 取得最小值 10 13, 2 t t 即小艇航行速度的最小值为 10 13海里/小时.

[名师点评] (1)解答本题利用了函数思想,求解时,把距离和速度分别表示为时间 t 的函数,利用函数的性质求其最值,第二问应注意 t 的范围. (2)关于三角形中的最值问题,有时把所求问题表示为关于角 θ 的三角函数,再利用三 角函数的性质来求解. (2014· 高考浙江卷改编)如图, 某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的 点 A 处进行射击训练. 已知点 A 到墙面的距离为 AB, 某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动, 此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小.若 AB=15 m,AC= 25 m,∠BCM=30°,求 tan θ 的最大值.(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)

解:如图,过点 P 作 PO⊥BC 于点 O,连接 AO,则∠PAO=θ. 设 CO=x m,则 OP= 3 x m. 3

在 Rt△ABC 中,AB=15 m,AC=25 m, 4 所以 BC=20 m.所以 cos∠BCA= . 5 所以 AO= 4 625+x2-2×25x× = x2-40x+625(m). 5 3 x 3 3 3 40 625 1- + 2 x x

所以 tan θ=

= x2-40x+625



3 3 . 2 25 ? -4? + 9 ? x 5? 25

3 3 25 4 125 5 3 当 = ,即 x= 时,tan θ取得最大值为 = . x 5 4 3 9 5

1. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站南偏西 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )

A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 80° D.南偏西 80° 解析: 选 D.由条件及题图可知, ∠A=∠B=40°, 又∠BCD=60°, 所以∠CBD=30°, 所以∠DBA=10°,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. 2. (2015· 河南郑州模拟)已知 A、 B 两地间的距离为 10 km, B、 C 两地间的距离为 20 km, 现测得∠ABC=120°,则 A,C 两地间的距离为( ) A.10 km B.10 3 km C.10 5 km D.10 7 km 解析:选 D.如图所示,由余弦定理可得:

AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700, ∴AC=10 7(km). 3.如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平面, 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( )

A.30° C.60°

B.45° D.75°

解析:选 B.依题意可得 AD=20 10(m),AC=30 5(m),又 CD=50(m), 所以在△ACD 中,由余弦定理得 AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= 2AC·AD = = (30 5)2+(20 10)2-502 2×30 5×20 10

6 000 2 = , 6 000 2 2 又 0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 4.如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=0.6 km,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往 河对岸的码头 B.已知 AB=1 km,水的流速为 2 km/h,若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最 短时间为 6 min,则客船在静水中的速度为( )

A.8 km/h B.6 2 km/h C.2 34 km/h D.10 km/h 解析:选 B.设 AB 与河岸线所成的角为 θ,客船在静水中的速度为 v km/h,由题意知,

2 1 ?2 ? 1 0.6 3 4 1 v = ×2? +12-2× ×2×1× sin θ= = ,从而 cos θ= ,所以由余弦定理得? ?10 ? ?10 ? 1 5 5 10

4 ,解得 v=6 2. 5 5.(2014· 高考四川卷)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

A.240( 3-1)m B.180( 2-1)m C.120( 3-1)m D.30( 3+1)m 解析:选 C.如图,在△ACD 中,∠CAD=90°-30°=60°,AD=60 m,所以 CD= AD· tan 60°=60 3(m). 在△ABD 中,∠BAD=90°-75°=15°,所以 BD=AD· tan 15°=60(2- 3)(m). 所以 BC=CD-BD=60 3-60(2- 3)=120( 3-1)(m).

6.一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°,距塔 68 海里的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为________海里/小时. 解析:由题意知,在△PMN 中,PM=68 海里,∠MPN=75°+45°=120°,∠MNP MN 68 =45°.由正弦定理,得 = ,解得 MN=34 6海里,故这只船航行的速度为 sin 120° sin 45° 34 6 17 6 海里/小时= 海里/小时. 4 2 17 6 答案: 2 7.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点 A、B 望对岸的标记物 C,测得∠CAB =30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则这条河的宽度为________.

解析:如图,在△ABC 中,过 C 作 CD⊥AB 于 D 点, 则 CD 为所求河的宽度.在△ABC 中,

∵∠CAB=30°,∠CBA=75°, ∴∠ACB=75°, ∴AC=AB=120 m. 在 Rt△ACD 中, CD=ACsin∠CAD =120sin 30°=60(m), 因此这条河的宽度为 60 m. 答案:60 m 8.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60°方 向,行驶 4 h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯塔的距离为 ________km. 解析:如图所示,依题意有 AB=15×4=60,∠DAC=60°,∠CBM=15°, ∴∠MAB=30°,∠AMB=45°. 60 BM 在△AMB 中,由正弦定理,得 = , sin 45° sin 30° 解得 BM=30 2.

答案:30 2 9.(2015· 郑州市质量预测)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在 该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、 △ABD,经测量 AD=BD=7 米,BC=5 米,AC=8 米,∠C=∠D.求 AB 的长度.

解:在△ABC 中,由余弦定理得 AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cos C= = .① 2AC·BC 2×8×5 在△ABD 中,由余弦定理得 AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 cos D= = .② 2AD·BD 2×7×7 由∠C=∠D 得 cos C=cos D, 解得 AB=7, 所以 AB 的长度为 7 米. 10.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出 该渔轮在方位角为 45°,距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105°的方 向,以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求 舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.(精确到 0.1°) 解:如图所示,根据题意可知 AC=10,∠ACB=120°,设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h,并在 B 处与渔轮相遇,则 AB=21t,BC=9t,在△ABC 中,根据余弦定理得 AB2=AC2

1 +BC2-2AC· BC· cos 120°,所以 212t2=102+81t2+2×10×9t× ,即 360t2-90t-100=0, 2 2 5 2 解得 t= 或 t=- (舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h. 3 12 3 此时 AB=14,BC=6. BC AB 在△ABC 中,根据正弦定理,得 = , sin ∠CAB sin 120° 3 6× 2 3 3 所以 sin ∠CAB= = ,即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2 °(舍去),即舰艇 14 14 航行的方位角为 45°+21.8°=66.8°. 2 所以舰艇以 66.8°的方位角航行,需 h 才能靠近渔轮. 3

1.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某 人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( ) A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m 解析:选 A.设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60°,AC=h,AB =100, BC= 3h, 根据余弦定理得, ( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60°, 即 h2+50h-5 000 =0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 2.如图,在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30°,测得湖中之影的俯 角为 45°,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( ) A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 m

解析:选 C.在△ACE 中, CE CM-10 tan 30°= = . AE AE CM-10 ∴AE= (m). tan 30° DE CM+10 在△AED 中,tan 45°= = , AE AE

CM+10 CM-10 CM+10 ∴AE= (m),∴ = , tan 45° tan 30° tan 45° 10( 3+1) ∴CM= =10(2+ 3)≈37.3 (m). 3-1 3.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶,在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处,测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75° 方向上,则点 B 与电视塔的距离是________km.

15 解析:由题意知 AB=24× =6,在△ABS 中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180° 60 -75°=105°,∴∠ASB=45°.由正弦定理知 3 2. 答案:3 2 4.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为 10 000 m,速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15°,经过 420 s 后看山顶的俯角为 45°,则山顶的海拔高度为________m.(取 2=1.4, 3=1.7) AB·sin 30° BS AB = ,∴BS= = sin 30° sin 45° sin 45°

解析:如图,作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45° , BC AB 21 000 ∴∠ACB=30°, AB=50×420=21 000(m). 又在△ABC 中, = , ∴BC= sin A sin ∠ACB 1 2 ×sin 15°=10 500( 6- 2). ∵CD⊥AD,∴CD=BC· sin ∠DBC=10 500( 6- 2)× 故山顶的海拔高度 h=10 000-7 350=2 650(m). 2 =10 500( 3-1)=7 350. 2

答案:2 650 5.(2014· 高考湖南卷)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7.

(1)求 cos∠CAD 的值; (2)若 cos∠BAD=- 7 21 ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6

解:(1)在△ADC 中,由余弦定理, AC2+AD2-CD2 得 cos∠CAD= , 2AC·AD 7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = . 7 2 7 (2)设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- , 7 14 所以 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD= sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 21 2 7?2 1-? = , 7 ? 7 ?

1-?-

?

7?2 3 21 = . 14 14 ?

于是 sin α=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BAD·cos∠CAD-cos∠BAD·sin∠CAD = 3 21 2 7 ? 21 3 7 · - - ?· = . 14 7 2 ? 14 ? 7

BC AC 在△ABC 中,由正弦定理, = . sin α sin∠CBA AC·sin α 故 BC= = sin∠CBA 7· 3 2 =3. 21 6

6.(选做题)(2013· 高考江苏卷) 如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种 路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线 步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘 缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度 12 3 为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= . 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范 围内? 12 3 解:(1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5

5 3 12 4 63 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= × + × = . 13 5 13 5 65 AB AC AC 1 260 4 由正弦定理 = ,得 AB= ·sin C= × =1 040(m). sin C sin B sin B 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得 d2 = (100 + 50t)2 + (130t)2 - 2×130t×(100 + 50t)× 200(37t2-70t+50). 1 040 由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37 BC AC AC 1 260 5 (3)由正弦定理 = ,得 BC= ·sin A= × =500(m). sin A sin B sin B 63 13 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. ? 500 设乙步行的速度为 v m/min, 由题意得-3≤ v - 710 1 250 625 ≤3,解得 ≤v≤ ,所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 50 43 14 1 250 625 min,乙步行的速度应控制在[ , )](单位:m/min)范围内. 43 14 12 = 13


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第三章 第八节 正弦定理和余弦定理应用举例

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第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例

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