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2015全国高二数学易错题一解析

时间:2016-06-15


注:难度系数 P:(??P??),难度系数 P 越大,代表该题越难 ? 第1题 难度系数 P:0.9885

? 解析: 解析:解法一:

(1)证明:作





,连







因为<

br />


的中点,

所以





是平行四边形,因此有



平面



平面









(2)如图,



作截面



,分别交













,连



因为



,所以

,则

平面



又因为







所以 面角.

,根据三垂线定理知

,所以

就是所求二面角的平

因为

,所以

,故



即:所求二面角的大小为



(3)因为

,所以



. 所求几何体体积为

. 解法二: (1)如图,以 为原点建立空间直角坐标系,







,因为



的中点,所以





易知,

是平面

的一个法向量.

因为



平面

,所以

平面



(2)







是平面

的一个法向量,则





得:







显然,

为平面

的一个法向量.

则 所以二面角 的大小是

,结合图形可知所求二面角为锐角. .

? 第2题

难度系数 P:0.9806

? 解析: 以 D 为原点,DA 为 x 轴正半轴,DC 为 y 轴正半轴,DD1 为 z 轴正半轴,

建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),A1(1,0,2),N( M(0,1,z),

,1,0),C(0,1,0) ),设

面 MDN 的法向量



设面 A1DN 的法向量为

,则





(1)由题意:



(2)由题意:





? 第3题

难度系数 P:0.9674

? 解析: 在区间[0,10]上,体积 V 的平均变化率为
0.316(cm /s), (负号表示容器甲中水在减少).
3



=-

? 第4题 难度系数 P:0.9285

两直角边的长度分别为 30x,40x, 则斜边为 50x 所以两船间距离增加的速度为

? 解析:无

? 第5题 难度系数 P:0.9239

? 解析: ①函数 f(x)=|x|在 x 大于 0 的时候, f(x)=x, 此时求导可得 f'(0)=1;
在 x 小于 0 的时候,f(x)=-x,此时求导可得 f'(0)=-1。函数同一个点不可能存 在两个导数值,所以该函数在 x=0 处不可导。并且画出函数图形,可以清晰看出 该函数在 x=0 处是连续的,故正确;

②对函数

求导可得 f'(x)=3

,所以 f'(0)=0,。 由此可得该函数在 x=0

上的切线是:直线 y=0。 ① 函数 f(x)=|x|在 x=0 处连续但不可导; ③某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示,那么该婴儿从出生到第 3 个 月的平均变化率大于从第 6 个月到第 12 个月的平均变化率;

? 第6题 难度系数 P:0.8981

? 解析:

分析试题:∵B 和 A 关于原点对称,∴B 也在椭圆上。

设左焦点为 F′,根据椭圆定义:|AF|+|AF′|=2a 又∵|BF|=|AF′| ∴|AF|+|BF|=2a ……① O 是 Rt△ABF 的斜边中点,∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα ……② |BF|=2ccosα ……③ 将②③代入① 2csinα+2ccosα=2a



,即









)≤1,故椭圆离心率的取值范围为



考点:本题主要考查椭圆的定义及其几何性质,两角和的正弦公式,正弦函数的图象和性 质。 点评:中档题,本题利用椭圆的定义及直角三角形中的边角关系,确定得到了椭圆离心率 的表达式,根据角的范围确定离心率的范围,该题综合性较强,也较为典型。

? 第7题

难度系数 P:0.8696

? 解析:

利用函数值的增量与自变量的增量的比,即可求得在区间上的平均变化率.

? 第8题 难度系数 P:0.8551

? 解析:无 ? 第9题 难度系数 P:0.825

? 解析:

解:如图所示,设球 O 的半径为 r,AB 是公共弦,

是面面角

根据题意得

,



中,

,即

球 O 的表面积等于 因此,本题正确答案是

? 第 10 题 难度系数 P:0.8248

? 解析:

? 第 11 题

难度系数 P:0.8182

?

解析: 解:
以 O 为圆心以 c 为半径的圆:

(1)

直线

直线

与椭圆:

有交点.即

有解 又

(2)设

,直线

方程为:

直线 l 的方程为:

点 Q 的坐标为

点 P 分有向线段

所成比为

,

点 P 在椭圆上

直线

的方程为:

.

? 第 12 题 难度系数 P:0.8116

?

解析: 本题主要考查椭圆的几何性质。

如图所示,连接



,在

中,



分别





的中点,所以有



。因为

是切点,故可得



。所以





。所以有

,将

代入可得

,从而可得

,得到离心率



? 第 13 题 难度系数 P:0.8074

? 解析: (Ⅰ)首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形 DEFG 的一
组对边相互平行,然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等,则可证明中截面 DEFG 是 梯形; (Ⅱ)由题意可证得 MN 是中截面梯形 DEFG 的高,根据四边形 A 1 A 2 B 2 B 1 ,A 1 A 2 C 2 C 1 均是梯形,利用梯形的中位线公式吧 DE,FG 用 d 1 ,d 2 ,d 3 表示,这样就能把 V 用含有 a,h,d 1 ,d 2 ,d 3 的代数式表示,把 V= (d 1 +d 2 +d 3 )S 与 V 估 作差后 利用 d 1 ,d 2 ,d 3 的大小关系可以判断出差的符号,及能判断 V 估 与 V 的大小关系. (Ⅰ)依题意 A 1 A 2 ⊥平面 ABC,B 1 B 2 ⊥平面 ABC,C 1 C 2 ⊥平面 ABC, 所以 A 1 A 2 ∥B 1 B 2 ∥C 1 C 2 ,又 A 1 A 2 =d 1 ,B 1 B 2 =d 2 ,C 1 C 2 =d 3 ,且 d 1 <d 2 <d 3 . 因此四边形 A 1 A 2 B 2 B 1 ,A 1 A 2 C 2 C 1 均是梯形. 由 AA 2 ∥平面 MEFN,AA 2 ?平面 AA 2 B 2 B,且平面 AA 2 B 2 B∩平面 MEFN=ME, 可得 AA 2 ∥ME,即 A 1 A 2 ∥DE.同理可证 A 1 A 2 ∥FG,所以 DE∥FG. 又 M,N 分别为 AB,AC 的中点, 则 D,E,F,G 分别为 A 1 B 1 ,A 2 B 2 ,A 2 C 2 ,A 1 C 1 的中点, 即 DE、FG 分别为梯形 A 1 A 2 B 2 B 1 、A 1 A 2 C 2 C 1 的中位线.


因此 DE= ,FG= 而 d 1 <d 2 <d 3 ,故 DE<FG,所以中截面 DEFG 是梯形; (Ⅱ)V 估 <V.证明: 由 A 1 A 2 ⊥平面 ABC,MN?平面 ABC,可得 A 1 A 2 ⊥MN. 而 EM∥A 1 A 2 ,所以 EM⊥MN,同理可得 FN⊥MN. 由 MN 是△ABC 的中位线,可得 MN= BC= a,即为梯形 DEFG 的高,



因此 即 S= ah,所以 =


, .又 . .

于是 由 d 1 <d 2 0,d 3 -d 1 >0,故 V

<V.

? 第 14 题

难度系数 P:0.8071

?

解析: 本题主要考查空间几何体中直线与平面的位置关系。

连接





①项,当

时,如下图:





,因此

,连接

,则截面为四边形

,故①项正确;

②项,当

时,如下图:

连接

,则

,连接



,由





可得

,则

,所以截



为等腰梯形,故②项正确;

③项,当

时,如下图:



,作

,连接



,由



,所以

,由于平面

,截面

截两平面交线为



,所以

,则

,则

,所以 ③项正确;

,故

④项,当

时,如下图:





于点

,作



于点

,则

,点







在过





的截面内, 所以, 过点





于点



则点

也在该截面内,连接

,平面

即为

,它是一

个五边形,故④项错误;

⑤项,当

时,如下图:



中点,则截面

为一菱形,则两对角线分别为



,则

的面积为

,故⑤项正确。 故本题正确答案为①②③⑤。

? 第 15 题

难度系数 P:0.789

? 解析: 易知N为抛物线y2=4x的焦点,又为椭圆的右焦点,
抛物线的准线l1:x=-1,椭圆的右准线l2:x=4, 过A作AC?l1于C,过B作BD?l2于D, 则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上.



,得抛物线与椭圆的交点M的横坐标

而|BN|=e|BD|=

|BD|,|AN|=|AC|

∴△NAB的周长l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN| =|BC|+ |BD|=|BC|+|BD||BD|

=|CD|-

|BD|=5-

|BD|

,即

,即l的取值范围为(

,4)

? 第 16 题 难度系数 P:0.7814

?

解析: 正实数 a 的取值范围是 0<a≤3

解不等式 x -8x-20>0 得 p:A={x|x>10,或 x<-2}。

解不等式 x -2x+1-a >0 得 q:B={x|x>1+a,或 x<1-a,a>0}。 依题意,p q 但 q ≠> p,说明 A B。

于是有 ,解得 0<a≤3。 ∴正实数 a 的取值范围是 0<a≤3。

? 第 17 题 难度系数 P:0.7807

? 解析: 分析:利用椭圆的标准方程即可得出.

解答:解:方程 2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0 化为
∵方程 2(k -2)x +k y +k -k-6=0 表示椭圆,
2 2 2 2 2

=1.



,解得-2<k<

,且

,且 x≠2.

? 第 18 题 难度系数 P:0.7442

?

解析: ①必要性:
由已知得,线段 AB 的方程为 y=-x+3(0≤x≤3) 由于抛物线 C 和线段 AB 有两个不同的交点,

所以方程组
2

*

有两个不同的实数解.

消元得:x -(m+1)x+4=0(0≤x≤3)

设 f(x)=x -(m+1)x+4,则有
2

②充分性:

当 3<x≤

时,

x=
1

>0

∴方程 x -(m+1)x+4=0 有两个不等的实根 x ,x ,且 0<x <x ≤3,方程组* 有两组不同的实数解.
2 1 2 1 2

因此,抛物线 y=-x +mx-1 和线段 AB 有两个不同交点的充要条件 3<
2

m≤

.

? 第 19 题 难度系数 P:0.7391

? 解析:

分析:把已知不等式整理为关于 p 的一元一次不等式,而不等式左边为关于 p

的一次函数,根据一次函数的性质可得此函数的最值只有在[-1,1]的端点取得, 根据题意 不等式恒成立可得当 p=-1 时,最小值大于 0 即可,故把 p=-1 代入不等式,得到关于 x 的不 等式,求出不等式的解集即可得到 x 的取值范围. 解答:不等式 px2+(p-3)x-3>0 可以化为:p(x2-3x)-3x-3>0, 这是一个关于 p 的一元一次不等式, 函数 p(x2+x)-3x-3 是关于 p 的一次函数,一次函数图象是直线,在定义域上是单调递增 或递减, P∈[-1,1]时,函数 p(x2+x)-3x-3 的最小值必定在端点-1 或 1 处取到, 不等式 px2+(p-3)x-3>0 总成立,只需最小值大于 0 即可. ∴-x2+(-1-3)x-3>0,即 x2+(1+3)x+3<0, 解得:-3<x<-1, 则实数 x 的取值范围为(-3,-1) . 故答案为: (-3,-1) 点评:考查学生理解函数恒成立时的条件的能力,以及灵活运用一元二次不等式解法的能 力.

? 第 20 题 难度系数 P:0.7201

? 解析: 易知N为抛物线y2=4x的焦点,又为椭圆的右焦点,
抛物线的准线l1:x=-1,椭圆的右准线l2:x=4, 过A作AC?l1于C,过B作BD?l2于D, 则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上.



,得抛物线与椭圆的交点M的横坐标

而|BN|=e|BD|=

|BD|,|AN|=|AC|

∴△NAB的周长l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN| =|BC|+ |BD|=|BC|+|BD||BD|

=|CD|-

|BD|=5-

|BD|

,即

,即l的取值范围为(

,4)

? 第 21 题 难度系数 P:0.5985

? 解析: x^2/(a^2k)+y^2/(b^2k)=1 离心率
e^2=c'^2/a'^2=(a^2k-b^2k)/(a^2k)=(a^2-b^2)/a^2 与椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 中的离心率 是一样的。

? 第 22 题 难度系数 P:0.5909

? 解析:4 ? 第 23 题 难度系数 P:0.5781

? 解析:

解:

命题 p:方程

有两个不相等的负实根,

,计算得出 命题 q:函数

; 在 R 上是减函数恒成立,

,即 又 或 q 为真,p 且 q 为假,

,计算得出

;

当 p 为真 q 为假时,

,即

;

当 q 为真 p 为假时, 综上,m 的取值范围是

,计算得出 或 .

;

? 第 24 题

难度系数 P:0.573

? 解析: ∵
a 与 b 的夹角为钝角, ∴cos< a , b ><0.且 a 与 b 不共线 ∴ a ? b <0.且(3,-2,-3)≠λ (-1,x-1,1) ∴-3-2(x-1)-3<0.且 x≠ 5 3 ∴x 的取值范围是(-2, 5 3 )∪( 5 3 ,+∞).

? 第 25 题

难度系数 P:0.5692

? 解析:


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