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数列相关不等式练习题

时间:2015-03-18


1 n2 n ? Sn ? 2 ; (1)求证:当 n ? 2 时, n ?1 6n 5 (2)试探究:当 n ? 2 时,是否有 ? Sn ? ?说明理由. (n ? 1)(2n ? 1) 3 1 3 5 2n ? 1 2. 设 bn ? ? ? ? ? ,求证: 2 4 6 2n 1 (1) bn ? (2) b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? 2n ?1 ?1 .

2n ? 1
1. 设 S n ? 1 ?

1 1 ? ? 22 32

?

3. 设 bn ? (n ? 1)2 , an ? n(n ? 1) , 求证:

1 1 1 5 ? ?…? ? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

4.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为 一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个 蜂巢,按此规律,以 f ( n) 表示第 n 个图的蜂巢总数.

(1)试给出 f (4), f (5) 的值,并求 f ( n) 的表达式(不要求证明) ; (2)证明:

1 1 1 ? ? ? f (1) f (2) f (3)

?

1 4 ? . f ( n) 3
*

5. 设 Sn 为数列 an ? 的前 n 项和,对任意的 n ?N ,都有 Sn ? ? m ?1? ? man ( m 为常数,且

?

m ? 0) .
(1)求证:数列 an ? 是等比数列; (2) 设数列 an ? 的公比 q ? f ?m? , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn ? f ?bn?1 ? (n ? 2 , n ?N ) ,
*

?

?

求数列 ?bn ? 的通项公式;
2 (3)在满足(2)的条件下,求证:数列 bn 的前 n 项和 Tn ?

? ?

89 . 18

6. 在单调递增数列 {an } 中,a1 ? 1 ,a2 ? 2 , 且 a2n? 1 ,a 2 n ,2a1 n ? 成等差数列,a2 n , a2 n ?1 , a2 n ? 2 成 等比数列, n ? 1 , 2 , 3 , .

(1)分别计算 a 3 , a 5 和 a 4 , a 6 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式(将 a n 用 n 表示) ;

1 4n (3)设数列 { } 的前 n 项和为 Sn ,证明: Sn ? , n? N* . n?2 an


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