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高中数学题典-数列及通项公式


5.1.1 根据给出的条件写出数列 ?an ? 的前 5 项: (1) a1 =0, a n ?1 ?

3a n ? 2 : 3

.

(2) a1 ? 3, a2 ? 6, an?2 ? an?1 ? an :

.

5.1.2.将正偶数按下表排列成 5 列: 第一列 第一

行 第二行 第三行 第四行 32 按此规律,2000 在第 16 第二列 2 14 18 30 第三列 4 12 20 28 行,第 第四列 6 12 20 26 列. 24 第五列 8

5.1.3. 一个有限数列 a1 , a2 ,...,an 的部分和定义为 S k ? a1 ? a2 ? ... ? ak , 其中 1 ? k ? n , 称

1 ?S1 ? S 2 ? ... ? S n ? 为该有限数列的 “凯森和” .已知一个 2005 项的数列 a1 , a2 ,...a2005 的 “凯 n 50 森和”为 100,则 2006 项的数列 , a1 , a2 ,...,a2005 的“凯森和”为 . 1003

5.1.4.已知数列 6,9,14,21,30,…,对于任意的正整数 n, an?1 与 an 之间满足关系式:

.

5.1.5.已知无穷数列 1? 2,2 ? 3,3 ? 4,...,n?n ? 1?,..., (1)求这个数列的第 10 项,第 31 项及第 48 项;

1

(2)420 是不是这个数列中的项?如果是,它是第几项?

5.1.6.已知数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? 是第几项?若不是,说明理由.

n2 , 问:0.98 是不是数列 ?an ? 中的项? 如果是,它 n2 ? 3

5.1.7.设数列 ?an ? 有 an ? log?n?1? 2006 ! ,则

1 1 1 = ? ? ... ? a1 a 2 a 2005

.

?3? 5.1.8.已知数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? ? ? ?4?
A.最大项是 a1 ,最小项是 a3 ; C. 最大项不存在,最小项是 a3 ;

n ?1

?? 3 ? n ?1 ? ?? ? ? 1? ,则数列的( ?? 4 ? ? ? ?

).

B. 最大项是 a1 ,最小项不存在; D. 最大项是 a1 ,最小项是 a3 ;

5.1.9.根据右边的框图,计算机执行过程中形成的数列满足递推关系 a n ?1 =

.

5.1.10.已知 f ?n? ? sin

n

? ? cosn ? .

2

(1)试用 f ?n ? 1?, f ?n? 和 f ?1? 表示 f ?n ? 1? ;

(2)求所有使得 ? f ?n ?? 是一个非零常数列的 ? 的值.

5.1.11.正整数列 ?an ? 对任意 n ? N ? 满足 a n ?1 ? a n , an?2 ? an?1 ? an ,若 a6 ? 74, 则 a 的可
2

能取值的个数为( ). A.1; B.2;

C.3;

D.4.

5.1.12.若数列前八项的值各异,且 a n ?8 ? a n 对任意的 n ? N ? 都成立,则下列数列中可取遍前 八项的值的数列为( A. ?a2 k ?1 ?; ). B. ?a3k ?1 ?; C. ?a4 k ?1 ?; D. ?a6 k ?1 ? .

5.1.13. ?an ? 定义为 a1 ? cos? , an ? an?1 ? n sin ? ? cos? , n ? 1 ,则 S 2n?2 ?

.

5.1.14.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n = 5 ? 4 ? 2

?n

,则其通项公式为

.

5.1.15. 1.14. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n , 且对任意的 n ? 3 的正整数 n , a n ?

Sn ?1 .若 n ?1

3

a1 ? 200, a2005 ? 5, 则 a 2 ?

.

5.1.16.如果一个数列 ?an ? 对任意正整数 n 满足 an?1 ? an ? h , (其中 h 为常数) ,则称数列

?an ? 为等和数列, h 是公和, S n 是前 n 项和。已知等和数列 ?an ? 中, a1 ? 1, h ? ?3, 则
a 2006 ?
, S 2005 ? .

5.1.17.设函数 f ? x ? ? 则 a1a2 a3 ...a10 ?

1 2 , 数列 ?an ? 满足: 且对任意正整数 n 都有 an?1 ? f an , a1 ? a ? 0 , x
.

? ?

5.1.18.若数列 ?an ? 中, a1 =3,且 an?1 ? an , (n 是正整数),则数列的通项 an ?
2

.

5.1.19.已知数列 ?an ? 对任意正整数 n 都有 a n ?1 ? a n ,若 an ? n 2 ? ?n ,则常数 ? 的取值范围 是 .

5.1.20.







?an ?









1









列 .

,



?n ? 1?a 2 n?1 ? na2 n ? an?1an ? 0, (n ? 1,2,3,...),则数列的通项 an ?

5.1.21.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: (1) 3,8,15,24,...;

4

(2) ? 1,

3 1 3 ,? , ,...; 2 3 4

(3) 1,0, ,0, ,0,...;

1 3

1 5

,3333 ,...; (4) 3,33,333

5.1.22. 数列 ?an ? 共有 k 项,( k 为定值,它的前 n 项和 S n ? 2n 2 ? n?n ? k , n ? N ? ? ,现在从第 一项与第 k 项之间抽取一项(不抽首项,末项),所余 k ? 1 项的平均值是 79. (1)求数列 ?an ? 的通项;

(2)求出 k 的值并指出抽取的是第几项.

5.1.23.称

n 为 n 个实数 p1 , p2 ,..., pn 的均倒数.已知数列 ?an ? 的前 n 项 p1 ? p 2 ? p3 ? ... ? p n
1 . 2n ? 1
5

和的均倒数为

(1)求数列 ?an ? 的通相公式;C

(2)设函数 f ? x ? ? ? x ? 4 x ?
2

an , 求使得对任意正整数 n 都有 f ?x ? ? 0 成立的 x 取值 2n ? 1

范围.

5.1.24. 已 知 数 列

?an ?

有 a1 ? 1 , 对 任 意 不 小 于

2

的 正 整 数

n , an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? (n ? 1)an?1 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

5.1.25.计算:

?2n? 22 42 ? ? ... ? . ?2n ? 1??2n ? 1? 1? 3 3 ? 5
2

6

5.1.26.数列 ?an ? 的通项公式 an ? tann tan?n ? 1?, 证明:存在实数 A, B 使得对任意正整数 n 有 a1 ? a2 ? ... ? an ? A tann ? Bn .

5.1.27.如图,△OBC 的三个顶点坐标分别为(0,0),(1,0),(0,2),设 P 1 为线段 BC 的中点, P 2 为线段 CO 的中点, P3 为线段 O P 1 的中点,对于每个正整数 n , P n?3 为线段 P nP n ?1 的中点,另 P n 的坐标 为 ?xn , y n ? , a n ?

1 y n ? y n ?1 ? y n ? 2 . 2

(1)求 a1 , a2 , a3 , an ;

(2)证明: y n ? 4 ? 1 ?

yn ?n是正整数? ; 4

(3)若记 bn ? y4n?4 ? y4n (n 是正整数),证明 ?bn ? 是等比数列.

7

5.1.28.

.





?an ?























,





a1 ? 0, a2 ? 3, an?1an ? ?an?1 ? 2??an?2 ? 2?, n ? 3,4,5,... .
(1)求 a3 ;

(2)证明: an ? an?2 ? 2, n ? 3,4,5,... ;

(3)求数列 ?an ? 的通项公式及其前 n 项和 S n .

8


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