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《志鸿优化设计》2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第九章解析几何9.5椭圆

时间:2014-02-08


9.5

椭圆

考纲要求 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质 . 2.理解数形结合的思想. 3.了解椭圆的简单应用,了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际 问题中的作用.

1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两 个定点叫

做椭圆的__________,两焦点间的距离叫做椭圆的__________. 2.椭圆的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 标准方程 + =1(a>b>0) 2+ 2=1(a>b>0) a b a2 b2

图形

范围 性 质

[来源:学。 科。 网 Z。 X。

X。K]

对称性
[来 源:学科网]

顶点 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系

[来

源:学科网 ZXXK]

-a≤x≤a -b≤x≤b -b≤y≤b -a≤y≤a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0) 长轴 A1A2 的长为____;短轴 B1B2 的长为____ |F1F2|= ____ e=____∈(0,1)
[来源:学科网 ZXXK] [来源:学科网 ZXXK]

_____________ ________

x2 y2 1.已知椭圆 + =1,长轴在 x 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( ). 10-m m-2 A.4 B.5 C.7 D.8 2. 若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是( ). 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 1 3.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长轴 长为 12,离心率为 ,则该椭 3 圆方程为( ). x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 144 128 36 20 2 2 x y x2 y2 C. + =1 D . + =1 32 36 36 32 x2 y2 1 4.若焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 等于( ). 2 m 2 3 8 2 A. 3 B. C. D. 2 3 3

x2 y2 5.椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=__________; 9 2 ∠F1PF2 的大小为__________.

x2 y2 【例 1-1】 已知 F1, F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点, P 为椭圆上的一个动点, a b 1 若△PF1F2 的周长为 12,离心率 e= ,则此椭圆的标准方程为__________. 2 【例 1-2】一动圆与已知圆 O1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 O2:(x-3)2+y2=81 内切, 试求动圆圆心的轨迹方程. 方法提炼 1.在利用椭圆定义解题的时候,一方面要注意到常数 2a>|F1F2|这个条件;另一方面要 熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系. 2.用待定系数法求椭 圆方程的一般步骤 (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有 可能. x2 y2 x2 y2 (2)设方程:根据上述判断设方程 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0). a b b a (3)找关系:根据已知条件,建立关于 a,b,c 的方程组. (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 请做演练巩固提升 3 二、椭圆的几何性质 x2 y2 【例 2】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A1,A2,B1,B2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b 的四个顶点,F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为__________.

一、椭圆的定义及标准方程

方法提炼 离心率是椭圆的几何性质中考查的重点,求离心率的方法通常是根据条件列出 a,c 所 满足的齐次方程(或不等式),然后再求离心率的值或取值范围. 请做演练巩固提升 4 椭圆主观题的规范解答 x2 y2 3 【典例】(12 分)(2012 山东高考)如图,椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,直 a b 2 线 x=±a 和 y=±b 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8.

(1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设直线 l:y=x+m(m∈R)与椭圆 M 有两个不同的交点 P,Q,l 与矩形 ABCD 有两个

|PQ| 不同的交点 S,T.求 的最大值及取得最大值时 m 的值. |ST| 规范解答:(1)设椭圆 M 的半焦距为 c,

? ?c 3 由题意得? = , a 2 ? ?4ab=8,

a2=b2+c2,

所以 a=2,b=1.(3 分) x2 因此椭圆 M 的方程为 +y2=1.(4 分) 4 2 x ? ? 4 +y2=1, (2)由? 整理得 5x2+8mx+4m2-4=0,

? ?y=x+m

由 Δ= 64m2-80(m2-1)=80-16m2>0, 得- 5<m< 5. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 4(m2-1) 8m 则 x1+x2=- ,x1x2= . 5 5 所以|PQ|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = 2[(x1+x2)2-4x1x2] 4 = 2(5-m2)(- 5<m< 5).(7 分) 5 线段 CD 的方程为 y=1(-2≤x≤2),线段 AD 的方程为 x=-2(-1≤y≤1). ①不妨设点 S 在 AD 边上,T 在 CD 边上,可知 1≤m< 5,S(-2,m-2),D(-2,1), 所以|ST|= 2|SD|= 2[1-(m-2)]= 2(3-m), 5-m2 |PQ| 4 因此 = , |ST| 5 (3-m)2 令 t=3-m(1≤m< 5), 则 m=3-t,t∈(3- 5,2], 2 |PQ| 4 5-(3-t) 4 4 6 所以 = = - 2+ -1 2 |ST| 5 t 5 t t 1 3?2 5 4 = -4? ? t -4? +4, 5 由于 t∈(3- 5,2],

1 ?1 3+ 5? 所以 ∈? , ?, t ?2 4 ? 1 3 4 |PQ| 2 5 5 因此当 = ,即 t= 时, 取得最大值 ,此时 m= .(9 分) t 4 3 |ST| 5 3 ②不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 CD 边上, 此时-1≤m≤1, 因此|ST|= 2|AD|=2 2, |PQ| 2 此时 = 5-m2, |ST| 5

|PQ| 2 5 所以当 m=0 时, 取得最大值 .(10 分) |ST| 5 ③不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 BC 边上,- 5<m≤-1, |PQ| 2 5 5 由椭圆和矩形的对称性知 的最大值为 ,此时 m=- . |ST| 5 3 5 |PQ| 2 5 综上所述,当 m=± 或 m=0 时, 最大值为 .(12 分) 3 |ST| 5 答题指导:从圆锥曲线定义入手掌握有关知识,注意总结规律和防范细节性的错误.

x2 y2 1.(2012 江西高考)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分 a b 别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( ). 1 5 1 A. B. C. D. 5-2 4 5 2 3 2.已知椭圆的中心为原点,离心率 e= ,且它的一个焦点与抛物线 x2=-4 3y 的焦 2 点重合,则此椭圆方程为( ). 2 x2 2 2 y A.x + =1 B. +y =1 4 4 2 2 x y x2 y2 C. + =1 D. + =1 16 4 4 16 3.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭 圆上的点的最短距离是 3,则这个椭圆方程为____________________. 4.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=60° ,则椭圆离心率的 取值范围 为__________. y2 5.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相 b 交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 1.焦点 焦距 2.2a 2b 2c c a c2=a2-b2

基础自测 1.A 解析:椭圆焦点在 x 轴上, ∴a2=10-m,b2=m-2. 又 c=2,∴(10-m)-(m-2)=4. ∴m=4. 2.B 解析:由题意有 2a+2c=2(2b),即 a+c=2b. 又 c2=a2-b2,消去 b 整理得 5c2=3a2-2ac,即 5e2+2e-3=0, 3 ∴e= 或 e=-1(舍去). 5 c 1 3.D 解析:2a=12, = , a 3 ∴a=6,c=2,b2=32, x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 36 32 4.B 解析:∵a2=2,b2=m, ∴c2=2-m. c2 2-m 1 ∵e2= 2= = . a 2 4 3 ∴m= . 2 5.2 120° 解析:由题意知 a=3,b= 2,c= 7. 由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=6. ∵|PF1|=4,∴|PF2|=2. 又∵|F1F2|=2 7, 1 在△F1PF2 中,由余弦定理可得 cos∠F1PF2=- , 2 ∴∠F1PF2=120° . 考点探究突破 x2 y2 c 【例 1-1】 + =1 解析:由于△PF1F2 的周长为 2a+2c=12,椭圆的离心率 e= 16 12 a 1 = , 2 x2 y2 故 a=4,c=2,b2=12,椭圆的标准方程为 + =1. 16 12 【例 1-2】解:如图所示,设动圆的圆心为 C,半径长为 r.

则由圆相切的性质知,|CO1|=1+r,|CO2|=9-r, ∴|CO1|+|CO2|=10,而|O1O2|=6<10. ∴点 C 的轨迹是以 O1,O2 为焦点的椭圆,其中 2a=1 0,2c=6,b=4. x2 y2 ∴动圆圆心的轨迹方程为 + =1. 25 16 【例 2】2 7-5 解析:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),F(c,0), b b 直线 A1B2 的方程为 y= x+b,直线 B1F 的方程为 y= x-b, a c ? 2ac ,b(a+c)?. 联立解得交点 T? ? ?a-c a-c ? ? ac ,b(a+c)?在椭圆上, 又∵中点 M? ? ?a-c 2(a-c)? b(a+c)?2 ? ac ?2 ? ? ? ?a-c? ?2(a-c)? 则 + =1?3a2-c2-10ac=0,即 e2+10e-3=0. 2 2 a b 又∵0<e<1,∴e=2 7-5. 演练巩固提升 1.B 解析:因为 A,B 为左、右顶点,F1,F2 为左、右焦点, 所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c. 又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列, 所以(a-c)(a+c)=4c2,即 a2=5c2. c 5 所以离心率 e= = ,故选 B. a 5 2.A 解析:抛物线的焦点为(0,- 3),椭圆的中心在原点,则所求椭圆的一个焦点 为(0,- 3),即半焦距 c= 3. c 3 又离心率 e= = , a 2 所以 a=2,b=1. y2 故所求椭圆方程为 x2+ =1. 4

? ?a-c= 3, ?a=2 3, x2 y2 y2 x2 3. + =1 或 + =1 解析:由题意知?c 1 解得? 12 9 12 9 ?c= 3. ? ?a=2, x2 y2 y2 x2 ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 12 9 12 9 1 ? x2 y2 ,1 解析:不妨设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 4.? ?2 ? a b 令|PF1|=t1,|PF2|=t2, t12+t22-|F1F2|2 则 cos 60° = 2t1t2 2 (t1+t2) -|F1F2|2-2t1t2 = , 2t1t2 ∴t1t2=4a2-2t1 t2-4c2. t1+t2?2 4 2 ∴t1t2= b2 ≤? 3 ? 2 ? =a . ∴3a2≥4b2=4(a2-c2). c 1 1 ∴ ≥ ,∴e≥ . a 2 2 1 ? 又 0<e<1,∴e∈? ?2,1?. 5.解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 ,

4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . 3 (2)l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2. y=x+c, ? ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组? 2 y2 ?x +b2=1. ? 化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0. -2c 1-2b2 则 x1+x2= ,x x = . 1+b2 1 2 1+b2 因为直线 AB 的斜率为 1, 所以|AB|= 2|x2-x1|, 4 即 = 2|x2-x1|. 3 4(1-b2) 4(1-2b2) 8 8b4 2 则 =(x1+x2)2-4x1x2= . 2 2- 2 = 2 2,解得 b= 9 2 (1+b ) 1+b (1+b )


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