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高一下期数学期末复习题4

时间:2015-06-29


高一下期数学期末复习题(4)
一、选择题 1.设 0 ?

A.

a ? b ,则下列不等式中正确的是 ( ) a?b a?b a ? b ? ab ? ?b B. a ? ab ? 2 2

C.

a ? ab ? b ?

a?b 2

D.

ab ? a ?


a?b ?b 2
24 25

2.已知 sin ? ? A ?

24 25

4 , sin ? ? cos ? ? 1 ,则 sin 2? = ( 5 12 4 B ? C ? 25 5
B.1

D

3.已知两条直线 A.2

y ? ax ? 2和y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于(
C. ? 1 D.0




4.在 ?ABC 中, tan A ?

1 3 10 , cos B ? ,则 tan C ? ( 2 10
C. 3 D. ? 2

A. ? 1

B.1

5. 已知等比数列{ an }中, 各项都是正数, 且 a1 , a3 , 2 a2 成等差数列, 则 A 1? 2 B 1? 2 C 3? 2 2 6.点(0,2)关于直线 x + 2y-1 = 0 的对称点是 ( ) A.(-2,0) B.(,0) C. (? ,? )

1 2

a9 ? a10 ?( a7 ? a8
D 1



6 5

2 5

D. (0,-1)

7. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 s n , 且 S2=10, S5=55, 则过点 P (n,an ) , Q (n+2,an?2 ) (n∈N*)的直线的斜率为( A 4 ) C -4 D -

1 B 4
3 2

1 4
) D. ?

8.方程 x2 ? x ? m ? 0 在 x ? ? ?1,1? 上有实根,则 m 的取值范围是 A. m ? ?



9 16

B. ?

9 5 ?m? 16 2

C. m ?

5 2

9 5 ?m? 16 2

a2 a2 ? c2 ? b2 ,则△ABC 是( ) ? b2 b2 ? c2 ? a2 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形

9.在△ABC 中,若

10.已知 M ( x , y ) , A(0 , ? ) , B( ?1 , 0) 三点共线,则 2 ? 4 的最小值为(
x y

1 2



A 2 2

B

2

C

2 2

D 无最小值

11. 某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为 30 元、20 元,生产甲产品每件需用 A 原料 2 千克、B 原料 4 千克,生产乙产品每件需用 A 原料 3 千克、B 原料 2 千克.A 原料 每日供应量限额为 60 千克,B 原料每日供应量限额为 80 千克.要求每天生产的乙种产品不 能比甲种产品多 10 件以上,则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( ) A.500 元 B.700 元 C.400 元 D.650 元

12. △ABC 满足 AB ? AC ? 2 3 ,?BAC ? 30? , 设 M 是△ ABC 内的一点(不在边界上), 定义 f (M ) ? ( x, y, z ) ,其中 x, y , z 分别表示△ MBC ,△ MCA ,△ MAB 的面积,若

1 4 1 f ( M ) ? ( x, y, ) ,则 ? 的最小值为( 2 x y
A 8 二、填空题: B 9 C 16

) D 18 .

13.函数 y ? cos2 x ? sin x 的最大值是

14. 若 3ax ? (a2 ? 3a ? 2) y ? 9 ? 0 表示直线 3ax ? (a2 ? 3a ? 2) y ? 9 ? 0 上方的平面区域, 则 . a 的取值范围是 15.等差数列 {an } 中, S9 ? 18, an?4 ? 30, S n ? 240,则 n 的值为 . 16.把公差 d ? 2 的等差数列 {an } 的各项依次插入等比数列 {bn } 中, 将 {bn } 按原顺序分成 1 项,2 项,4 项,…,2 n ?1 项的各组,得到数列 {cn } :b1 , a1 , b2 , b3 , a2 , b4 , b5 , b6 , b7 , a3 ,…, 数列 {cn } 的前 n 项的和为 Sn .若 c1 ? 1 , c2 ? 2 , S 3 ? 则数列 {cn } 的前 100 项之和 S100 = 三、解答题: 17.已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (1)求边 c 的长; (2)若 △ ABC 的面积为

13 . 4

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

18. 已知不等式 x ? 3x ? t ? 0的解集为 {x |1 ? x ? m, x ? R} (I)求 t,m 的值;
2
2

(2)若函数 f(x)=-x +ax+4 在区间 ? ??,1? 上递增,求关于 x 的不等式 loga(-mx +3x+2—t)<0 的解集。
2

19.设函数 f ( x) ? 31? x ? 1 ,函数 g ( x) ? ax2 ? 5x ? 2a . (1)求 f ( x) 在[0,1]上的值域; (2)若对于任意 x1 ? [0,1],总存在 x2 ? [0,1],使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范 围.

20. 已知过点 A(1,1) 且斜率为 ?m(m ? 0) 的直线 l 与 x, y 轴分别交于 P, Q , 过 P, Q 作直线 2 x ? y ? 0 的垂线,垂足分别为 S , R .求四边形 PQRS 的面积的最小值。

21. 已知函数 f(x)=a1x+a2x +…+anx (n∈N ), 且 a1, a2, a3, …, an 构成数列{an}, 又 f(1)=n . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证: f ( ) ? 1 .

2

n

*

2

1 3

22.等差数列

{an } 的各项均为正数, a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ; {bn} 为等比数列,

b1 ? 1 ,且 b2 S2 ? 6, b3S3 ? 24 , n ? N? .
(Ⅰ)求数列 (2)令 Cn

{an } 和 {bn} 的通项公式;
n 1 ? bn an ? an?2
,Tn

?

? C1 ? C2 ? C3 ?

? Cn ;是否存在最小的实数

t ,使得 t ? Tn ? 2(n ? 1)(n ? 2) 恒成立,若存在,请求出最小的实数 t ;若不存在,
请说明理由.

2n ? 3

参考答案 1-12:BACACC

ADDBDD 14. (1,2) 15.15; 16.

5 13. ; 4

1 1 [130 ? ( )186 ] 3 2 17.解: (1)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 2 AB ,两式相减,得 AB ? 1 . 1 1 1 (2)由 △ ABC 的面积 BC AC sin C ? sin C ,得 BC AC ? , 2 6 3 2 2 2 2 AC ? BC ? AB ( AC ? BC ) ? 2 AC BC ? AB 2 1 ? ? , 由余弦定理,得 cos C ? 2 AC BC 2 AC BC 2 所以 C ? 60 ?1 ? m ? 3 ?m ? 2 18.解:⑴? 不等式 x 2 ? 3x ? t <0 的解集为 {x|1 ? x ? m, x ? R} ∴ ? 得? ?t ? 2 ? m?t a 2 a2 a (x ? ) ?4? ⑵? f(x)= ? 在 (??,1] 上递增,∴ ? 1, a ? 2 2 2 4 ( ? mx 2 ?3 x ? 2?t ) ( ?2 x 2 ?3 x ) 又 loga ? loga <0 , 由 a ? 2 ,可知 0< ? 2 x 2 ? 3x <1 3 由 2 x 2 ? 3x ? 0 , 得 0<x< 2 1 2 由 2 x ? 3x ? 1 ? 0 得 x< 或 x>1 2 1 3 ? 故原不等式的解集为 ? x|0<x< 或 1<x< 2 2
19. (1)? f ( x)在[0,1]上单调递减

? f ( x) min ? f (1) ? 0, f ( x) max ? f (0) ? 1,即f ( x)的值域为 [0,2].
……………………………………..4 分

(2)f ( x)的值域为 [0,2], 设g ( x)在[0,1]上的值域为D, 由题意知 [0,2] ? D. [0,5],合条件。 ① a ? 0时,g ( x) ? 5x, 值域为 ……6 分 5 ? 0. ? g ( x)在[0,1]上单调递增 . ② a ? 0时,对称轴 x ? ? 2a g ( x) min ? g (0) ? ?2a ? 0 , g ( x) max ? g (1) ? 5 ? a, 由5 ? a ? 2 ? a ? 3,? 0 ? a ? 3. ………………….. 8 分 5 ? 0. ③ a ? 0时,对称轴 x ? ? 2a 5 5 当0 ? ? ? 1即a ? ? 时,最小值在 x ? 0或x ? 1处取, 2a 2 g (0) ? ?2a ? 0 ? a ? 0
g (1) ? 5 ? a ? 0 ? a ? 5, 均不合题意,舍去。 5 5 当? ? 1即 ? ? a ? 0时, g ( x)在[0,1]上单调递增, 2a 2 g ( x) min ? g (0) ? ?2a ? 0, 不合题意,舍去。
…………………………….12 分

综上, a ? [0,3].

……………………………13 分

1 ? 1, 0), Q(0, m ? 1) ,又 QR, PS 均为直线 m 1 2 x ? y ? 0 的 垂 线 , 则 直 线 QR : y ? x ? 1 ? m , 联 立 2 x ? y ? 0 解 得 2 2 4 R(? (1 ? m), (1 ? m)) ; 5 5 1 1 1 1 2 1 直线 PS : y ? ( x ? 1 ? ) ,联立 2 x ? y ? 0 解得 S ( (1 ? ), ? (1 ? )) ; 2 m 5 m 5 m 2 ?2 m ? 1 1 1 ,| PS |? m , ?| RS |? (3 ? ? 2m) ,又 | QR |? m 5 5 5 1 1 2 9 ? S四边形 ? (| QR | ? | PS |)? | RS |? (2m 2 ? 2 ? 9m ? ? 14) 2 10 m m 1 2 9 ? (2 2m2 2 ? 2 9m ? 14) ? 3.6 10 m m (当且仅当 m ? 1 时等号成立) 故四边形 PQRS 的面积的最小为 3.6 .
20.20. 解:直线 l : y ? 1 ? ?m( x ? 1) ,则 P ( 21.解: (1)由题意:f(1)=a1+a2+…+an=n ,(n∈N ) n=1 时,a1=1 n≥2 时,an=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+…+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1 * ∴对 n∈N 总有 an=2n-1, 即数列{an}的通项公式为 an=2n-1. (2) f ( ) ? 1 ?
2 *

1 1 1 1 ? 3 2 ? ? ? (2n ? 1) n 3 3 3 3 1 1 1 1 1 f( )? 1 ? 2 ? ? ? (2n ? 3) n ? (2n ? 1) n ?1 3 3 3 3 3

?

2 1 1 1 1 1 1 1 2 f ( ) ? 1 ? ? 2( 2 ? 3 ? ? n ) ? (2n ? 1) n ?1 ? ? ? 3 3 3 3 9 3 3 3 3

1?

1

3 n ?1 ? (2n ? 1) 1 1 3 n ?1 1? 3

2 2n ? 2 1 n ?1 ? n ?1 ,? f ( ) ? 1 ? n ? 1 3 3 3 3 22.解:(Ⅰ)设 {an } 的公差为 d (d ? 0), {bn } 的公比为 q ; ?
an ? 1 ? (n ?1)d , bn ? qn?1 ,

1 ? ? S3b3 ? (3 ? 3d )q 2 ? 24 ? d ? 1 ? d ? ? 依题意有 ? 或? ?? 2 (舍去) ?q ? 2 ? q ? 4 ? S2b2 ? (2 ? d )q ? 6 ?

?d ? 1 , 故 an ? n ; bn ? 2n?1 ? n ? N ? ? ?q ? 2 n 1 n 1 n 1 1 1 (II)由(I)知 Cn ? ? ? n?1 ? ? n?1 ? ( ? ), bn an an?2 2 n(n ? 2) 2 2 n n?2 n n i 1 1 1 ① Tn ? ? i ?1 ? ? ( ? ) i?2 i ?1 2 i ?1 2 i
解得 ?

n i i n?2 是一个典型的错位相减法模型, ? 4 ? n?1 . ? ? i ?1 i ?1 2 i ?1 2 i ?1 2 n 1 1 1 ( ? ) 是一个典型的裂项求和法模型, ? i?2 i ?1 2 i n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? i?2 2 3 2 4 3 5 n n?2 i ?1 2 i 1 1 1 1 3 2n ? 3 ? (1 ? ? ? )? ? 2 2 n ? 1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2) n?2 3 2n ? 3 19 n ? 2 2n ? 3 . Tn ? 4 ? n?1 ? ? ? ? n?1 ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2) 4 2 2(n ? 1)(n ? 2) 2n ? 3 19 n ? 2 故 Tn ? ? ? n?1 , 2(n ? 1)(n ? 2) 4 2 19 n ? 2 19 n ? 3 19 n ? 2 n ?1 ? n ?1 ,则 f (n ? 1) ? f (n) ? ? n ? ? n ?1 ? n ? 0 令 f ( n) ? 4 2 4 2 4 2 2 19 从而 f ( n) 在定义域内单调递增.从而 f ( n) ? , 4 2n ? 3 19 假设存在 t ? Tn ? 恒成立,则 t ? 4 2(n ? 1)(n ? 2) 19 即 t 最小值为 4 n


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