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2014(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题二 第1讲 三角函数的图像与性质(选择、填空题型)


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第一讲 三角函数的图像与性质?选择、填空题型?

考 点 三角函数的图像 三角函数的性质 求函数的解析式

考 情 1.对三角函数图像的考查主要是平移、伸缩变换,或由图 像确定函数的解析式,如 2013 年四川 T5,山东 T5 等. 2.三角函数的性质是考查的

重点,可以单独命题,也可与三 角变换交汇,综合考查三角函数的单调性、周期性、最值

求三角函数的值域或最值

等.另外由性质确定函数的解析式也是高考考查的重点,如 2013 年江西 T11,新课标全国卷ⅠT15 等.

π 1.(2013· 山东高考)将函数 y=sin(2x+φ)的图像沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶 8 函数的图像,则 φ 的一个可能取值为( 3π A. 4 C.0 ) π B. 4 π D.- 4

π 解析:选 B 把函数 y=sin(2x+φ)的图像向左平移 个单位后,得 8 π ? 该函数是偶函数的充要条件是π 到的图像的解析式是 y=sin? ?2x+4+φ?, 4 π π +φ=kπ+ ,k∈Z,根据选项检验可知 φ 的一个可能取值为 . 2 4 π π? 2.(2013· 四川高考)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)? ?ω>0,-2 < φ<2?的部分图像如图所示, 则 ω,φ 的值分别是( π A.2,- 3 π C.4,- 6 ) π B.2,- 6 π D.4, 3

π 2π 3 5π 5π π - ?= ·,所以 ω=2.又因为 2× +φ= +2kπ(k∈Z),且- 解析:选 A 因为 -? 12 ? 3? ω 4 12 2

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π π π <φ< ,所以 φ=- . 2 2 3 3.(2013· 江西高考)函数 y=sin 2x+2 3sin2x 的最小正周期 T 为________. 解析:y=sin 2x+2 2π 最小正周期为 T= =π. 2 答案:π 4.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =________. 2 5 5 2 5 ? 解析:f(x)=sin x-2cos x= 5 ? sin x- cos x = 5sin (x-φ),其中 sin φ= 5 , 5 ?5 ? cos φ= 5 π π , 当 x-φ=2kπ+ (k∈Z)时函数 f(x)取到最大值, 即 θ=2kπ+ +φ(k∈Z)时函数 f(x) 5 2 2 π? 3sin2x=sin 2x- 3cos 2x+ 3=2sin? ?2x-3?+ 3,所以该函数的

2 5 取到最大值,所以 cos θ=-sin φ=- . 5 2 5 答案:- 5

1.六组诱导公式 公式一 sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z),cos(2kπ+α)=cos α(k∈Z),tan(2kπ+α)=tan α(k ∈Z) sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α, tan(π+α)=tan α sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α, tan(π-α)=-tan α π ? ?π ? sin? ?2-α?=cos α,cos?2-α?=sin α π ? ?π ? sin? ?2+α?=cos α,cos?2+α?=-sin α

公式二

公式三

公式四 公式五 公式六

2.三种函数的图像和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

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图像

单调性

π π ? 在? ?-2+2kπ , 2+2kπ? (k ∈ Z)上单调 π 递增;在? ?2+2kπ , 3π +2kπ?(k∈Z)上单调递减 2 ? 对称中心:(kπ,0)(k∈Z);

在 [-π+ 2kπ, 2kπ](k ∈ Z)上单调递增;在[2kπ, π+2kπ](k∈Z)上单调递 减 对称中心:

π 在? ?-2+kπ , π +kπ? (k ∈ Z) 上 单 调 2 ? 递增

对称性

π 对称轴:x= +kπ(k∈Z) 2

?π+kπ,0?(k∈Z); ?2 ?
对称轴:x=kπ(k∈Z)

kπ ? 对称中心:? ? 2 ,0? (k∈Z)

3.三角函数的两种常见图像变换
1 横坐标变为原来的 倍

(1)y = sin x ― ― ― ― ― ― ― → y = sin(x + φ) ??????? ? 纵坐标不变 平移|φ|个单位 φ)― ― ― ― ― ― ― ― ― → 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
1 横坐标变为原来的 倍

向左?φ>0?或向右?φ<0?

?

y = sin(ωx +

纵坐标变为原来的A倍

(2)y=sin x ??????? ? y=sin ωx 纵坐标不变
? ? ? ? ??????? ? y=sin(ωx+φ)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). ? 横坐标不变
向左 ? ? 0 或向右 ? ? 0 平移

?

纵坐标变为原来的A倍

?

个单位

热点一

三角函数的概念、基本关系式和诱导公式

[例 1] ( ) 5π A. 6 5π C. 3

5π 5π? (1)已知角 α 的终边上一点的坐标为? ?sin 6 ,cos 6 ?,则角 α 的最小正值为 2π B. 3 11π D. 6

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π ? 1 2 (2)若 3cos? ?2-θ?+cos(π+θ)=0,则 cos θ+2sin 2θ 的值是________. 5π 5π [自主解答] (1)∵sin >0,cos <0, 6 6 ∴α 为第四象限角. 5π 3 cos - 6 2 又 tan α= = =- 3, 5π 1 sin 6 2 5π ∴α 的最小正值为 . 3 π ? (2)∵3cos? ?2-θ?+cos(π+θ)=0, 1 ∴3sin θ-cos θ=0,从而 tan θ= . 3 1 4 1+ 2 3 3 cos θ + sin θ cos θ 1 + tan θ 1 6 ∴cos2θ+ sin 2θ= = = = = . 2 1 10 5 sin2θ+cos2θ 1+tan2θ ?2 1+? 3 9 ? ? [答案] (1)C 6 (2) 5

——————————————————(规律· 总结)——————————————

应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函 数的定义就会出现错误. (2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个:一个是函数名称,一个是函数值的符号.

4 1.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α=- ,则 m 的值为________. 5 4 解析:由点 P(-8m,-6sin 30° )在角 α 的终边上且 cos α=- ,知角 α 的终边在第三象 5 限,则 m>0,又 cos α= 4 1 =- ,所以 m= . 5 2 ?-8m? +9
2

-8m

1 答案: 2 2.已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边上一点 P(-4,3),则

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的值为________. 11π ? ?9π -α sin +α? cos? ? 2 ? ?2 ? -sin α· sin α y 3 解析:原式= =tan α.根据三角函数的定义,得 tan α= =- ,所以原式= x 4 -sin α· cos α 3 - . 4 3 答案:- 4

π ? cos? ?2+α?sin?-π-α?

热点二

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与解析式

[例 2]

(1)(2013· 济南模拟)已知函数 f(x)=Msin(ωx+φ)(M,ω,φ

是常数,M>0,ω>0,0≤φ≤π)的部分图像如图所示,其中 A,B 两点之 间的距离为 5,那么 f(-1)=( A.-2 C.2 ) B.-1 D.-1 或 2

π (2)(2013· 海口模拟)将函数 y=sin ωx(ω>0)的图像向左平移 个单位,平 6 移后的图像如图所示,则平移后的图像所对应的函数解析式为( π? A.y=sin? ?x+6? π? B.y=sin? ?x-6? π? C.y=sin? ?2x+3? π? D.y=sin? ?2x-3? [自主解答] (1)由图可知 M=2.因为 A,B 两点分别是函数图像上相邻的最高点和最低 点,设 A(x1,2),B(x2,-2),因为|AB|=5,所以 ?x2-x1?2+?-2-2?2=5,解得|x2-x1|=3. T 2π 因为 A,B 两点的横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半,即 =3,T=6,所以 =6, 2 ω π 1 π 5π 解得 ω= .因为 f(0)=1,所以 2sin φ=1,解得 sin φ= .因为 0≤φ≤π,所以 φ= 或 φ= . 3 2 6 6 π 5π? π 5π x+ .故 f(-1)= 结合图像,经检验,φ= 不合题意,舍去,故 φ= .所以 f(x)=2sin? 3 6? ? 6 6 π 5π π - + ?=2sin =2. 2sin? ? 3 6? 2 )

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π? π (2)函数 y=sin ωx(ω>0)的图像向左平移 个单位后对应的函数解析式为 y=sin ω? ?x+6? 6 ωπ? 7πω ωπ 3π ?7π? =sin? ?ωx+ 6 ?,又因为 f?12?=-1,由图可得 12 + 6 = 2 ,解得 ω=2,所以平移后的图 π? 像对应的函数解析式为 y=sin? ?2x+3?. [答案] (1)C (2)C

——————————————————规律· 总结—————————————— 根据三角函数图像确定解析式应注意的问题 在利用图像求三角函数 y=Asin(ωx+φ)的有关参数时, 注意直接从图中观察振幅、 周期, 即可求出 A、ω,然后根据图像过某一特殊点求 φ,若是利用零点值来求,则要注意是 ωx+ φ=kπ(k∈Z),根据点在单调区间上的关系来确定一个 k 的值,此时要利用数形结合,否则 就易步入命题人所设置的陷阱.

π? 2 3.已知函数 f(x)=Acos(ωx+θ)的图像如图所示,f? ?2?=-3, π - ?=( 则 f? ? 6? 2 A.- 3 2 C. 3 ) 1 B.- 2 1 D. 2

11π 7π? 2π 2 ? π? ? π 2π? ?π? 解析:选 A 由图知,T=2? ? 12 -12?= 3 ,所以 f?-6?=f?-6+ 3 ?=f?2?=-3. 4.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该 函数的部分图像如图所示, △EFG 是边长为 2 的等边三角形, 则 f(1) 的值为( A.- C. 3 ) 3 2 B.- 6 2

D.- 3

π 解析: 选 D 由函数是奇函数, 且 0<φ<π 可得 φ= .由图像可得函数的最小正周期为 4, 2 π π? π ω= .由△EFG 的高为 3, 可得 A= 3.所以 f(x)= 3cos? 所以 f(1)= 3cos π=- 3. ?2x+2?, 2

热点三

三角函数的奇偶性与对称性

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[例 3]

?a1 a2?=a a -a a .将函数 f(x)=? 3 sin x?的图像向左 (1)定义行列式运算? ? ? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ? 1 cos x?
) π B. 3 2π D. 3

平移 n(n>0)个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( π A. 6 5π C. 6

π (2)(2013· 皖南八校联考)已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)的图像关于直线 x= 对称, 且 12 π? f? ?3?=0,则 ω 的最小值为( A.2 C.6 ) B.4 D.8

π? [自主解答] (1)由定义知 f(x)= 3cos x-sin x=2cos? ?x+6?,将其图像向左平移 n 个单 π ? π 位后得到 y=2cos? ?x+6+n?的图像,要使该函数为偶函数,应有6+n=kπ(k∈Z),即 n=kπ π 5π - (k∈Z),因此,当 k=1 时,n 取得最小值 . 6 6 π π π (2)由题意知 ω· +φ=k1π,ω·+φ=k2π+ ,其中 k1,k2∈Z,两式相减可得 ω=4(k2 12 3 2 -k1)+2,又 ω>0,易知 ω 的最小值为 2. [答案] (1)C 互动探究 在本例(1)中,把“偶函数”改为“奇函数”,如何选择? π π π 解析:选 B 若平移后所得图像对应的函数为奇函数,则 +n= +kπ,即 n= +kπ, 6 2 3 k∈Z. π ∴n 的最小值为 . 3 (2)A

——————————————————规律· 总结——————————————

1.奇偶性的三个规律 π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ(k∈Z),是偶函数?φ=kπ+ (k∈Z); 2 π (2)函数 y=Acos(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ+ (k∈Z),是偶函数?φ=kπ(k∈Z); 2 (3)函数 y=Atan(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ(k∈Z). 2.对称性的三个规律
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π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图像的对称轴由 ωx+φ=kπ+ (k∈Z)解得,对称中心的横坐 2 标由 ωx+φ=kπ(k∈Z)解得; (2)函数 y=Acos(ωx+φ)的图像的对称轴由 ωx+φ=kπ(k∈Z)解得, 对称中心的横坐标由 π ωx+φ=kπ+ (k∈Z)解得; 2 kπ (3)函数 y=Atan(ωx+φ)的图像的对称中心由 ωx+φ= (k∈Z)解得. 2

π? * ?π ? 5.若函数 y=cos? ?ωx+6?(ω∈N )的一个对称中心是?6,0?,则 ω 的最小值为( A.1 C.4 B.2 D.8

)

πω π? πω π π * 解析:选 B ∵cos? ? 6 +6?=0,∴ 6 +6=2+kπ(k∈Z),∴ω=2+6k,又 ω∈N ,∴ ω 的最小值为 2. π ? 6.若函数 f(x)=Asin? ?2x+φ?(A>0)满足 f(1)=0,则( A.f(x-2)一定是奇函数 B.f(x+1)一定是偶函数 C.f(x+3)一定是偶函数 D.f(x-3)一定是奇函数 2π 解析:选 D 由于函数周期为 =4,又由 f(1)=0 可知(1,0)为函数 f(x)图像的一个对称 π 2 中心,且 f(x-3)的图像是由函数 f(x)的图像向右平移 3 个单位所得,故函数 f(x-3)图像的一 个对称中心为(4,0),又函数周期为 4,故(0,0)也是函数 f(x-3)图像的一个对称中心,即图像 关于原点对称,故函数 f(x-3)为奇函数. 热点四 三角函数的周期性、单调性与最值 )

[例 4]

3π 3π? (1)(2013· 沈阳模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A>0,ω>0)的图像在? ?- 2 ,- 4 ? ) 3 B. 4 D.2

上单调递增,则 ω 的最大值是( 1 A. 2 C.1

π ? ? π? (2)设 a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2? ?2-x?满足 f?-3?=f(0),则函数 f(x)在

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?π,11π?上的最大值和最小值分别为________,________. ?4 24 ?
π [自主解答] (1)因为 A>0,ω>0,所以 f(x)=Asin(ωx+ωπ)的递增区间满足 2kπ- ≤ωx 2 π + ωπ≤2kπ + (k ∈ Z) , 即 2 π π 2kπ- 2kπ+ 2 2 3π 3π? - π≤x≤ - π(k ∈ Z) , 所 以 ? ?- 2 ,- 4 ? ? ω ω

π ? ?2kπ-π ? ?ω≤2+8k, 2kπ+ 2 2 ?(k∈Z),解得? 即 ω≤1,所以 ω 的最大值为 1. ? ? ?ω≤1-4k, ? ω -π, ω -π? a (2)f(x)=asin xcos x-cos2x+sin2x= sin 2x-cos 2x. 2 π? 3? a 1 ? 由 f? + =-1, ?-3?=f(0),得?- 2 ?· 2 2 解得 a=2 3. π? π ?π 3π? ?π 11π? 因此 f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin? ?2x-6?,由 x∈?4, 24 ?,可得 2x-6∈?3, 4 ?. π π? π ?π π? 当 x∈? ?4,3?时,2x-6∈?3,2?,f(x)为增函数; π 11π? π ?π 3π? , 当 x∈? 时, 2 x - ∈ , ,f(x)为减函数, ?3 24 ? 6 ?2 4 ? π 11π? ?π?=2. , 所以 f(x)在? 上的最大值为 f ?4 24 ? ?3? π? ?11π?= 2, 又 f? = 3 , f ?4? ? 24 ? π 11π? ?11π?= 2. , 故 f(x)在? 上的最小值为 f ?4 24 ? ? 24 ? [答案] (1)C 互动探究 在本例(2)中,求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间. π 2π 2x- ?,∴f(x)的最小正周期为 T= =π. 解:∵f(x)=2sin? 6? ? 2 π π 3π 由 +2kπ≤2x- ≤ +2kπ(k∈Z), 2 6 2 π 5π 得 +kπ≤x≤ +kπ,(k∈Z), 3 6 π 5π ? ∴函数 f(x)的单调递减区间为? ?3+kπ, 6 +kπ?,(k∈Z). (2)2 2

—————————————————规律· 总结——————————————

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三角函数的单调性、周期性及最值的求法 (1)三角函数单调性的求法: 求形如 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ))(A、ω、φ 为常数,A≠0,ω>0)的单调区间 的一般思路是令 ωx+φ=z,则 y=Asin z(或 y=Acos z),然后由复合函数的单调性求得. (2)三角函数周期性的求法: 2π 函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ))的最小正周期 T= .应特别注意 y=|Asin(ωx |ω| π +φ)|的周期为 T= . |ω| (3)三角函数值域的求法: 在求最值(或值域)时, 一般要先确定函数的定义域, 然后结合正弦函数性质可得函数 f(x) 的最值.

π? 7.设函数 f(x)=cos? ?|x|+6?(x∈R),则 f(x)( 5π ? A.在区间? ?- 6 ,0?上是增函数 5π? B.在区间? ?0, 6 ?上是增函数 π π? C.在区间? ?-3,3?上是增函数 π π? D.在区间? ?-3,3?上是减函数

)

5π? 解析:选 A 依题意,f(-x)=f(x),函数 f(x)是偶函数,注意到函数 f(x)在? ?0, 6 ?上是 5π ? 减函数,因此 f(x)在? ?- 6 ,0?上是增函数.

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