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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第6章§6.4


§6.4 简单线性规划

§ 6.4 简 单 线 性 规 划

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理

1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+

C>0在平 面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧 不含边界 的所有的点组成的平面区域(半平面)_____ 直线,不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域 (半平面)含有边界直线.

(2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有的点(x, y),使得Ax+By+C值的符号相同,也就是位 于同一半平面的点,其坐标适合Ax+By+C>0; 而位于另一半平面的点,其坐标适合 Ax+By+C<0 _________________. (3)可在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点, 符号 一般取特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的____ 来判断Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的 区域.

2.线性规划的有关概念 名称 意义 约束条 不等式组 由变量x,y组成的___________ 件 一次 不等式(或方程)组成的 线性约 由x,y的______ 束条件 不等式组 目标函 解析式 ,如z=2x+3y 关于x,y的函数_______ 数 线性目 一次 解析式 关于x,y的________ 标函数

名称

意义

可行解
可行域 最优解

解(x,y) 满足线性约束条件的_________
所有可行解组成的______ 集合

使目标函数取得最大值或_________ 最小值 的
可行解

线性规划
问题

在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或最小值问题 ________

思考感悟 可行解与最优解有何关系?最优解是
否唯一?

提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是
最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有

多个.

课前热身
1.(教材习题改编)不在3x+2y<6表示的平面区 域内的点是( ) A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0) 答案:D

2.如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式

(

)

A.x+y-1<0

B.x+y-1>0
C.x-y-1<0

D.x-y-1>0
答案:B

3.(2010 年高考大纲全国卷Ⅱ)若变量 x,y 满足 ?x≥-1,

? 约束条件?y≥x, 则 z=2x+y 的最大值 ? ?3x+2y≤5,
为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

答案:C

?x≥0 ? 4.不等式组?y≥0 ? ?x+y≤1

所表示的平面区域的

面积为________.

1 答案: 2

5 . (2009 年高考陕西卷 ) 设 x , y 满足约束条件 ?x+y≥1, ? ?x-y≥-1, 则 z=x+2y 的最小值是________, ? ?2x-y≤2, 最大值是________.
答案:1 11

考点探究?挑战高考

考点突破 二元一次不等式(组)表示的平面区域 判断不等式表示的区域在直线的哪一侧,只需在直 线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C 的正负即可判别.当C≠0时,常用原点来判别.或 者是根据B的符号和不等式的符号来判别,若B的符 号和不等式的符号同号,则不等式表示的区域在直 线的上方;若异号,则在直线的下方.

?x≥0 ? 例1 不等式组?x+3y≥4 ? ?3x+y≤4

所表示的平面区域

的面积等于( 3 A. 2 4 C. 3

) 2 B. 3 3 D. 4

【思路点拨】 利用线定边界、点定区域的方 法准确画出可行域,然后再计算其面积.

【解析】 不等式 x≥0 表示 y 轴上及其 右侧的区域. 不等式 x+3y≥4 表示直线 x +3y-4=0 上及其上方的区域.不等式 3x+y≤4 表示直线 3x+y-4=0 上及其下 方的区域.综上可得:不等式组表示的平 面区域是如图所示的三角形区域, 三个顶 4 点的坐标分别是(0, ),(0,4),(1,1),所 3 1 4 4 以三角形的面积是 S= (4- )×1= . 2 3 3 【答案】 C

【规律小结】

直线定界、特殊点定域.注意

不等式是否可取等号,不可取等号时直线画成

虚线,可取等号时直线画成实线.若直线不过
原点,特殊点常选取原点.

求目标函数的最值

求线性约束条件下目标函数的最值问题,首先要
画出可行域,通过画等值线来求目标函数的最

值.当原点不在区域内时,最大值和最小值点一
般是区域上离原点距离最小或最大的点.

y 满足约束条 例2 (2010 年高考安徽卷)设 x, ?2x+y-6≥0, ? 件?x+2y-6≤0, 则目标函数 z=x+y 的最 ? ?y≥0, 大值是( A.3 C.6 ) B.4 D.8

【思路点拨】

作出直线 作出可行域 → x+y=0

→ 找到最优解 → 求得最大值
【解析】 作出二元一次不等式组 ?2x+y-6≥0 ? ?x+2y-6≤0 表示的平面区域,如图. ? ?y≥0

由z=x+y,得y=-x+z, 表示斜率为-1,在y轴上截距为z的一组平行线, 由图可知,当直线z=x+y过直线x+2y-6=0与x

轴的交点(6,0)时,目标函数z=x+y取得最大值6.
【答案】 C

【规律小结】 (1) 求目标函数的最值,必须先准 确地作出线性可行域,再作出目标函数对应的直 线,据题意确定取得最优解的点,进而求出目标 函数的最值. (2)线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与 b 的正负有关,当 b>0 时,最优解是将直线 ax + by =0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点 )的位置得到的.当b<0时,则是向下平移.

变式训练 1

(2010 年高考浙江卷)若实数 x,y 满 ?x+3y-3≥0 ? 足不等式组?2x-y-3≤0 ,且 x+y 的最大值为 ? ?x-my+1≥0 9,则实数 m=( A.-2 C.1 ) B.-1 D.2

解析:选C.如图,设x+y=9,显然只有在x+
y = 9 与直线 2x - y - 3 = 0 的交点处满足要求,

解得此时 x = 4 , y = 5 ,即点 (4,5) 在直线 x - my
+1=0上,代入得m=1.

线性规划的实际应用 在线性规划的实际问题中,主要掌握两种类型,一 是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这

些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;
二是给定一项任务问怎样统筹安排,能使完成的这

项任务耗费的人力、物力资源最小.

(2010年高考广东卷)某营养师要为某个儿 童预订午餐和晚餐.已知1个单位的午餐含12个 单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位 的维生素C;1个单位的晚餐含8个单位的碳水化 合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C. 另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单 位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位 的维生素C. 如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少, 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

例3

【思路点拨】

根据题意,列出线性约束条件,

正确作出二元一次不等式组所表示的平面区域,
利用线性规划解决问题.

【解】 法一:设需要预订满足要求的午餐和 晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用 为 z 元,则依题意,得 z=2.5x+4y,且 x,y
?x≥0,y≥0, ? ?12x+8y≥64, 满足? ?6x+6y≥42, ? ?6x+10y≥54. ?x≥0,y≥0, ? ?3x+2y≥16, 即? ?x+y≥7, ? ?3x+5y≥27.

作出可行域如图,则z在可行域的 四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5), D(0,8)处的值分别是 zA=2.5×9+4×0=22.5, zB=2.5×4+4×3=22, zC=2.5×2+4×5=25, zD=2.5×0+4×8=32. 比较之,zB最小,因此,应当为 该儿童预订4个单位的午餐和3个 单位的晚餐,就可满足要求.

法二: 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别 为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元, 则依题意,得 z = 2.5x + 4y ,且 x , y 满足
?x≥0,y≥0, ? ?12x+8y≥64, ? ?6x+6y≥42, ? ?6x+10y≥54. ?x≥0,y≥0, ? ?3x+2y≥16, 即? ?x+y≥7, ? ?3x+5y≥27.

让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上 平移,由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小

值.
因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个

单位的晚餐,就可满足要求.

【规律小结】 步骤:

(1) 用线性规划解决实际问题的

(2)求线性规划问题的整点最优解常用以下方法: ①平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点, 平移直线l,最先经过或最后经过的整点坐标就是 最优解. ②检验优值法:当可行域中整点个数较少时,可将 整点坐标逐一代入目标函数求值,经过比较得出最 优解. ③调整优值法:先求非整点最优解,再调整最优值, 最后筛选出整点最优解.

变式训练 2 某公司计划 2010 年在甲、乙两个电 视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费 用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准 分别为500元/分钟和 200元/分钟.假定甲、乙两 个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司 带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司 如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能 使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

解: 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时 间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由 题意得 ?x+y≤300, ? ?500x+200y≤90000, ? ?x≥0,y≥0. 目标函数为 z=3000x+2000y. 二元一次不等式组等价于

?x+y≤300, ? ?5x+2y≤900, ? ?x≥0,y≥0.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域, 即 可行域,如图所示

作直线 l:3000x+2000y=0. 即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数 取得最大值. ? ?x+y=300, 联立? ?5x+2y=900. ? 解得 x=100,y=200. ∴点 M 的坐标为(100,200). ∴zmax=3000×100+2000×200=700000(元). 即该公司在甲电视台做 100 分钟广告, 在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元.

线性规划的综合应用

当目标函数不是直线形式的最大 ( 小 ) 值问题 时, 常需考虑目标函数的几何意义, 常见代数 式的几何意义有以下几种: (1) x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离; ?x-a?2+?y-b?2表示点(x,y)与点(a,b)间的 距离. y (2) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; x

y-b 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x-a 这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化, 往往是解决问题的关键.

例4

?x-4y+3≤0 ? 变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1

(1)设 z=4x-3y,求 z 的最大值; y (2)设 z= ,求 z 的最小值; x (3)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围.

【思路点拨】

明确目标函数 画出可行域 → z的几何意义

结合图形 求目标函 → → 找最优解 数的最值

【解】 由约束条件 ?x-4y+3≤0 ? ?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1 作出(x,y)的可行域如图所示.

?x=1 22 由? ,解得 A(1, ). 5 ?3x+5y-25=0 ?x=1 由? ,解得 C(1,1). ?x-4y+3=0 ?x-4y+3=0 由? ,解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0

4 z (1)由 z=4x-3y,得 y= x- . 3 3

4 求 z=4x-3y 的最大值, 相当于求直线 y= x- 3 4 z z 在 y 轴上的截距- 的最小值. 平移直线 y= x 3 3 3 知, 4 z z 当直线 y= x- 过点 B 时,- 最小,z 最大. 3 3 3 ∴zmax=4×5-3×2=14. y y-0 (2)∵z= = . x x-0

∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. 2 观察图形可知 zmin=kOB= . 5 (3)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点 到原点的距离中, dmin= |OC| = 2 , dmax = |OB| = 29. ∴2≤z≤29.

【误区警示】

本题会出现对 (2)(3) 无从下手的

情况,原因是没有数形结合思想的应用意识,不
知道从其几何意义入手.

方法感悟 方法技巧 1.平面区域的画法:二元一次不等式的标准化与 半平面的对应性.对于A>0的直线l:Ax+By+C= 0,Ax+By+C>0对应直线l右侧的平面;Ax+By+ C<0对应直线l左侧的平面.由一组直线围成的区域 形状常见的有:三角形、四边形、多边形以及扇形

域和带状域等.(如例1)

2.转化:求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最 值,将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y= a z z - x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z b b b 的最值.(如例 2) 3.实数最优解一定在顶点或边界取得;经过区域 内整数最优解的直线距实数最优解最近.(如例 3)

4.线性规划应用题建模的思路:一般以“资源 ——产品——收益”为主线; 设元时将产品数量 设为 x、y,将收益多少设为 z,资源数量为常数 a、b、c 等.这样 z 与 x、y 之间的关系就是目标 函数;而 x、y 与 a、b、c 等之间的关系就是约 束条件.(如例 4)

失误防范

1.二元一次不等式与半平面的对应关系,避免失 误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. z 2.在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值 b z 时,要注意:当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取 b z 最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 b z z 时,截距 取最大值时,z 取最小值;截距 取最小 b b 值时,z 取最大值.

考向瞭望?把脉高考

考情分析
线性规划问题是每年高考必考的知识点之一,考 查重点是二元一次不等式(组)表示平面区域(的面 积),求目标函数的最值,线性规划的应用问题 等.题型主要是选择题和填空题,难度为中、低 档.近几年加强了对目标函数最值的求法以及取 得最值时参数取值范围的考查,同时注重考查等 价转化、数形结合思想.

预测2012年高考仍将以目标函数的最值、线性规 划的综合运用为主要考查点,重点考查学生分析 问题、解决问题的能力.

命题探源
(2010 年高考大纲全国卷Ⅰ)若变量 x,y 满足 ?y≤1, ? 约束条件?x+y≥0, 则 z=x-2y 的最大值为 ? ?x-y-2≤0, ( ) A.4 B.3 C.2 D.1


【解析】 如图,画出约束条件表示的可行 域,当目标函数 z=x-2y经过x+y=0与x-y - 2 = 0 的交点 A(1 ,- 1) 时,取到最大值 3 , 故选B.

【答案】

B

【名师点评】 (1)本题易失误的是:①对二元一 次不等式组所表示的平面区域不清楚,“特殊点 定域”弄错方向;②对线性规划认识模糊,不知 道平移哪条直线,为什么平移,目的是什么等导 致出错;③把最大、最小看错. (2) 一条直线 Ax + By + C = 0 把平面分为两个半平 面,在每个半平面内的点 (x , y) 使 Ax + By + C 值 的符号一致,判断 Ax+ By+ C的符号可以采用特 殊点法.在解决平面区域问题时要结合直线的各 种情况进行分析,不要凭直觉进行解答.

(3)求目标函数的最值,课本上有更为详细的解题
步骤,从近几年高考试题来看,高考题的难度不

高于课本上例题的难度,如课本100页的实例分析,
101页的例6,103页的练习以及例7等都是这类问题,

在复习时要注意控制难度.

名师预测

1.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部 分包括边界),若目标函数 z=x+ay 取得最小 y 值的最优解有无数个,则 的最大值是 x-a ( )

2 A. 3 1 C. 6

2 B. 5 1 D. 4

1 解析:选 B.如图,由题意知- =kAC=1, a a=-1, 2 y ∴ 的最大值是 . 5 x+1

2.假设f(x)=x2-4x+3,若实数x,y满足
f(y)≤f(x)≤0,则点(x,y)所构成的区域的面积等于

(
A.1

)

B.2
C.3

D.4

?f?y?≤f?x?, 解析:选 B.由 f(y)≤f(x)≤0,可得? ? ?f?x?≤0, ?y2-4y+3≤x2-4x+3 ?1≤x≤3 ? 2 ?? , ?x -4x+3≤0 ??x-y??x+y-4?≥0

画出其表示的平面区域,可得所求区域的面积 1 S=2× ×2×1=2.故选 B. 2

?y≥0 ? 3. 已知实数 x, y 满足约束条件?y≤x ? ?2x+y-9≤0



则 z=x+3y 的最大值为________.
解析:如图所示,约束条件

?y≥0 ? ?y≤x ? ?2x+y-9≤0

表示以(0,0)、(4.5,0)、(3,3)三点为

顶点的三角形区域(包括边界),由目标函数 z=x 1 z +3y 得 y=- x+ ,求 z=x+3y 的最大值就是 3 3 1 z 求 y=- x+ 在 y 轴上截距的最大值,由图可知 3 3 1 z 当直线 y=- x+ 过点(3,3)时在 y 轴上的截距最 3 3 大,这时 z=12.
答案:12

?x+2y-3≤0 ? 4. 已知变量 x, y 满足约束条件?x+3y-3≥0 ? ?y-1≤0



当目标函数 z=x+y 取得最大值时,其最优解为 ________.

解析:画出 x , y 满足的可行域 ( 如图中阴影部分 所示)可知,当平移直线 x+y=0过点A(3,0)时z 取 得最大值,故其最优解为(3,0).

答案:(3,0)

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