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第十三讲:2013年高考概率与统计命题热点研讨(1)

时间:2013-12-16


第十三讲:2013 年高考概率与统计命题热点研讨(1)
主讲人:孟老师

第一部分:孟老师对考点的研讨

高考对本部分内容的考查呈现以下特点: 概率是高中数学中与现实生活联系非常密切的一部分,在历年的高考中占很大的比重; 考查内容: (1)等可能性事件; (2)互斥事件有一个发生的概率; (3)相互独立事件同时发生的概率; (4)

对立事件; (5)独立重复试验; 考查形式: 选择题、填空题、解答题都有可能出现.难度较大,是高考中的中档题. 预计:典型例题可能有题目涉及,出现在选择填空中的可能性较大. 概率与统计包括随机事件、等可能事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几 何概型, 条件概率, 独立重复试验与二项分布, 超几何分布, 离散型随机变量的期望和方差, 抽样方法,总体分布的估计,正态分布,线性回归等. 概率与统计是高中数学的重要学习内容, 在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用, 渗透 到社会的方方面面,应引起足够的重视. 1.区分题目属于哪一种概率,针对不同的概率类型灵活使用不同的方法. 2.等可能性事件的概率是难点之一,区分好“排列型”“组合型”“乘方型”. 、 、 3.独立重复试验是难点和重点,也是高考丢分的重要因素之一. 根据对以往命题的研究和探讨,概率与统计知识在选择、填空、解答题这三种类型的命题上 都有出现,分值所占的比重还是比较大的.希望能引起同学们的高度重视. 概率与统计的引入,拓广了应用问题的取材范围,概率的计算、离散型随机变量的分布列和 数学期望的计算机应用都是考察应用意识的良好的素材.在高考试卷中,概率与统计的内容 每年都有所涉及,以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期
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望、统计图表的识别等知识为主的综合题.以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,以排列 组合和概率统计等基本知识为工具,考察队概率事件的识别及概率计算.解答概率统计时要 注意分类与整合、化归与转化思想的运用.

第二部分:孟老师对热点的透视

考察概率与统计知识点的高考试题,既有自身概念的思想体现,如:样本估计总体的思想、 假设检验的思想;又有必然与或然的思想、函数与方程的思想和数形结合的思想.由此可以 拓宽学生的视野,考察综合运用的能力. 对于概率与统计, 近几年的高考呈现出一种开放性的趋势.记得在概率刚刚并入高考的时候, 概率只是考一个简单古典概型,但是发展到现在,概率的命题已经是五花八门的.并且文科 和理科的命题,有以前的截然不同,发展到现在的逐渐的糅合在一起. 概率与统计作为考察考生应用意识的重要载体, 已经成为近几年新课标高考的一大亮点和热 点,它与其他知识融合、渗透,情景新颖,充分体现了在知识交汇点处设计试题的高考命题 的指导思想.概率与统计和现实生活关系密切,是考察数据处理能力、应用意识、必然与或 然思想的主要素材, 高考命题必然会充分考虑到这些因素, 命制一定数量的形式多样的试题 达到上述目的. 我们来具体的分析一下有那些考点 在统计部分,第一个考点是抽样方法.抽样方法中的分层抽样和系统抽样是一个重点,考的 频率比较高.抽样方法中的系统抽样是同学们要特别注意的,系统抽样有一个类似于等差数 列的公式,这一个想必凡是上过高三的学生都是非常熟悉的.在统计中,对于视图的考察是 比较频繁的.首先说频率分布直方图.频率分布直方图有一串来源: 频率分布表——频率分布 直方图——频率分布折线图——总体密度曲线——正态分布图像, 这几个的联系与区别, 同 学们心中要有一个数.第二个视图是茎叶图, 近两年考察的也比较多.统计的第三个考点是线 性回归方程,里面有一些系数公式同学们要有所了解.这个里面还有相关系数、残差等等一 些知识.第四个考点就是独立性检验, 这个考点已经呈现出井喷式的考察.对于概率的考察主 要是:选择题和填空题主要考:超几何分布、二项分布、两点分布、正态分布;解答题主要 考:二项分布、超几何分布.下面我们就这些考点进行进一步的分析和讲解. 该部分的命题点多, 命题北京广阔, 命题具有很大的灵活性, 但基本的态势还是相对固定的.
2

即统计以考察抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主,概率以考察概率计算为 主,常常和实际问题相结合,期间要注意理解实际问题的实际意义,使之和概率计算对应起 来,只有这样才能有效的解决问题.高考试题中的概率与统计的解答题往往具有一定的综合 性,一般以实际应用题的方式吧随机变量的概念、概率计算、随机变量的均值与方差计算综 合起来,在复习中要多注意这类问题的求解方法.

孟老师热点预测 1 随机抽样和用样本估计总体

1 考察抽样方法及抽样中的计算 (2012·深圳模拟) 某学校在校学生 2000 人,学校举行跑步和登山比赛.每人都参加且每人只参加其中一项比 赛,各年级参加比赛的人数情况如下表: 高一年级 跑步人数 登山人数 a x 高二年级 b y 高三年级 c z

1 其中 a∶b∶c=2∶5∶3,全校参加登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的满意程 4 度,按分层抽样的方式从中抽取一个 200 人的样本进行调查,则高三年级参加跑步的学生 中应抽取 A.15 人 B.30 人 C.40 人 D.45 人

3 3 3 解析: 由题意, 全校参加跑步的人数占总人数的 , 高三年级参加跑步的总人数为 ×2000× 4 4 10 1 =450,由分层抽样的特征,得高三年级参加跑步的学生中应抽取 ×450=45(人). 10 答案:D

2 考察频率分布直方图的视图与计算 (2011·湖北卷)
3

有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计, 样本数据落在区间[10,12)内的频数为

A.18

B.36

C.54

D.72

解析:由图可知,在区间[10,12)内的频率为 1-(0.02+0.05+0.15+0.19)×2=0.18, ∴其频数为 200×0.18=36.答案:B

3.考察茎叶图的视图与计算(2012·南昌市高三模拟) 甲、乙两个数学兴趣小组各有 5 名同学,在一次数学测试中,成绩统计用茎叶图表示如图, 若甲、乙小组的平均成绩分别是 x 甲,x 乙,则下列结论正确的是

4

A.x 甲>x 乙,甲比乙成绩稳定 C.x 甲<x 乙,甲比乙成绩稳定

B.x 甲>x 乙,乙比甲成绩稳定 D.x 甲<x 乙,乙比甲成绩稳定

1 解析:依题意得 x 甲= (80×2+90×3+8+9+2+1+0)=90, 5 1 x 乙= (80×4+90×1+3+4+8+9+1)=87,x 甲>x 乙; 5 1 s2 = [(88-90)2+(89-90)2+(92-90)2+(91-90)2]=2, 甲 5 1 s2 = [(83-87)2+(84-87)2+(88-87)2+(89-87)2+(91-87)2]=9.2,s2 <s2 ,因此甲比 乙 甲 乙 5 乙成绩更稳定,选 A.答案:A

4.考察样本的数字特征的计算(孟老师模拟举例) 为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了地区内 100 名年龄为 17.5 岁~18 岁的男 生的体重情况,结果如下(单位:kg) 56.5 72 62 55 64 76 68.5 57 59 69.5 73.5 68.5 72 70.5 71 64 69.5 65.5 65 56 62.5 66.5 57 66 55.5 74 62.5 61.5 67 66 74 62.5 63.5 72.5 64.5 69.5 64.5 70 59.5 63 65 56 66.5 59 72 66.5 57.5 63.5 60 69 59.5 68 61.5 64.5 64 65.5 64.5 55.5 71.5 63.5 76 67 75.5 64.5 68 67.5 70 73 65 57.5 68 68.5 76 71 73 64.5 62 70 60 63.5 64 58.5 75 68 58 58 74.5 71.5 58 62

5

65.5

58.5

67.5

70.5

65

66

66.5

70

63

59.5

试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计 解:按照下列步骤获得样本的频率分布.

王新敞
奎屯

新疆

(1)求最大值与最小值的差.在上述数据中,最大值是 76,最小值是 55,它们的差(又称为极 差)是 76—55=21)所得的差告诉我们,这组数据的变动范围有多大. (2)确定组距与组数.如果将组距定为 2,那么由 21÷2=10.5,组数为 11,这个组数适合的. 于是组距为 2,组数为 11. (3)决定分点.根据本例中数据的特点,第 1 小组的起点可取为 54.5,第 1 小组的终点可 取为 56.5,为了避免一个数据既是起点,又是终点从而造成重复计算,我们规定分组的区 间是“左闭右开”的.这样,所得到的分组是 [54.5,56.5)[56.5,58.5) , ,…, [74.5,76.5). (4)列频率分布表,如表①频率分布表 分组 [54.5,56.5) [56.5,58.5) [58.5,60.5) [60.5,62.5) [62.5,64.5) [64.5,66.5) [66.5,68.5) [68.5,70.5) [70.5,72.5) 频数累计 频数 2 6 10 10 14 16 13 11 8 频率 0.02 0.06 0.10 0.10 0.14 0.16 0.13 0.11 0.08

6

[72.5,74.5) [74.5,76.5) 合计 (5)绘制频率分布直方图.频率分布直方图如图所示
频率/组距

7 3 100

0.07 0.03 1.00

54.5

56.5 58.5 60.5

62.5 64.5 66.5

68.5 70.5 72.5

74.5

76.5

体重

由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率, 这个图形的面积的形式反映了数据落在各 个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面,频率分布表比较确切,频率分布直方图 比较直观,它们起着相互补充的作用. 在得到了样本的频率后,就可以对相应的总体情况作出估计.例如可以估计,体重在(64.5, 66.5)kg 的学生最多,约占学生总数的 16%;体重小于 58.5kg 的学生较少,约占 8%;等 等

孟老师热点预测 2 变量的相关性和统计案例

1.变量的相关性(2011 年江西高考) 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)(11.3,2)(11.8,3)(12.5,4)(13,5) , , , , ; 变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)(11.3,4)(11.8,3)(12.5,2)(13,1) , , , , ,

r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则

7

A. r2 ? r ? 0 1

B. 0 ? r2 ? r 1

C. r2 ? 0 ? r 1

D. r2 ? r 1

答案:C 因为第一组是正相关,第二组是负相关,所以选 C

2.回归分析(2012 年湖南卷) 设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样 本数据(xi,yi) (i=1,2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 ? =0.85x-85.71,则下 y 列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重比为 58.79kg 【答案】D 【解析】由回归方程为 ? =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大,所以 y 与 x 具有正的线性 y

? 相关关系,由最小二乘法建立的回归方程得过程知 y ? bx ? a ? bx ? y ? bx (a ? y ? bx ) ,
所以回归直线过样本点的中心( x , y ) ,利用回归方程可以预测估计总体,所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是 找不正确的答案,易错.

3.独立性检验 (1) (2011 年湖南卷) 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 40 女 20 总计 60

8

不爱好 总计 由 K2 ? 附表:

20 60

30 50

50 110

110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 n(ad ? bc)2 2 ? 7.8 算得 K ? 60 ? 50 ? 60 ? 50 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k )
k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

参照附表,得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案:C

(2) (孟老师模拟举例) 分类变量 X 和 Y 的列联表如下: Y1 X1 X2 总计 则下列说法正确的是 A.ad-bc 越小,说明 X 与 Y 关系越弱 B.ad-bc 越大,说明 X 与 Y 关系越弱 C.(ad-bc)2 越大,说明 X 与 Y 关系越强
9

Y2 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

a c a+c

D.(ad-bc)2 越接近于 0,说明 X 与 Y 关系越强 解析:对于同一样本,|ad-bc|越小,说明 X 与 Y 之间关系越弱;|ad-bc|越大,说明 X 与 Y 之间的关系越强.答案:C

(3)(2011·广东卷) 某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm,170 cm 和 182 cm.因 儿 子的 身高 与父 亲的 身高 有关 ,该 老师 用线 性回 归分 析的 方法 预测 他孙 子的 身高 为 __________cm. 解析:儿子和父亲的身高可列表如下: 父亲身高/x 儿子身高/y 173 170 170 176 176 182
3

设回归直线方程为y =a +b x,由表中数据可求得 x =173, y =176,

^

^

^

?x y =91362,
i i i=1 ^

?x =89805,∴b =1,a = y -b
2 i i=1

3

^

^

^

x =3,故回归直线方程为y =x+3.当 x=182 时,y

^

=182+3=185.故预测他的孙子的身高为 185 cm.答案:185

(4)(2012·揭阳一模) 某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量落在(495,510]的产品为合格品,否则 为不合格品.表 1 是甲流水线样本频数分布表,如下图所示的是乙流水线样本的频率分布直 方图. 表 1:甲流水线样本频数分布表 产品重 (490,495] 量/克 (495,500] (500,505] (505,510] (510,515]

10

频数

6

8

14

8

4

乙流水线样本频率分布直方图

(1)根据表 1 中的数据作出甲流水线样本的频率分布直方图; (2)若以频率作为概率,试估计从乙流水线上任取 5 件产品,恰有 3 件产品为合格品的概率; (3)由以上统计数据完成下面 2×2 列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条 自动包装流水线的选择有关”. 甲流水线 合格品 不合格品 合计 附:下面的临界值表供参考: P(K2≥k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 a= c= 乙流水线 b= d= n= 合计

? n? ad-bc? 2 ?参考公式:K2= ,其中 ? a+b? ? c+d? ? a+c? ? b+d? ?
解:(1)甲流水线样本的频率分布直方图如下图所示.

n=a+b+c+d?

? ?

11

(2)由题图可知,乙流水线样本中合格品数为(0.06+0.09+0.03)×5×40=36,故合格品的频 36 率为 =0.9,据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率 P=0.9.设 ξ 40
3 为从乙流水线上任取 5 件产品中的合格品数,则 ξ~(5,0.9),∴P(ξ=3)=C5(0.9)3(0.1)2=

0.0729.即从乙流水线上任取 5 件产品,恰有 3 件产品为合格品的概率为 0.0729. (3)2×2 列联表如下: 甲流水线 合格品 不合格品 合计 ∵K2= ? a+b? ? n? ad-bc?
2

乙流水线 b=36 d=4 40

合计 66 14 n=80

a=30 c=10 40

c+d? ?
2

a+c? ?

b+d?

80×? 120-360? = 66×14×40×40

≈3.117>2.706,

∴有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.

孟老师热点预测 3 概率
1.古典概型(2008 年四川延考卷)
12

在一次读书活动中,一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本,则所选 的书中既有科技书又有文艺书的概率为 (A)

1 5

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

4 5

解:因文艺书只有 2 本,所以选 3 本必有科技书。问题等价于选 3 本书有文艺书的概率:

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

3 C4 4 4 ? 1? ? 3 C6 20 5

2.几何概型 1(2011 年福建高考) 如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 A.1/4 B.1/3 C.1/2 D.2/3 答案:C

2(2012·广东肇庆市高三模拟) 在区间(0,π]上随机取一个数 x,则事件“sinx+ 1 A. 4 B. 1 3 C. 1 2 3cosx≤1”发生的概率为 2 D. 3

解析:由题意知,此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为 π,

13

设 A 表示取出的 x 满足 sinx+

π 1 3cosx≤1 这样的事件,对条件变形为 sin(x+ )≤ 3 2 π

2 1 π 即事件 A 包含的区域长度为 ∴P(A)= = .答案:C 2 π 2

3(2012·河南省高三第一次质量调研) 1 在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f(x)= x3+ax-b 在区间[-1,1]上有且仅有一 3 个零点的概率为 7 A. 9 B. 5 9 4 C. 9 2 D. 9

解析:由已知得当 a≥0 时,f′(x)=x2+a≥0,函数 f(x)在[-1,1]内是增函数,因此由 f(x)在[-

?f? ? 1,1]上有且仅有一个零点得? ?f? ? ?a+b+1≥0 ? 3 ? 1 ?a-b+3≥0 ? ?a+b+1≥0 ? 3 ? 1 ?a-b+3≥0 ?

-1?

1 =- -a-b≤0 3

1 1? = +a-b≥0 3

,即

?0≤a≤1 ? .在坐标平面 aOb 中,分别画出不等式组? ? ?0≤b≤1

与不等式组

表示的平面区域,结合图形易知,这两个不等式组表示的平面区域的公

14

共区域的面积等于

12-

?0≤a≤1 1 2 7 ? ×(1- )× = ,而不等式组? 2 3 3 9 ?0≤b≤1 ?
1

表示的平面区域的面积为

7 12=1,因此所求的概率等于 ,选 A.答案:A 9

孟老师热点预测 4 随机变量及其分布

1.离散型随机变量的概率的分布列(2011 年湖南高考) 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变) ,设某天开始营业时有该商品 3 件, 当天营业结束后检查存货,若发现存货少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货, .. ... 将频率视为概率. (Ⅰ)求当天商品不进货的概率; ... (Ⅱ)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列和数学期望. 解析: (I)P( “当天商店不进货” =P( ) “当天商品销售量为 0 件” +P( ) “当天商品销售量 1 件” ) =

1 5 3 ? ? 。 20 20 10

(II)由题意知, X 的可能取值为 2,3.

P( x ? 2) ? P("当天商品销售量为1件") ?

5 1 ? ; 20 4

15

P( x ? 3) ? P("当天商品销售量为0件")+P("当天商品销售量为2件")+P("当天商品销售 1 9 5 3 量为3件") ? + + ? 20 20 20 4
故 X 的分布列为

X

2

3

P

1 4

3 4

1 3 11 X 的数学期望为 EX ? 2 ? +3 ? = 。 4 4 4

2.超几何分布(2011 年江西高考) 某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以使确定工资级别,公司准备了两种不 同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要 求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料,若 4 杯都选对,则月工资定为 3500 元,若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元,否则月工资定为 2100 元,令 X 表示此人选 对 A 饮料的杯数,假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 解: (1)X 的所有可能取值为:0,1,2,3,4

P( X ? i ) ?
即 X P

1 4 C4 C4 ?i (i ? 0,1, 2,3, 4) C54

0

1

2

3

4

1 70

16 70

36 70

16 70

1 70

(2)令 Y 表示新录用员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2100,2800,3500

16

则P(Y ? 3500) ? P( X ? 4) ? P(Y ? 2800) ? P( X ? 3) ?

1 70

8 35 53 P(Y ? 2100) ? P( X ? 2) ? 70 1 16 53 EY ? 3500 ? ? 2800 ? ? 2100 ? ? 2280. 70 70 70
所以新录用员工月工资的期望为 2280 元.

3.事件的独立性和 n 次独立重复试验模型(2011 年山东高考) 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘, 已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立. (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? . 解: (I)设甲胜 A 的事件为 D, 乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F, 则 D, E, F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B,丙不胜 C 的事件. 因为 P( D) ? 0.6, P( E ) ? 0.5, P( F ) ? 0.5, 由对立事件的概率公式知 P( D) ? 0.4, P( E) ? 0.5, P( F ) ? 0.5, 红队至少两人获胜的事件有: DEF , DEF , DEF , DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为

?? ? ?? ?

??

? ?

??

??

? ?

??

?? ?? ?? P ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.55.
(II)由题意知 ? 可能的取值为 0,1,2,3.

17

又由(I)知 DEF , DEF , DEF 是两两互斥事件, 且各盘比赛的结果相互独立, 因此 P(? ? 0) ? P( DEF ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.1,

??

?? ??

? ???

??? ???

??? ? ?? ?? ? ??? P(? ? 1) ? P(DEF ) ? P(DEF ) ? P(DEF )
? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.35
P(? ? 3) ? P( DEF ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.15.
由对立事件的概率公式得 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 0.4, 所以 ? 的分布列为:

?
P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15

因此 E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.35 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.15 ? 1.6.

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