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甘肃省兰州第一中学2015届高三上学期期中考试数学试题


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兰州一中 2014-2015-1 学期高三期中考试 数学试题
说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试 时间 120 分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.函数 y ? A. [1, 2]

log 2 (2 x ? 1) 的定义域是
3

( C. ( ,1]

)

B. [1, 2)

1 2

D. [ ,1] )

1 2

2. 已知向量 a ? (?1, 2) , b ? (3, m) , m ? R ,则“ m ? ?6 ”是“ a //( a ? b) ”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

3. 若函数 f ( x) ? m ? log 2 x( x ? 1) 存在零点,则实数 m 的取值范围是 A. (??, 0] C. (??, 0) B. D.

[0, ??) (0, ??)
( )

4.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a 7 ? A.10 B. 18 C. 20 5.给出如下四个命题: ①若“ p ? q ”为真命题,则 p, q 均为真命题; D.28

②“若 a ? b, 则2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ≤ b ,则 2a ≤ 2b ? 1 ” ; ③“ ?x ? R, x ? x ? 1 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ” ;
2
2

1 ④“ x ? 0 ”是 “ x ? ≥ 2 ”的充要条件. x

其中不正确的命题是 A.①② B.②③

( C.①③ D.③④ (

)

6.已知函数 f ( x) ? x 2 ? cos x ,则 f (0.6), f (0), f (?0.5) 的大小关系是 A. f (0) ? f (0.6) ? f (?0.5) C. f (0.6) ? f (?0.5) ? f (0) B. f (0) ? f (?0.5) ? f (0.6) D. f (?0.5) ? f (0) ? f (0.6)

)

7.若 G 是 ?ABC 的重心, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 aGA ? bGB ?

3 cGC ? 0 , 3

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则角 A ? A. 90 B. 60 C. 45 D. 30

(

)

8.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 在 x ? ? 时取得极值,则函数 y ? f ( 3? ? x) 是( 4 4 A.奇函数且图象关于点 (? , 0) 对称 C.奇函数且图象关于点 ( 9.函数 f ( x) ?
3? , 0) 对称 2

)

B. 偶函数且图象关于点 (

3? , 0) 对称 2

D. 偶函数且图象关于点 (?? , 0) 对称

3 sin(?x ? ? )(? ? 0) 的部分图象如图所示,
2

若 AB ? BC ?| AB | ,则 ? 等于( A. C.

)

?
12

B. D.

? ?
4

?

3

6

10.如图, A 是半径为 5 的圆 O 上的一个定点, 单位向量 AB 在 A 点处与圆 O 相切, 点 P 是圆 O 上的一个动点,且点 P 与 点 A 不重合,则 AP ×AB 的取值范围是( A.(?5,5) B. ? ?5,5? C.( ? , )
5 5 2 2

) D. ? 0,5?

11.定义在实数集 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 0 ,且 f (4 ? x) ? f ( x) . 现有以下三种叙述: ① 8 是函数 f ? x ? 的一个周期; ② f ? x ? 的图象关于直线 x ? 2 对称; ③ f ? x ? 是偶函数.其中正确的是 A.②③ B. ①② C.①③ D. ①②③ ( )

?sin ? x(0 ? x ? 1) 12.(理)已知函数 f ( x) ? ? ,若 a, b, c 互不相等,且 f (a ) ? f (b) ? f (c) , ?log 2014 x( x ? 1)
则 a ? b ? c 的取值范围是 A. (1, 2014) B. [1, 2014]
x 2

( C. (2, 2015) D. [2, 2015]

)

( 文 ) 已 知 函 数 f ( x) ? e ( x ? x ? 1) ? m , 若

?a, b, c ? R

,且 a?b?c ,使得 ( )

f (a ) ? f (b ) ? f (c ) ? 0 .则实数 m 的取值范围是
A. (??,1) B. 1, e3

?

?

C. (1, )

第Ⅱ卷

(非选择题

3 3 D. (??,1) ? (e ? ?) e 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

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13.(理)

ò

  1

  0

(

1 + 2 x)dx =_______________________. x+ 1
3

( 文) 已知直线 y ? 2 x ? 1 与曲线 y ? x ? ax ? b 相切于点 (1,3) ,则实数 b 的值为 ______. 14. 若将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ? ?? ? 0 ? 个单位,得到的图象关于直线 x ? 称,则 ? 的最小值为_________. 15.已知 tan ? ? 4 ,则 16.以下命题: ①若 a ? b ? a ? b ,则 a // b ; ②向量 a ? (?1,1) 在 b ? (3, 4) 方向上的投影为
1 ? cos 2? ? 4sin 2 ? 的值为 sin 2?

?
6



.

1 ; 5

③若 ?ABC 中, a ? 5, b ? 8, c ? 7 ,则 BC ×CA ? 20 ; ④若非零向量 a , b 满足 a ? b ? b ,则 2b ? a ? 2b . 所有真命题的序号是______________. 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 c ? 2, C ? 60 . (Ⅰ)求
?

a?b 的值; sin A ? sin B
.

(Ⅱ)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 18. (本小题满分 12 分) 已 知 集 合

A ? {x || x ? 1 |? 2}



B ? {x |

x ? x ? 4? ? 0} ? x ? 1?? x ? 2 ?



C ? {x | 2 x 2 ? mx ? 1 ? 0} , m ? R .
(Ⅰ)求 A ? B, A ? B ; (Ⅱ)若 C ? ( A ? B ) ,求 m 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 3 sin x cos x ? 4 cos 2 x ? 1 .

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(Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 上的值域;

(Ⅱ)若对于任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,求 sin(2 x0 ? 20. (本小题满分 12 分)

?
3

).

已知 {an } 是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 2 S 2 ? 8 . (Ⅰ)求公差 d 的值; (Ⅱ)若 a1 ? 1 , Tn 是数列 {

1 1 } 的前 n 项和,不等式 Tn ? (m 2 ? 5m) 对所有的 an an ?1 18

n ? N * 恒成立,求正整数 m 的最大值.
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,函数 g ( x) ? e ,其中 e 为自然对数的底数.
x

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 ?x ? (0, ??) ,使得不等式 g ( x) ?

x?m?3 成立,试求实数 m 的取值范围; x

(Ⅲ)当 a ? 0 时,对于 ?x ? (0, ??) ,求证: f ( x) ? g ( x) ? 2 .

四、选考题(本大题 10 分.请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所 做的第一题记分,做答时请写清题号.) 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 A, B, C , D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为 圆 O 的切线, AC / / DE , AC 与 BD 相交于 H 点. (Ⅰ)求证: BD 平分 ?ABC . (Ⅱ)若 AB ? 4, AD ? 6, BD ? 8, 求 AH 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 : ?
B A H D

C

E

? x ? ?4 ? cos t , ( t 为参数) , ? y ? 3 ? sin t ,

? x ? 8cos ? , C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 3sin ? ,

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(Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; ( Ⅱ ) 若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

, Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t ,

( t 为参数)距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c ? R? , 且 a ? b ? c ? 1 .证明: (Ⅰ) a 2 ? b 2 ? c 2 ?

1 ; 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

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兰州一中 2014-2015-1 学期高三期中考试数学 参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A C C B D A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. (理) 1 ? ln 2 (文) 3 14. 9 D 10 B 11 D 12 C

5? 12

15.

33 4

16. ①②④

三、解答题(17-21 每题 12 分,共 60 分.22-24 为选考题,10 分.) 17.解:(Ⅰ)由正弦定理可得:

a b c 2 2 4 3 , ? ? ? ? ? sin A sin B sin C sin 60? 3 3 2

4 3 (sin A ? sin B) a?b 4 3 3 所以 . ? ? sin A ? sin B sin A ? sin B 3
2 2

???????6 分
2

(Ⅱ)由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ,即 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab , 又 a ? b ? ab ,所以 (ab) ? 3ab ? 4 ? 0 ,解得 ab ? 4 或 ab ? ?1 (舍去) ,
2

所以 S ?ABC ? 18.解: (Ⅰ)

1 1 3 ab sin C ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

???????12 分

A = (- 1,3) , B = [0,1) (2, 4] ,

?A
(Ⅱ)

B ? [0,1) ? (2,3),

A B = (- 1, 4] .

???????6 分

C ? ( 1, 4] \ 方程2x2 + mx - 1 = 0 小根大于或等于-1,大根小于或等于 4,
2

令 f ? x ? ? 2 x ? mx ? 1 ,则

[]

ì ? ? ? f (- 1) = 1- m 0 ? ? ? 31 ? #m í f (4) = 4m + 31 ? 0, 解之得 ? 4 ? ? ? m ? - 1< <4 ? ? 4 ? ?

1.

???????12 分

19







(Ⅰ)

f ( x) ? 4 3 sin x cos x ? 4 cos 2 x ? 1 ? 2 3 sin 2 x ? 2(1 ? cos 2 x) ? 1

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? 4 sin(2 x ?
∵0? x ?

?
6

) ?1



???????3 分

?
2

,∴ ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? ,∴ ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

∴ ? 3 ? f ( x) ? 3 ,即函数 f ( x) 在 [0,

?

2

] 上的值域是[-3,3] .

????6 分

(Ⅱ)∵对于任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立, ∴ f ( x 0 ) 是 f ( x) 的最大值,∴由 2 x 0 ? 解得 2 x 0 ? 2k? ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ?Z ,

2? ? 2? ? ? 3 , k ? Z ∴ sin(2 x 0 ? ) ? sin(2k? ? .??12 分 ? ) ? sin ? 3 3 3 3 3 2

20.解: (Ⅰ)∵ S 4 ? 2 S 2 ? 8 ,即 4a1 ? 6d ? 2(2a1 ? d ) ? 8 , 化简得: 4d ? 8 ,解得 d ? 2 . (Ⅱ)由 a1 ? 1, d ? 2, 得an ? 2n ? 1 , ∴ ??????4 分

1 1 1 1 1 ? ( ? ). = an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

???????6 分

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? = (1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ) a1a2 a2 a3 a3 a4 an an ?1 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1
= (1 ?

1 1 ????????8 分 )≥ , 2n ? 1 3 1 2 1 1 (m ? 5m) 对所有的 n ? N * 恒成立∴ ≥ (m 2 ? 5m) , 又∵ 不等式 Tn ? 18 18 3
化简得: m ? 5m ? 6 ? 0 ,解得: ?1 ? m ? 6 .∴正整数 m 的最大值为 6.??12 分
2

1 2

21.解:(Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? a ? ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数.

1 ( x ? 0) . x

②当 a ? 0 时,若 x ? (0, ? ) , f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 x ? (0, ? ) 上为增函数; 若 x ? (?

1 a

1 a

1 1 , ??) , f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 x ? (? , ??) 上为减函数. a a

综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数. 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ? ) 上为增函数,在 (? (Ⅱ)

1 a

1 , ??) 上为减函数 . a

???4 分

?x ? (0, ??) ,使得不等式 g ( x) ?

x?m?3 成立, x

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? ?x ? (0, ??) ,使得 m ? x ? e x x ? 3 成立,
令 h( x) ? x ? e x x ? 3 ,则 h?( x) ? 1 ? e x ( x ?

1 2 x
x?

),
1

当 x ? (0, ??) 时,

ex ? 1 , x ?

1 2 x

?2

2 x

? 2 ,? e x ( x ?

1 2 x

) ? 1,

? h?( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 (0, ??) 上为减函数,? h( x) ? h(0) ? 3 ? m ? 3
x

???8 分

(Ⅲ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ,令 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 ? ( x) ? e ? ln x ? 2 ,

1 ,且 ? ?( x) 在 (0, ??) 上为增函数. x 1 设 ? ?( x) ? 0 的根为 x ? t ,则 et ? ,即 t ? e ? t . t
? ? ?( x) ? e x ?
当 x ? (0, t ) 时, 当 x ? (t , ??) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 (0, t ) 上为减函数; ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 (t , ??) 上为增函数,?? ( x) min ? ? (t ) ? et ? ln t ? 2 ? et ? ln e ? t ? 2 ? et ? t ? 2

1 1 ? ?(1) ? e ? 1 ? 0 , ? ?( ) ? e ? 2 ? 0 ,? t ? ( ,1) 2 2 1 由 于 在 上 ? (t ) ? et ? t ? 2 t ? ( ,1) 2
t 1 2











1 1 ?? ( x) min ? ? (t ) ? e ? t ? 2 ? e ? ? 2 ? 2.25 ? ? 2 ? 0 2 2
? f ( x) ? g ( x) ? 2 .
???????12 分

22.证:(Ⅰ)? DE // AC ,? ?CDE ? ?ACD 又? DE 切圆 O 于点 D ,

? ?CDE ? ?CBD ? ?ACD ? ?CBD ,而 ?ACD ? ?ABD (同弧) ? ?CBD ? ?ABD ,所以, BD 平分 ?ABC . ???5 分 (Ⅱ)由(1)知 ?CBD ? ?ABD ,又? ?CBD ? ?CAD ,? ?ABD ? ?CAD 又? ?ADH 为公共角,所以 ?DBA 与 ?DAH 相似. AH AD ,因为 AB = 4, AD = 6, BD = 8, 所以 \ AH = 3 ???10 分 ? ? AB BD
23.解: (Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2 2

x2 y 2 ? ? 1, 64 9

C1 为圆心是 (?4,3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. ?5 分

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(Ⅱ)当 t ?

?
2

时, P (?4, 4) .设 Q (8cos ? ,3sin ? ) ,则 M (?2 ? 4 cos ? , 2 ?

3 sin ? ) , 2

C3 为 直 线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , ? M 到 C3 的 距 离 d ?
8 5 4 3 . ? cos ? ? ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 5 5 5
24.解: (Ⅰ)

5 | 4 cos? ? 3sin? ? 13 | 5
???10 分

a 2 ? b 2 ? 2ab, b 2 ? c 2 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ac,

? 2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac, ? 3a 2 ? 3b 2 ? 3c 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? (a ? b ? c) 2 ? 1
? a 2 ? b2 ? c2 ?
(Ⅱ)

1 . 3

???5 分

a2 b2 c2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c , b c a

?

a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 ? ? ? a ? b ? c ? 2(a ? b ? c) ,? ? ? ? a ? b ? c , b c a b c a a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a
???10 分

?


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