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互斥事件与对立事件的概率计算


概率的基本性质
新兴县田家炳中学高一备课组 欧龙进

1.概率的加法公式: 如果事件A与事件B互斥,则
P (A ? B)= P (A) + P (B)

2.对立事件的概率公式
若事件A,B为对立事件,则

P(B)=1-P(A)

如果事件A与事件B互斥,则

/>P (A ? B)= P (A) + P (B) 注意:1.利用上述公式求概率是,首先要确定 两事件是否互斥,如果没有这一条件,该公式 不能运用。即当两事件不互斥时,应有: P (A ? B)= P (A) + P (B) - P(???) 2.上述公式可推广,即如果随机事件A1,A2, ……,An中任何两个都是互斥事件,那么有 P (A1 ? A2 ?… ?An)= P (A1) + P (A2)+…+P(?n)
一般地,在解决比较复杂的事件的概率问题时,常常把 复杂事件分解为几个互斥事件,借助该推广公式解决。

例1 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机 抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是 0.25,取到方块(事件B)的概率是0.25,问: (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

分析:事件C=A∪B,且A与B互斥,因此 可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事 件D是对立事件,因此P(D)=1-P(C).
解:(1)P(C)=P(A)+ P(B)=0.25+0.25=0.5; (2)P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5.

练习1.某射手射击一次射中,10环、9环、 8环、7环的概率分别是0.24、0.28、0.19、 0.16,计算这名射手射击一次 0.52 1)射中10环或9环的概率; 0.87 2)至少射中7环的概率. 3)射中环数不足8环的概率. 0.29

练习2、一盒中装有各色球12只,其中5红、4黑、 2白、1绿,从中取1球.求: (1)取出球的颜色是红或黑的概率; (2)取出球的颜色是红或黑或白的概率.

[解析]

方法 1: (1)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5

种取法,得黑球有 4 种取法,得红球或黑球共有 5+4=9 种不同取法,任取一球有 12 种取法. 9 3 ∴任取 1 球得红球或黑球的概率为 P1= = . 12 4 (2)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取法,得黑球 有 4 种方法,得白球有 2 种取法,从而得红或黑或白球 5+4+2 11 的概率为 P2= = . 12 12

方法 2:利用互斥事件求概率. 记事件 A1:从 12 只球中任取 1 球得红球; A2:从中任取 1 球得黑球; A3:从中任取 1 球得白球; A4:从中任取 1 球得绿球, 5 4 2 1 则 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= . 12 12 12 12 根据题意,A1、A2、A3、A4 彼此互斥,由互斥事件 概率得(1)取出红球或黑球的概率为 5 4 3 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)= + = ; 12 12 4

(2)取出红或黑或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 5 4 2 11 = + + = . 12 12 12 12

练习3 甲,乙两人下棋,和棋的概率为1/2,乙 获胜的概率为1/3,求: (1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率。

分析:甲乙两人下棋,其结果有甲胜,和棋, 乙胜三种,它们是互斥事件。 解(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜” 的对立事件,所以甲获胜的概率是P=11/2-1/3=1/6。 (2)解法1,“甲不输”看作是“甲胜”, “和棋”这两个事件的并事件所以 P=1/6+1/2=2/3。解法2,“甲不输”看作是 “乙胜”的对立事件,P=1-1/3=2/3。


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